ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆಯ ಮೂಲಗಳು

ಸಂಭವನೀಯತೆ ವಿತರಣೆಯ ಮೂಲಗಳು

ಸಂಭವನೀಯತೆ ವಿತರಣೆಯು ಅಂಕಿಅಂಶಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಭವನೀಯತೆಯಲ್ಲಿನ ಒಂದು ಮೂಲಭೂತ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯಾಗಿದ್ದು, ಇದು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಮೌಲ್ಯಗಳ ನಡುವೆ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ವಿತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. ಸಂಭವನೀಯತೆ ವಿತರಣೆಗಳು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಘಟನೆ ಅಥವಾ ಮೌಲ್ಯ ಸಂಭವಿಸುವ ಸಾಧ್ಯತೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಪ್ರಮುಖ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಒದಗಿಸಬಹುದು. ಈ ಲೇಖನವು ಸಂಭವನೀಯತೆ ವಿತರಣೆಗಳ ಮೂಲಭೂತ ಅಂಶಗಳು, ಸಂಭವನೀಯತೆ ವಿತರಣೆಗಳ ಪ್ರಕಾರಗಳು ಮತ್ತು ದೈನಂದಿನ ಜೀವನದಲ್ಲಿ ಅನ್ವಯಿಕೆಗಳು ಮತ್ತು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಚರ್ಚಿಸುತ್ತದೆ.

ಸಂಭವನೀಯತೆ ವಿತರಣೆ ಎಂದರೇನು?

ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆಯು ಒಂದು ಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದ್ದು, ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಂಭವನೀಯ ಫಲಿತಾಂಶದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಒಂದು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗೆ ನಿಯೋಜಿಸುತ್ತದೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಒಂದು ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಆಗಿದ್ದು, ಅದರ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಯೋಗದ ಫಲಿತಾಂಶದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಡೈ ಅನ್ನು ಉರುಳಿಸುವುದು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಯೋಗವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಡೈನ ಮೌಲ್ಯವು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಆಗಿದೆ.

ಸಂಭವನೀಯತೆ ವಿತರಣೆಗಳನ್ನು ಎರಡು ಮುಖ್ಯ ವರ್ಗಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಬಹುದು: ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಸಂಭವನೀಯತೆ ವಿತರಣೆಗಳು ಮತ್ತು ನಿರಂತರ ಸಂಭವನೀಯತೆ ವಿತರಣೆಗಳು. ಎಣಿಕೆ ಮಾಡಬಹುದಾದ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳಿಗೆ ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ವಿತರಣೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ನಿರಂತರ ವಿತರಣೆಗಳನ್ನು ನಿರಂತರ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳಿಗೆ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಸಂಭವನೀಯತೆ ವಿತರಣೆ

ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆ

ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯು ಕೇವಲ ಎರಡು ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪ್ರಯೋಗಗಳನ್ನು ಮಾದರಿ ಮಾಡಲು ಬಳಸುವ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆಯಾಗಿದೆ: ಯಶಸ್ಸು ಅಥವಾ ವೈಫಲ್ಯ. ನಾವು ಸ್ವತಂತ್ರ ಪ್ರಯೋಗವನ್ನು ಹಲವು ಬಾರಿ ಪುನರಾವರ್ತಿಸುವ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಈ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣಾ ಸೂತ್ರವು ಹೀಗಿದೆ:

\[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{nk} \]

ಎಲ್ಲಿ:
\( P(X = k) \) ಎಂಬುದು n ಪ್ರಯೋಗಗಳಲ್ಲಿ k ಯಶಸ್ಸನ್ನು ಪಡೆಯುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯಾಗಿದೆ.
\( \binom{n}{k} \) ಎಂಬುದು ದ್ವಿಪದ ಗುಣಾಂಕವಾಗಿದೆ.
\( p \) ಒಂದೇ ಪ್ರಯೋಗದಲ್ಲಿ ಯಶಸ್ಸಿನ ಸಂಭವನೀಯತೆಯಾಗಿದೆ.
\( n \) ಎಂಬುದು ಪ್ರಯೋಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ.

ಉದಾಹರಣೆ: 10 ನಾಣ್ಯ ಟಾಸ್‌ಗಳಿವೆ, ಮತ್ತು 7 ಬಾರಿ ತಲೆಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ನಾವು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಲು ಬಯಸುತ್ತೇವೆ, ಅದನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ನಾವು ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ.

