ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ದತ್ತಾಂಶದಲ್ಲಿನ ಸರಾಸರಿ ವಿಚಲನವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವ ತಂತ್ರಗಳು

ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ದತ್ತಾಂಶದಲ್ಲಿನ ಸರಾಸರಿ ವಿಚಲನವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವ ತಂತ್ರಗಳು

ಅಂಕಿಅಂಶಗಳಲ್ಲಿ, ದತ್ತಾಂಶದ "ಕೇಂದ್ರ"ವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು - ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸರಾಸರಿ ಅಥವಾ ಮಧ್ಯದ ಮೂಲಕ - ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಾಕಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಎರಡು ದತ್ತಾಂಶ ಸೆಟ್‌ಗಳು ಒಂದೇ ಸರಾಸರಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದು, ಆದರೆ ಅವುಗಳ "ವ್ಯತ್ಯಾಸದ" ಮಟ್ಟಗಳಲ್ಲಿ ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಪ್ರಸರಣದ ಅಳತೆಗಳು ಮುಖ್ಯ. ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಮತ್ತು ಬಳಸಲು ತುಲನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಸುಲಭವಾದ ಪ್ರಸರಣದ ಒಂದು ಅಳತೆ ಸರಾಸರಿ ವಿಚಲನವಾಗಿದೆ. ಈ ಲೇಖನವು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಹಂತಗಳು ಮತ್ತು ಉದಾಹರಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಪೂರ್ಣಗೊಂಡ ವಿವಿಧ ರೀತಿಯ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ದತ್ತಾಂಶಗಳಲ್ಲಿ ಸರಾಸರಿ ವಿಚಲನವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವ ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಚರ್ಚಿಸುತ್ತದೆ.

ಸರಾಸರಿ ವಿಚಲನವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು

ಸರಾಸರಿ ವಿಚಲನವು ಕೇಂದ್ರ ಪ್ರವೃತ್ತಿಯ ಅಳತೆಯಿಂದ ಪ್ರತಿ ದತ್ತಾಂಶ ಬಿಂದುವಿನ ಸರಾಸರಿ ಅಂತರವನ್ನು ಹೇಳುವ ಅಳತೆಯಾಗಿದೆ, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿ (ಸರಾಸರಿ) ಅಥವಾ ಮಧ್ಯಾಂಕ. ಪ್ರಶ್ನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಅಂತರವು ದತ್ತಾಂಶ ಮತ್ತು ಕೇಂದ್ರ ಮೌಲ್ಯದ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಯಾವುದೇ ಋಣಾತ್ಮಕ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಧನಾತ್ಮಕ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು "ರದ್ದುಗೊಳಿಸುವುದಿಲ್ಲ".

ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಸರಾಸರಿ ವಿಚಲನವು ದತ್ತಾಂಶವು ಅದರ ಕೇಂದ್ರ ಮೌಲ್ಯದಿಂದ ಎಷ್ಟು ದೂರಕ್ಕೆ ಹರಡಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. ಸರಾಸರಿ ವಿಚಲನವು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದ್ದರೆ, ದತ್ತಾಂಶವು ಕೇಂದ್ರದ ಸುತ್ತಲೂ ಹೆಚ್ಚು ಬಿಗಿಯಾಗಿ ಗುಂಪಾಗಿರುತ್ತದೆ; ಮೌಲ್ಯವು ದೊಡ್ಡದಾಗಿದ್ದರೆ, ದತ್ತಾಂಶವು ಹೆಚ್ಚು ವ್ಯತ್ಯಾಸಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.

ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಏಕೆ ಬಳಸಬೇಕು?

ದತ್ತಾಂಶ ಮತ್ತು ಸರಾಸರಿ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ಸರಾಸರಿಯನ್ನು ನಾವು ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯವಿಲ್ಲದೆ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿದರೆ, ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ಮೊತ್ತವು ಯಾವಾಗಲೂ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಏಕೆಂದರೆ ಸರಾಸರಿ ಸಮತೋಲನ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ). ಉದಾಹರಣೆಗೆ, +5 ಮತ್ತು -5 ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳಿದ್ದರೆ, ಅವು 0 ಗೆ ಕೂಡುತ್ತವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಆದ್ದರಿಂದ ವಿಚಲನಗಳು ಕೇಂದ್ರದಿಂದ ದತ್ತಾಂಶದ ಅಂತರವನ್ನು ನಿಜವಾಗಿಯೂ ಪ್ರತಿಬಿಂಬಿಸುತ್ತವೆ.

ಏಕ ದತ್ತಾಂಶಕ್ಕಾಗಿ ಸರಾಸರಿ ವಿಚಲನ ಸೂತ್ರ

ಒಂದೇ ದತ್ತಾಂಶಕ್ಕಾಗಿ (ಗುಂಪು ಮಾಡಲಾಗಿಲ್ಲ), ಸರಾಸರಿಯಿಂದ ಸರಾಸರಿ ವಿಚಲನವನ್ನು ರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ:

\[
SR = \frac{\sum |x_i – \bar{x}|}{n}
\]

ಮಾಹಿತಿ:
– \( SR \): ಸರಾಸರಿ ವಿಚಲನ
– \( x_i \): i-ನೇ ಡೇಟಾ
– \( \bar{x} \): ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿ (ಸರಾಸರಿ)
– \( n \): ಡೇಟಾದ ಪ್ರಮಾಣ

ಏಕ ದತ್ತಾಂಶ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ತಂತ್ರ (ಹಂತಗಳು)
1. ಎಲ್ಲಾ ಡೇಟಾದ ಸರಾಸರಿ \( \bar{x} \) ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ.
2. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಡೇಟಾ ಮತ್ತು ಸರಾಸರಿ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ: \( x_i – \bar{x} \).
3. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ: \( |x_i – \bar{x}| \).
4. ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಿ.
5. ದತ್ತಾಂಶದ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ \( n \).

ಏಕ ದತ್ತಾಂಶ ಉದಾಹರಣೆ
ಮೌಲ್ಯ ಡೇಟಾ: 6, 8, 10, 12, 14

1) ಸರಾಸರಿ:
\[
\bar{x}=\frac{6+8+10+12+14}{5}=\frac{50}{5}=10
\]

2) ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯ:
– |6 − 10| = 4
– |8 − 10| = 2
– |10 − 10| = 0
– |12 − 10| = 2
– |14 − 10| = 4

ಒಟ್ಟು = 4 + 2 + 0 + 2 + 4 = 12

3) ಸರಾಸರಿ ವಿಚಲನ:
\[
SR=\frac{12}{5}=2{,}4
\]

ಇದರರ್ಥ ಸರಾಸರಿ ಪ್ರತಿ ಮೌಲ್ಯವು ಸರಾಸರಿ (10) ನಿಂದ 2,4 ಯೂನಿಟ್‌ಗಳಷ್ಟು ವಿಚಲನಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.

ಆಗಾಗ್ಗೆ (ವಿಭಿನ್ನ) ದತ್ತಾಂಶಕ್ಕಾಗಿ ಸರಾಸರಿ ವಿಚಲನ

ಡೇಟಾವನ್ನು ಮೌಲ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಆವರ್ತನಗಳ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಿದರೆ (ಉದಾ. ಕೋಷ್ಟಕ), ಸೂತ್ರವು ಹೀಗಾಗುತ್ತದೆ:

\[
SR = \frac{\sum f_i |x_i – \bar{x}|}{\sum f_i}
\]

ಮಾಹಿತಿ:
– \( f_i \): ಡೇಟಾ ಆವರ್ತನ \( x_i \)

ಆವರ್ತನ ದತ್ತಾಂಶ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ತಂತ್ರಗಳು
1. ಸರಾಸರಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ: \(\bar{x}=\frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}\)
2. \( |x_i-\bar{x}| \) ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ
3. ಆವರ್ತನದಿಂದ ಗುಣಿಸಿ: \( f_i |x_i-\bar{x}| \)
4. ಹಂತ 3 ರ ಎಲ್ಲಾ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಿ
5. ಒಟ್ಟು ಆವರ್ತನದಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ

ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಡೇಟಾ ಉದಾಹರಣೆಗಳು
| ಮೌಲ್ಯ (x) | ಆವರ್ತನ (f) |
|—|—|
| 5 | 2 |
| 7 | 3 |
| 9 | 1 |

ಒಟ್ಟು ಆವರ್ತನ: \(2+3+1=6\)

ಅರ್ಥ:
\[
\bar{x}=\frac{(5)(2)+(7)(3)+(9)(1)}{6}=\frac{10+21+9}{6}=\frac{40}{6}=6{,}67
\]

ವಿಚಲನವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ:
– x=5 ಕ್ಕೆ: |5−6,67|=1,67 → ಬಾರಿ f=2 → 3,34
– x=7 ಕ್ಕೆ: |7−6,67|=0,33 → ಬಾರಿ f=3 → 0,99
– x=9 ಕ್ಕೆ: |9−6,67|=2,33 → ಬಾರಿ f=1 → 2,33

ಒಟ್ಟು: 3,34 + 0,99 + 2,33 = 6,66

ಸರಾಸರಿ ವಿಚಲನ:
\[
SR=\frac{6{,}66}{6}=1{,}11
\]

ಗುಂಪು ಮಾಡಿದ ದತ್ತಾಂಶಕ್ಕೆ ಸರಾಸರಿ ವಿಚಲನ (ವರ್ಗ ಮಧ್ಯಂತರ)

ಗುಂಪು ಮಾಡಿದ ದತ್ತಾಂಶದಲ್ಲಿ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮಧ್ಯಂತರ ಆವರ್ತನ ವಿತರಣೆಗಳು), ದತ್ತಾಂಶ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಪ್ರದರ್ಶಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಬದಲಿಗೆ ವರ್ಗಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರದರ್ಶಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಉದ್ದೇಶಕ್ಕಾಗಿ, ವರ್ಗದೊಳಗಿನ ಡೇಟಾವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲು ವರ್ಗ ಮಧ್ಯಬಿಂದು (xi) ಅನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಸೂತ್ರ:

\[
SR=\frac{\sum f_i |x_i-\bar{x}|}{\sum f_i}
\]

ಆದಾಗ್ಯೂ, \(x_i\) ಎಂಬುದು ವರ್ಗದ ಮಧ್ಯಬಿಂದುವಾಗಿದೆ.

ಗುಂಪು ದತ್ತಾಂಶ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ತಂತ್ರಗಳು
1. ಪ್ರತಿ ವರ್ಗದ ಮಧ್ಯಬಿಂದುವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ:
\[
x_i=\frac{\ಪಠ್ಯ{ಕಡಿಮೆ ಮಿತಿ + ಮೇಲಿನ ಮಿತಿ}}{2}
\]
2. ಗುಂಪಿನ ಸರಾಸರಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ:
\[
\bar{x}=\frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}
\]
3. \( |x_i-\bar{x}| \) ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ
4. ಆವರ್ತನದಿಂದ ಗುಣಿಸಿ \( f_i \)
5. ಎಲ್ಲಾ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಿ, ನಂತರ ಒಟ್ಟು ಆವರ್ತನದಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ.

ಗುಂಪು ಡೇಟಾ ಉದಾಹರಣೆ
| ವರ್ಗ | ಎಫ್ |
|—|—|
| 10–14 | 3 |
| 15–19 | 5 |
| 20–24 | 2 |

ಮಧ್ಯಬಿಂದು:
– 10–14 → 12
– 15–19 → 17
– 20–24 → 22

ಒಟ್ಟು f = 10

ಅರ್ಥ:
\[
\bar{x}=\frac{(12)(3)+(17)(5)+(22)(2)}{10}=\frac{36+85+44}{10}=\frac{165}{10}=16{,}5
\]

ವಿಚಲನ:
– |12−16,5|=4,5 → ×3 = 13,5
– |17−16,5|=0,5 → ×5 = 2,5
– |22−16,5|=5,5 → ×2 = 11

ಒಟ್ಟು = 13,5 + 2,5 + 11 = 27

ಸರಾಸರಿ ವಿಚಲನ:
\[
SR=\frac{27}{10}=2{,}7
\]

ಮಧ್ಯದಿಂದ ಸರಾಸರಿ ವಿಚಲನ

ಸರಾಸರಿ ಜೊತೆಗೆ, ಸರಾಸರಿ ವಿಚಲನವನ್ನು ಮಧ್ಯಾಂಕದಿಂದ ಕೂಡ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು. ತತ್ವ ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಕೇಂದ್ರ ಮೌಲ್ಯ ಮಾತ್ರ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ದತ್ತಾಂಶವು ಹೊರಗಣ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವಾಗ ಇದು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಮಧ್ಯಾಂಕವು ತೀವ್ರ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಹೆಚ್ಚು ಸ್ಥಿತಿಸ್ಥಾಪಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಒಂದೇ ಡೇಟಾಕ್ಕಾಗಿ:
\[
SR_{Me}=\frac{\ಮೊತ್ತ |x_i-Me|}{n}
\]

ಆವರ್ತನ ಡೇಟಾಕ್ಕಾಗಿ:
\[
SR_{Me}=\frac{\sum f_i|x_i-Me|}{\sum f_i}
\]

ಸರಾಸರಿ ವಿಚಲನದ ಅನುಕೂಲಗಳು ಮತ್ತು ಮಿತಿಗಳು

ಪ್ರಯೋಜನಗಳು:
1. ಡೇಟಾ ಸೆಂಟರ್‌ನಿಂದ "ಸರಾಸರಿ ದೂರ"ವನ್ನು ಬಳಸುವುದರಿಂದ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಸುಲಭ.
2. ಎಲ್ಲಾ ಡೇಟಾವನ್ನು ಬಳಸಿ (ಕೆಲವು ಡೇಟಾ ಮಾತ್ರವಲ್ಲ).
3. ವಿವಿಧ ರೀತಿಯ ಡೇಟಾ ಪ್ರಸ್ತುತಿಗಾಗಿ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು.

ಮಿತಿಗಳು:
1. ಮುಂದುವರಿದ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಜನಪ್ರಿಯವಾಗಿದೆ.
2. ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಬಳಕೆಯು ಕೆಲವು ಬೀಜಗಣಿತದ ಕುಶಲತೆಗಳಿಗೆ ಕಡಿಮೆ ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿಸುತ್ತದೆ.
3. ಹಲವು ತಾರ್ಕಿಕ ವಿಧಾನಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನದಷ್ಟು ಬಲವಾಗಿಲ್ಲ.

ಪೆನುಟಪ್

ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ದತ್ತಾಂಶದಲ್ಲಿನ ಸರಾಸರಿ ವಿಚಲನವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವ ತಂತ್ರವು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಸ್ಥಿರವಾದ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ: ಕೇಂದ್ರ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು (ಸರಾಸರಿ ಅಥವಾ ಮಧ್ಯಬಿಂದು) ನಿರ್ಧರಿಸಿ, ಕೇಂದ್ರದಿಂದ ಪ್ರತಿ ದತ್ತಾಂಶ ಬಿಂದುವಿನ (ಅಥವಾ ವರ್ಗ ಮಧ್ಯಬಿಂದು) ಸಂಪೂರ್ಣ ದೂರವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ, ಮತ್ತು ನಂತರ ಅವುಗಳನ್ನು ಸರಾಸರಿ ಮಾಡಿ - ದತ್ತಾಂಶವನ್ನು ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಿದರೆ ಆವರ್ತನವನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ. ದತ್ತಾಂಶ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಅಂತರ್ಬೋಧೆಯಿಂದ ವಿವರಿಸಲು ಸರಾಸರಿ ವಿಚಲನವು ಪ್ರಸರಣದ ಅನುಕೂಲಕರ ಅಳತೆಯಾಗಿದೆ. ಹಂತಗಳನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ, ನೀವು ದತ್ತಾಂಶ ಸೆಟ್‌ಗಳಾದ್ಯಂತ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಹೋಲಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ದತ್ತಾಂಶ ಗುಂಪಿನ ಸ್ಥಿರತೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ನಿರ್ಣಯಿಸಬಹುದು.

ನೀವು ಬಯಸಿದರೆ, ಈ ಲೇಖನದ ಒಂದು ಆವೃತ್ತಿಯನ್ನು ಶಾಲಾ ನಿಯೋಜನೆ ಸ್ವರೂಪದಲ್ಲಿ (ಪರಿಚಯ–ಚರ್ಚೆ–ಸಮಾಪ್ತಿಯೊಂದಿಗೆ) ಮಾಡಲು ಅಥವಾ ಚರ್ಚೆಯ ಜೊತೆಗೆ ಅಭ್ಯಾಸ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಲು ನಾನು ನಿಮಗೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡಬಹುದು.