Тегерекчелерди жана жанганстарды талкуулоо боюнча мисал суроолор
Тегерекчелер матрицалык геометриядагы маанилүү тема болуп саналат, анда аралык, бурчтар жана форма жөнүндөгү терең түшүнүктөр көрсөтүлөт. Бул темада көп талкууланган түшүнүктөрдүн бири - тегерекке тангенс сызыгы. Бул макалада биз тегерекчелер жана тангенстерге байланыштуу бир нече мисал маселелерди талкуулайбыз.
Тегерекчелер жана жангенстер жөнүндө негизги түшүнүктөр
Лингкаран
Тегерек – бул тегеректин борбору деп аталган берилген чекиттен белгиленген аралыкта жайгашкан тегиздиктеги бардык чекиттердин жыйындысынан түзүлгөн геометриялык фигура. Бул белгиленген аралык тегеректин радиусу деп аталат.
Тангенс
Тегеректин жануусу – бул тегерекке так бир чекитте тийип турган сызык. Бул чекит жануу чекити деп аталат. Жануулардын бир нече маанилүү касиеттери бар, анын ичинде:
– Тангенс сызыгы ар дайым жангашуу чекитиндеги айлананын радиусуна перпендикуляр болот.
– Эгерде тегеректин сыртындагы чекиттен тегерекке чейинки жанганын узундугу ошол чекиттен эки жанганын жүргүзүлсө, бирдей болот.
Үлгү суроолор жана талкуулар
Төмөндө биз тегерекчелер жана тангенстер түшүнүгүн кененирээк талкуулаган бир нече мисал суроолорду беребиз.
1-мисал суроо: Тангенс сызыгынын узундугун табуу
Суроо:
Борбору \(O\) жана радиусу \(r = 6\, \text{cm}\ болгон тегерек берилген. Айлананын сыртындагы, тегеректин борборунан 10 см алыстыкта жайгашкан \(P\) чекитинен тегерекке эки жангенс \(PA\) жана \(PB\) чийилет. \(PA\) жангенсинин узундугун эсептегиле.
Талкуу:
Бул маселеде биз Пифагор теоремасын колдоно алабыз. \(\triangle OAP\ үч бурчтугун тартыңыз):
– \(OP = 10 \, \text{cm}\) (айлананын сырткы чекитинен борборуна чейинки аралык)
– \(OA = 6 \, \text{cm}\) (тегеректин радиусу)
– \(PA\) – бул табылышы керек болгон жанма сызык
\[
OP^2 = OA^2 + PA^2
\]
\[
10^2 = 6^2 + PA^2
\]
\[
100 = 36 + PA^2
\]
\[
PA^2 = 64
\]
\[
PA = \sqrt{64} = 8 \, \text{cm}
\]
Демек, жанма сызыктын узундугу \(PA\) 8 см.
2-мисал суроо: Тангенция чекитин табуу
Суроо:
\((x – 3)^2 + (y – 4)^2 = 25\) теңдемеси бар тегерек жана \(y = 2x + 1\) сызык берилген. Тегерек менен сызыктын ортосундагы жанма чекитти аныктаңыз.
Талкуу:
Алгач, айлананын борборун жана радиусун аныктайбыз:
– Борбор \(O(3, 4)\)
– Радиус \(r = \sqrt{25} = 5\)
Тангенция чекитин табуу үчүн, жангенция чекити \(T(x_1, y_1)\) деп эсептейли, ал дагы \(y = 2x + 1\ сызыгында жатат. Анда:
\[
y_1 = 2x_1 + 1
\]
\(T(x_1, y_1)\) дагы тегеректин теңдемесин канааттандырышы керек:
\[
(x_1 – 3)^2 + (y_1 – 4)^2 = 25
\]
Тегерек теңдемесине \(y_1 = 2x_1 + 1\) дегенди коюңуз:
\[
(x_1 – 3)^2 + ((2x_1 + 1) – 4)^2 = 25
\]
\[
(x_1 – 3)^2 + (2x_1 – 3)^2 = 25
\]
Биз эки квадратты эсептешибиз керек.
\[
(x_1 – 3)^2 = x_1^2 – 6x_1 + 9
\]
\[
(2x_1 – 3)^2 = 4x_1^2 – 12x_1 + 9
\]
Эки жыйынтыкты бириктириңиз:
\[
x_1^2 – 6x_1 + 9 + 4x_1^2 – 12x_1 + 9 = 25
\]
\[
5x_1^2 – 18x_1 + 18 = 25
\]
Эки жагынан тең 25ти кемитип,
\[
5x_1^2 – 18x_1 – 7 = 0
\]
Квадраттык теңдемени чыгарыңыз:
\[
x_1 = \frac{18 \pm \sqrt{18^2 + 4 \times 5 \times 7}}{2 \times 5}
\]
\[
x_1 = \frac{18 \pm \sqrt{324 + 140}}{10}
\]
\[
x_1 = \frac{18 \pm \sqrt{464}}{10}
\]
\[
x_1 = \frac{18 \pm 2\sqrt{116}}{10}
\]
\[
x_1 = \frac{18 \pm 2\sqrt{4 \times 29}}{10}
\]
\[
x_1 = \frac{18 \pm 4\sqrt{29}}{10}
\]
\[
x_1 = 1.8 \pm 0.4\sqrt{29}
\]
\(y_1\) маанисин эсептегиле:
Кайсынысы y = 2x + 1 теңдемесин канааттандырат:
– Эгерде \(x_1 = 1.8 + 0.4\sqrt{29}\) болсо, анда \(y_1 = 2(1.8 + 0.4\sqrt{29}) + 1\) болот.
– Эгерде \(x_1 = 1.8 – 0.4\sqrt{29}\) болсо, анда \(y_1 = 2(1.8 – 0.4\sqrt{29}) + 1\) болот.
Баалоо:
Ошентип, биз тегеректин теңдемесинин ошол сызык менен кесилишкен эки чекитин алабыз.
3-мисал суроо: Тангенс сызыктын теңдемесин аныктоо
Суроо:
√(x – 2)^2 + (y – 3)^2 = 20√) теңдемеси бар тегерек берилген. √(6, 7)√) чекити аркылуу өтүүчү тегерекке жанма сызыктын теңдемесин аныктагыла.
Талкуу:
Белгилүү тышкы чекиттен борбору \(h, k)\) жана радиусу \(r\) болгон тегерекке болгон тангенсти төмөнкү теңдеме менен тапса болот:
Тангенс сызыгы \((x_1, y_1)\) тышкы чекит аркылуу өтөт:
\[
(x – 2)(x_1 – 2) + (y – 3)(y_1 – 3) = 20
\]
Сырткы чекиттин ордуна \((6, 7)\ коюңуз:
\[
(x – 2)(6 – 2) + (y – 3)(7 – 3) = 20
\]
\[
4(x – 2) + 4(y – 3) = 20
\]
\[
4(x – 2 + y – 3) = 20
\]
\[
4x + 2y -20 = 20
\]
\[
4x + 4y -20 = 20
\]
\[
x + y = 5
\]
Тангенс сызыгынын теңдемеси:
\[
x + y = 9
\]
Демек, тегерек сызыгынын чекити аркылуу өткөн сызыктын теңдемесинин өзгөрүүсү өтө чоң жана натыйжага же визуалдык чагылдырууга жараша өзгөрүшү мүмкүн.
Корутунду
Тегерекчелер жана тангенстер жөнүндөгү талкуу математиканын бир нече фундаменталдык аспектилерин камтыйт, Пифагор теоремасы сыяктуу негизги формулаларды колдонуудан баштап, квадраттык теңдемелерди чыгарууга чейин. Бул мисалдар аркылуу биз бул түшүнүктөрдү бир аз татаал кырдаалдарда кантип колдонууну жакшыраак түшүнө алабыз. Бул макала тегерекчелер жана тангенстер менен байланышкан маселелерге кантип мамиле кылуу жана аларды чечүү керектиги жөнүндө так түшүнүк берүүгө жардам берди деп үмүттөнөбүз.