ವಿಷ ವಿತರಣೆ

ಪಾಯ್ಸನ್ ವಿತರಣೆಯು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆಯಾಗಿದ್ದು, ಇದು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಮಯ ಅಥವಾ ಸ್ಥಳ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಘಟನೆಯ ಸಂಭವಿಸುವಿಕೆಯ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. ಪಾಯ್ಸನ್ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಸ್ಥಿರ ಸಮಯದೊಳಗೆ ಸಂಭವಿಸುವ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ, ವಿರಳ ಘಟನೆಗಳನ್ನು ಮಾದರಿ ಮಾಡಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ವಿಷ ವಿತರಣಾ ಸೂತ್ರವು ಹೀಗಿದೆ:

\[ ಪಿ(ಎಕ್ಸ್ = ಕೆ) = \ಫ್ರಾಕ್{\ಲ್ಯಾಂಬ್ಡಾ^ಕೆ^{-\ಲ್ಯಾಂಬ್ಡಾ}}{ಕೆ!} \]

ಎಲ್ಲಿ:
\( P(X = k) \) ಎಂಬುದು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ k ಘಟನೆಗಳು ಇರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯಾಗಿದೆ.
\( \lambda \) ಎಂಬುದು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿನ ಘಟನೆಗಳ ಸರಾಸರಿ ಸಂಖ್ಯೆ.
\( e \) ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ಆಧಾರವಾಗಿದೆ (ಸರಿಸುಮಾರು 2.71828).

ಉದಾಹರಣೆ: ಒಂದು ಅಂಗಡಿಗೆ ಪ್ರತಿ ಗಂಟೆಗೆ ಸರಾಸರಿ 3 ಗ್ರಾಹಕರು ಬಂದರೆ, ಒಂದು ಗಂಟೆಯಲ್ಲಿ 5 ಗ್ರಾಹಕರು ಬರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ನಾವು ಪಾಯ್ಸನ್ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು.

ನಿರಂತರ ಸಂಭವನೀಯತೆ ವಿತರಣೆ

ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆ

ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಗೌಸಿಯನ್ ವಿತರಣೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಅತ್ಯಂತ ಪ್ರಮುಖ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬಳಸುವ ನಿರಂತರ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ. ಅನೇಕ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಮತ್ತು ಸಾಮಾಜಿಕ ವಿದ್ಯಮಾನಗಳು ಈ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಅನುಸರಿಸುವುದರಿಂದ ಇದನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಎರಡು ನಿಯತಾಂಕಗಳಿಂದ ನಿರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ: ಸರಾಸರಿ ಮತ್ತು ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನ. ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಾಂದ್ರತೆ ಕಾರ್ಯ (pdf):

\[ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} \]

ಎಲ್ಲಿ:
\( \mu \) ಸರಾಸರಿ.
\( \sigma \) ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನವಾಗಿದೆ.
\( x \) ಒಂದು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಆಗಿದೆ.

ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣಾ ರೇಖೆಯು ಗಂಟೆಯ ಆಕಾರದಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು ಸರಾಸರಿಯ ಸುತ್ತ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ಮಾನವ ಎತ್ತರ, ಐಕ್ಯೂ ಪರೀಕ್ಷಾ ಅಂಕಗಳು ಮತ್ತು ಇತರ ಅನೇಕ ನೈಸರ್ಗಿಕ ವಿದ್ಯಮಾನಗಳು ಸೇರಿವೆ.

ಘಾತೀಯ ವಿತರಣೆ

ಘಾತೀಯ ವಿತರಣೆಯು ನಿರಂತರ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆಯಾಗಿದ್ದು, ಇದನ್ನು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಮತ್ತು ನಿರಂತರವಾಗಿ ಸಂಭವಿಸುವ ವಿದ್ಯಮಾನಗಳಲ್ಲಿನ ಘಟನೆಗಳ ನಡುವಿನ ಸಮಯವನ್ನು ಮಾದರಿ ಮಾಡಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಘಾತೀಯ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಉತ್ಪನ್ನ ಜೀವಿತಾವಧಿಯ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಮತ್ತು ಸರತಿ ಸಾಲಿನ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ ಮಾದರಿಗಳಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಘಾತೀಯ ವಿತರಣೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಕಾರ್ಯವು:

\[ f(x) = \ಲ್ಯಾಂಬ್ಡಾ e^{-\ಲ್ಯಾಂಬ್ಡಾ x} \]

ಎಲ್ಲಿ:
\( \lambda \) ಎಂಬುದು ದರ ನಿಯತಾಂಕವಾಗಿದೆ (ಸಂಭವದ ದರ).
\( x \) ಎಂಬುದು ಘಟನೆಗಳ ನಡುವಿನ ಸಮಯ.

ಯಂತ್ರ ವೈಫಲ್ಯಗಳ ನಡುವಿನ ಸಮಯ ಮತ್ತು ಸೇವಾ ಸ್ಥಳಕ್ಕೆ ಗ್ರಾಹಕರು ಬರುವ ನಡುವಿನ ಸಮಯವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವಲ್ಲಿ ಘಾತೀಯ ವಿತರಣೆಯ ಬಳಕೆಯ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಸೇರಿವೆ.

ಸಂಭವನೀಯತೆ ವಿತರಣಾ ಅನ್ವಯಿಕೆಗಳು

ಸಂಭವನೀಯತೆ ವಿತರಣೆಗಳು ದೈನಂದಿನ ಜೀವನದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ವಿಜ್ಞಾನದ ವಿವಿಧ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ವಿವಿಧ ಅನ್ವಯಿಕೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ:

1. ಅಂಕಿಅಂಶಗಳು: ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆಗಳನ್ನು ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ನಿರ್ಣಯಕ್ಕಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ಮಾದರಿಯಿಂದ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಬಗ್ಗೆ ತೀರ್ಮಾನಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದು. ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆ, ಟಿ-ವಿತರಣೆ ಮತ್ತು ಚಿ-ಸ್ಕ್ವೇರ್ ವಿತರಣೆಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬಳಸುವ ಕೆಲವು ವಿತರಣೆಗಳಾಗಿವೆ.

2. ವಿಮೆ: ವಿಮಾ ಕಂಪನಿಗಳು ಅಪಾಯವನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲು ಮತ್ತು ವಿಮಾ ಪ್ರೀಮಿಯಂಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತವೆ. ವಿಮಾ ಹಕ್ಕುಗಳ ಆವರ್ತನವನ್ನು ಮಾದರಿ ಮಾಡಲು ಪಾಯ್ಸನ್ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು.

3. ವೃತ್ತಿಪರ ಮತ್ತು ಉತ್ಪಾದನೆ: ಸಾಧನದ ಜೀವಿತಾವಧಿಯ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಮತ್ತು ದುರಸ್ತಿ ಸಮಯದ ಅಂದಾಜುಗಾಗಿ ಘಾತೀಯ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉತ್ಪಾದನಾ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳ ಗುಣಮಟ್ಟವನ್ನು ನಿಯಂತ್ರಿಸಲು ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

4. ಹಣಕಾಸು: ಹೂಡಿಕೆ ಅಪಾಯ ಮತ್ತು ಲಾಭದ ಮಾದರಿಗಳಲ್ಲಿ ಸಂಭವನೀಯತೆ ವಿತರಣೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಷೇರು ಬೆಲೆ ಚಲನೆಗಳು ಮತ್ತು ಬಡ್ಡಿದರಗಳನ್ನು ಮಾದರಿ ಮಾಡಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

5. ಸಾಮಾಜಿಕ ಮತ್ತು ವೈದ್ಯಕೀಯ ವಿಜ್ಞಾನಗಳು: ವೈದ್ಯಕೀಯ ಸಂಶೋಧನೆಯಲ್ಲಿ, ಸಮೀಕ್ಷೆಯ ದತ್ತಾಂಶದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಗೆ ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ದೊಡ್ಡ ಮಾದರಿ ದತ್ತಾಂಶದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ತೀರ್ಮಾನ

ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆಗಳು ವಿವಿಧ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಮಾಡೆಲಿಂಗ್ ಮಾಡುವಲ್ಲಿ ಪ್ರಮುಖ ಪಾತ್ರ ವಹಿಸುತ್ತವೆ. ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆಗಳ ಮೂಲಭೂತ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು, ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಮತ್ತು ನಿರಂತರ ಎರಡೂ, ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಲು ದೃಢವಾದ ಅಡಿಪಾಯವನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ. ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆಗಳನ್ನು ಬಳಸುವ ಮೂಲಕ, ನಾವು ಭವಿಷ್ಯವಾಣಿಗಳನ್ನು ಮಾಡಬಹುದು, ಅಪಾಯಗಳನ್ನು ನಿರ್ಣಯಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಡೇಟಾದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಹೆಚ್ಚು ಮಾಹಿತಿಯುಕ್ತ ನಿರ್ಧಾರಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು.

ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆಗಳ ಜ್ಞಾನವು ಶೈಕ್ಷಣಿಕ ಅಥವಾ ವೃತ್ತಿಪರ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಉಪಯುಕ್ತವಲ್ಲ, ಜೊತೆಗೆ ನಾವು ದೈನಂದಿನ ಜೀವನದಲ್ಲಿ ಎದುರಿಸುವ ವಿವಿಧ ವಿದ್ಯಮಾನಗಳನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಸಹ ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯು ಹೇಗೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ, ಪರೀಕ್ಷಾ ಅಂಕಗಳು, ಎತ್ತರ ಮತ್ತು ಇತರ ಸಾಮಾಜಿಕ ಮತ್ತು ಆರ್ಥಿಕ ದತ್ತಾಂಶಗಳಲ್ಲಿನ ಪ್ರವೃತ್ತಿಗಳನ್ನು ನಾವು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು.

ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆಯ ಮೂಲ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳ ದೃಢವಾದ ತಿಳುವಳಿಕೆಯೊಂದಿಗೆ, ನಾವು ಆಳವಾದ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಕೌಶಲ್ಯಗಳನ್ನು ಬೆಳೆಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು ಮತ್ತು ಈ ಜ್ಞಾನವನ್ನು ವಿವಿಧ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಅನ್ವಯಿಕೆಗಳಲ್ಲಿ ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು.