Туундулардагы чынжыр эрежеси боюнча мисал суроолор жана талкуу
Чынжыр эрежеси дифференциалдык эсептөөлөрдөгү эң негизги түшүнүктөрдүн бири болуп саналат жана эки же андан көп функциялардан турган функциянын туундусун эсептөө үчүн колдонулат. Бул макалада биз чынжыр эрежесинин негизги түшүнүгүн, аны кантип колдонууну жана орто мектепте жана колледжде көп кездешүүчү туунду маселелеринде колдонуунун мисалдарын талкуулайбыз.
1. Чынжыр эрежесине киришүү
Мисал маселесине өтүүдөн мурун, алгач чынжыр эрежеси эмне экенин түшүнүп алалы. Чынжыр эрежесинде эгерде бизде эки дифференциалдануучу функция \(f\) жана \(g\) болсо жана биз \(h = f(g(x))\) функцияларынын курамынын туундусун тапкыбыз келсе, анда \(h\) туундусу төмөнкүдөй болот деп айтылат:
\[ h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x) \]
Жөнөкөй сөз менен айтканда, биз g(x) боюнча тышкы функциянын туундусун эсептейбиз, андан кийин натыйжаны ички функциянын туундусуна көбөйтөбүз \(g(x) \).
2. Композициянын функциясын түшүнүү
Мисал маселелерине өтүүдөн мурун, курамдык функцияларды түшүнүү маанилүү. Курамдык функция - бул бир функцияны экинчисине киргизүү менен алынган функция. Мисалы, эгерде бизде \(f(x) = \sin(x) \) жана \(g(x) = x^2 \) болсо, анда эки функциянын курамы \(h(x) = f(g(x)) = \sin(x^2) \) болот.
Композициялык функцияларда биз көп учурда \(g(x) \) функциясын “ички функция” жана \(f(x) \) функциясын “тышкы функция” деп эсептейбиз. Бул мисалда ички функция \(x^2 \), ал эми тышкы функция синус.
3. Мисал суроолор жана талкуу
Келгиле, аларды чыгаруу үчүн чынжыр эрежесин колдонгон кээ бир мисал маселелерди карап көрөлү.
1-мисал:
\(y = \cos(3x^2) \) функциясы берилгенде, yдин x боюнча биринчи туундусун табыңыз.
Талкуу:
Алгач, биз ички жана тышкы функцияларды аныктайбыз. Бул жерде ички функция \(g(x) = 3x^2 \), ал эми тышкы функция \(f(g) = \cos(g) \).
Биз билебиз:
1. \( g'(x) = 6x \)
2. \( f'(g) = -\sin(g) \)
чынжыр эрежеси боюнча, биз төмөнкүлөрдү алабыз:
\[ y' = f'(g(x)) \cdot g'(x) = -\sin(3x^2) \cdot 6x \]
Ошентип, \(y = \cos(3x^2) \) функциясынын туундусу төмөнкүдөй:
\[ y' = -6x \sin(3x^2) \]
2-мисал:
\(h(x) = e^{5x^3 + 2x} \) функциясынын биринчи туундусун тапкыла.
Талкуу:
Бул жерде ички функция √(g(x) = 5x^3 + 2x \), ал эми тышкы функция √(f(g) = e^g \).
Биз билебиз:
1. \( g'(x) = 15x^2 + 2 \)
2. \( f'(g) = e^g \)
чынжыр эрежеси боюнча, биз төмөнкүлөрдү алабыз:
\[ h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x) = e^{5x^3 + 2x} \cdot (15x^2 + 2) \]
Ошентип, \(h(x) = e^{5x^3 + 2x} \) функциясынын туундусу төмөнкүдөй:
\[ h'(x) = (15x^2 + 2)e^{5x^3 + 2x} \]
3-мисал:
y = ln(4x^2 – 5) ) функциясынын биринчи туундусун табыңыз.
Талкуу:
Ички функция √(g(x) = 4x^2 – 5 √), ал эми тышкы функция √(f(g) = √(g) √).
Биз билебиз:
1. \( g'(x) = 8x \)
2. \( f'(g) = \frac{1}{g} \)
чынжыр эрежеси боюнча, биз төмөнкүлөрдү алабыз:
\[y' = f'(g(x)) \cdot g'(x) = \frac{1}{4x^2 – 5} \cdot 8x \]
Ошентип, \(y = \ln(4x^2 – 5) \) туундусу төмөнкүдөй:
\[ y' = \frac{8x}{4x^2 – 5} \]
4-мисал:
y = (3x^2 + 2x + 1)^4) функциясы берилгенде, анын туундусун табыңыз.
Талкуу:
Ички функция √(g(x) = 3x^2 + 2x + 1), ал эми тышкы функция √(f(g) = g^4) болот.
Биз билебиз:
1. \( g'(x) = 6x + 2 \)
2. \( f'(g) = 4g^3 \)
чынжыр эрежеси боюнча, биз төмөнкүлөрдү алабыз:
\[y' = f'(g(x)) \cdot g'(x) = 4(3x^2 + 2x + 1)^3 \cdot (6x + 2) \]
Ошентип, \(y = (3x^2 + 2x + 1)^4 \) туундусу төмөнкүдөй:
\[ y' = 4(3x^2 + 2x + 1)^3 (6x + 2) \]
4. Атайын учурлар жана чынжыр эрежелерин иштеп чыгуу
Кээде чынжыр эрежеси эки гана функциянын курамы менен токтоп калбайт. Функция экиден ашык функциянын курамы болгон учурлар болот, мисалы: \( h(x) = f(g(k(x))) \).
Үч функция үчүн чынжыр эрежесин катмарлар менен колдонсо болот:
\[ h'(x) = f'(g(k(x))) \cdot g'(k(x)) \cdot k'(x) \]
Ар бир катмарда ички катмарлардын туундуларына өтүүдөн мурун сырткы катмарлардын туундуларын эсептей турганыбызды көрө алабыз.
5-мисал:
\(y = \sqrt{\ln(2x^2 + 1)} \) берилгенде, анын туундусун табыңыз.
Талкуу:
Эң ички функция √(k = 2x^2 + 1), ортоңкусу: √(g = √(k)) жана тышкысу: √(f = √(g)).
Биз билебиз:
1. \( k'(x) = 4x \)
2. \( g'(k) = \frac{1}{k} \)
3. \( f'(g) = \frac{1}{2\sqrt{g}} \)
Келгиле, чынжыр эрежесин катмарларда колдонолу:
\[ y' = f'(g(k(x))) \cdot g'(k(x)) \cdot k'(x) = \frac{1}{2\sqrt{\ln(2x^2 + 1)}} \cdot \frac{1}{2x^2 + 1} \cdot 4x \]
Ошентип, \(y = \sqrt{\ln(2x^2 + 1)} \) туундусу төмөнкүдөй:
\[ y' = \frac{4x}{2(2x^2 + 1)\sqrt{\ln(2x^2 + 1)}} \]
5. Кесимпулан
Чынжыр эрежеси дифференциалдык эсептөөлөрдө, айрыкча функциялардын курамын чечүүдө маанилүү ролду ойнойт. Чынжыр эрежесин түшүнүү жана өздөштүрүү эсептөөлөрдөгү татаалыраак маселелерди чечүү үчүн бекем негиз түзөт. Бул макалада чынжыр эрежесин туундуларга колдонууну бекем түшүнүү үчүн бир нече маанилүү мисалдар талкууланды. Бул талкуу студенттер үчүн пайдалуу болот жана ар кандай татаал математикалык кырдаалдарга колдонулушу мүмкүн деп үмүттөнөбүз.
