ទ្រឹស្តីបទមូលដ្ឋាននៃការគណនា

ទ្រឹស្តីបទមូលដ្ឋានគ្រឹះនៃកាល់គូលុស

ជារឿយៗ កាល់គូលុសត្រូវបានគេយល់ថាជា "ភាសា" សម្រាប់ពន្យល់ពីការផ្លាស់ប្តូរ និងការប្រមូលផ្តុំ។ ម៉្យាងវិញទៀត យើងសិក្សាអំពីដេរីវេដើម្បីវាស់ស្ទង់អត្រានៃការផ្លាស់ប្តូរអនុគមន៍។ ម៉្យាងវិញទៀត យើងសិក្សាអំពីអាំងតេក្រាលដើម្បីគណនាការប្រមូលផ្តុំ ដូចជាផ្ទៃក្រោមខ្សែកោង ឬ "ផលបូកបន្ត" សរុបនៃបរិមាណ។ ទ្រឹស្តីបទមូលដ្ឋានគ្រឹះនៃកាល់គូលុស (FTC) គឺជាស្ពានដ៏សំខាន់មួយដែលភ្ជាប់គំនិតទាំងពីរនេះ៖ វាបង្ហាញថា ឌីផេរ៉ង់ស្យែល និង អាំងតេក្រាល មិនមែនជាប្រធានបទពីរដាច់ដោយឡែកពីគ្នានោះទេ ប៉ុន្តែជាប្រតិបត្តិការទៅវិញទៅមកពីរ។ ទ្រឹស្តីបទនេះគឺជាអ្វីដែលធ្វើឱ្យកាល់គូលុសមានឥទ្ធិពលខ្លាំងនៅក្នុងវិទ្យាសាស្ត្រ វិស្វកម្ម សេដ្ឋកិច្ច និងវិស័យជាច្រើនទៀត។

ទិដ្ឋភាពទូទៅ៖ ការផ្លាស់ប្តូរ និងការប្រមូលផ្តុំ

ស្រមៃមើលរថយន្តមួយកំពុងធ្វើដំណើរលើផ្លូវមួយ។ ល្បឿនរបស់រថយន្តគឺជាអត្រានៃការផ្លាស់ប្តូរទីតាំងតាមពេលវេលា ខណៈដែលចម្ងាយដែលបានធ្វើដំណើរគឺជាការប្រមូលផ្តុំនៃ "ល្បឿន" តាមពេលវេលា។ តាមន័យគណិតវិទ្យា ប្រសិនបើ \(v(t)\) ជាល្បឿន នោះចម្ងាយដែលបានធ្វើដំណើរពីពេលវេលា \(a\) ដល់ \(b\) អាចត្រូវបានបង្ហាញដោយអាំងតេក្រាល
\[
\int_a^bv(t)\, dt។
\]
ទន្ទឹមនឹងនេះ ប្រសិនបើ \(s(t)\) ជាទីតាំង នោះល្បឿនគឺជាដេរីវេ៖
\[
v(t) = s'(t)។
\]
ទ្រឹស្តីបទមូលដ្ឋានគ្រឹះនៃកាល់គូលុសចែងថា ប្រតិបត្តិការទាំងពីរនេះមានទំនាក់ទំនងគ្នាយ៉ាងជិតស្និទ្ធ៖ អាំងតេក្រាលនៃដេរីវេប្រគល់មកវិញនូវការប្រែប្រួលសុទ្ធនៅក្នុងអនុគមន៍ ហើយដេរីវេនៃអាំងតេក្រាលកំណត់ប្រគល់មកវិញនូវអនុគមន៍ដើម។ ទំនាក់ទំនងនេះធ្វើឱ្យការគណនាផ្ទៃក្រឡា ចម្ងាយ ម៉ាស់ ថាមពល និងរបស់ជាច្រើនទៀតកាន់តែមានលក្ខណៈជាប្រព័ន្ធ។

តម្រូវការជាមុនរហ័ស៖ តើអាំងតេក្រាលកំណត់ និងដេរីវេជាអ្វី?

មុននឹងចូលទៅក្នុងសេចក្តីថ្លែងការណ៍នៃទ្រឹស្តីបទ មានគោលគំនិតសំខាន់ពីរគឺ៖

១. ដេរីវេ \(f'(x)\): វាស់ជម្រាលនៃក្រាហ្វ ឬអត្រានៃការផ្លាស់ប្តូរនៃ \(f(x)\) នៅពេលដែល \(x\) ផ្លាស់ប្តូរបន្តិច។ តាមវិចារណញាណ ប្រសិនបើ \(f(x)\) ពិពណ៌នាអំពីទីតាំង នោះ \(f'(x)\) ពិពណ៌នាអំពីល្បឿន។

២. អាំងតេក្រាលកំណត់ \(\int_a^bf(x)\,dx\): វាស់ការប្រមូលផ្តុំនៃ \(f\) លើចន្លោះពេល \([a,b]\)។ តាមធរណីមាត្រ វាត្រូវបានកំណត់ជាញឹកញាប់ថាជាផ្ទៃដែលមានសញ្ញា (ផ្ទៃវិជ្ជមានពីលើអ័ក្ស \(x\) ផ្ទៃអវិជ្ជមានខាងក្រោមអ័ក្ស \(x\)) នៅក្រោមខ្សែកោង \(y=f(x)\) ពី \(x=a\) ដល់ \(x=b\)។

អាំងតេក្រាលកំណត់ត្រូវបានកំណត់ជាផ្លូវការដោយដែនកំណត់នៃផលបូករីម៉ាន់ ពោលគឺការប៉ាន់ស្មានផ្ទៃក្រឡាដោយចតុកោណកែងតូចៗ បន្ទាប់មកយកដែនកំណត់នៅពេលដែលទទឹងនៃចតុកោណកែងទៅសូន្យ។

សេចក្តីថ្លែងការណ៍នៃទ្រឹស្តីបទមូលដ្ឋានគ្រឹះនៃកាល់គូលុស (ផ្នែកទី 1)

TFK ផ្នែកទី 1 ចែងថា៖ ប្រសិនបើ \(f\) បន្តលើ \([a,b]\) នោះយើងកំណត់អនុគមន៍ថ្មីមួយ
\[
F(x) = \int_a^xf(t)\,dt,
\]
បន្ទាប់មក \(F\) អាចទាញយកបានលើ \((a,b)\) និង
\[
F'(x)=f(x)។
\]

អត្ថន័យគឺមានសារៈសំខាន់ខ្លាំងណាស់៖ អាំងតេក្រាល "ដែលបានបង្កើតឡើង" ពី \(f\) ផ្តល់នូវអនុគមន៍ប្រឆាំងដេរីវេនៃ \(f\)។ ម្យ៉ាងវិញទៀត ដំណើរការប្រមូលផ្តុំរហូតដល់ចំណុច \(x\) នៅពេលដែលឌីផេរ៉ង់ស្យែលនឹងត្រឡប់ទៅអត្រាប្រមូលផ្តុំនៅចំណុចនោះ។

វិចារណញាណ ភាគទី 1
ចំណាំការផ្លាស់ប្តូរតិចតួចនៅក្នុង \(F(x)\) នៅពេលដែល \(x\) ត្រូវបានបង្កើនចំនួនតិចតួច \(\Delta x\):
\[
F(x+\Delta x)-F(x)=\int_a^{x+\Delta x} f(t)\,dt – \int_a^{xf(t)\,dt = \int_x^{x+\Delta x} f(t)\,dt។
\]
ប្រសិនបើ \(\Delta x\) តូច អាំងតេក្រាលនេះគឺប្រហាក់ប្រហែលនឹង \(f(x)\Delta x\)។ ដូច្នេះ
\[
\frac{F(x+\Delta x)-F(x)}{\Delta x}\ប្រហែល f(x)។
\]
នៅពេលដែល \(\Delta x\ ទៅ 0\) ការប៉ាន់ស្មានក្លាយជាពិតប្រាកដ ដូច្នេះ \(F'(x)=f(x)\)។

ឧទាហរណ៍សាមញ្ញ
ឧបមាថា \(f(t)=2t\)។ ចូរកំណត់
\[
F(x) = \int_0^x 2t\,dt។
\]
យើងដឹងថា \(\int 2t\,dt = t^2\) ដូច្នេះ \(F(x)=x^2\)។ ដេរីវេគឺ \(F'(x)=2x\) ដែលត្រលប់ទៅ \(f(x)\)។ នេះបង្ហាញផ្នែកទី 1 យ៉ាងច្បាស់។

សេចក្តីថ្លែងការណ៍នៃទ្រឹស្តីបទមូលដ្ឋានគ្រឹះនៃកាល់គូលុស (ផ្នែកទី 2)

TFK ផ្នែកទី 2 ចែងថា៖ ប្រសិនបើ \(f\) ជាបន្តលើ \([a,b]\) ហើយ \(F\) ជាអង់ទីដេរីវ៉ាទីកនៃ \(f\) (ឧ. \(F'(x)=f(x)\)) នោះ
\[
\int_a^bf(x)\,dx = F(b)-F(a)។
\]

នេះគឺជាទម្រង់ទ្រឹស្តីបទដែលប្រើញឹកញាប់បំផុតនៅក្នុងការគណនាអាំងតេក្រាល។ វាបញ្ជាក់ថា ដើម្បីគណនាអាំងតេក្រាលកំណត់ យើងលែងត្រូវការអនុវត្តដែនកំណត់នៃផលបូករីម៉ាន់ដោយផ្ទាល់ទៀតហើយ។ គ្រាន់តែស្វែងរកអង់ទីដេរីវ៉ាទីវនៃ \(F\) បន្ទាប់មកវាយតម្លៃវានៅដែនកំណត់ខាងលើ និងខាងក្រោម។

ឧទាហរណ៍នៃការគណនា
ចំនួន៖
\[
\int_1^3 (x^2+1)\,dx។
\]
អង់ទីដេរីវេគឺ
\[
F(x) = \frac{x^3}{3} + x។
\]
ដូច្នេះ៖
\[
\int_1^3 (x^2+1)\,dx = \left(\frac{3^3}{3}+3\right)-\left(\frac{1^3}{3}+1\right)
= \left(9+3\right)-\left(\frac{1}{3}+1\right)
=12-\frac{4}{3}=\frac{32}{3}.
\]
បើគ្មាន TFK ទេ យើងនឹងត្រូវកំណត់អាំងតេក្រាលជាដែនកំណត់នៃផលបូកនៃផ្ទៃក្រឡាចតុកោណកែង ហើយគណនាដែនកំណត់—យូរជាងនេះទៅទៀត។

ហេតុអ្វីបានជាវាត្រូវបានគេហៅថា "មូលដ្ឋាន"?

ទ្រឹស្តីបទនេះជាមូលដ្ឋានពីព្រោះ៖

១. បញ្ចូលគ្នានូវគោលគំនិតសំខាន់ៗពីរនៃកាល់គូលុស៖ ដេរីវេ (ការផ្លាស់ប្តូរ) និងអាំងតេក្រាល (កកកុញ)។
2. ផ្តល់នូវវិធីសាស្ត្រជាក់ស្តែងមួយ៖ អាំងតេក្រាលកំណត់អាចត្រូវបានគណនាដោយប្រើអង់ទីដេរីវ៉ាយ។
៣. ជាមូលដ្ឋានគ្រឹះនៃការអនុវត្តជាច្រើន៖ រូបវិទ្យា (ការងារ និងថាមពល) ស្ថិតិ (ការចែកចាយ និងឱកាស) សេដ្ឋកិច្ច (ថ្លៃដើមសរុបធៀបនឹងថ្លៃដើមរឹម) ជីវវិទ្យា (កំណើនប្រជាជន)។ល។

តាមគំនិត ការគណនាក្លាយជាឧបករណ៍ដែលស៊ីសង្វាក់គ្នា៖ យើងអាចប្តូររវាងគំរូ "អត្រា" និង "សរុប" បានយ៉ាងងាយស្រួល។

កម្មវិធីដែលលេចឡើងជាញឹកញាប់

1. ចម្ងាយពីល្បឿន
ប្រសិនបើ v(t)) ជាល្បឿន នោះការផ្លាស់ទីលំនៅសុទ្ធគឺ៖
\[
s(b)-s(a) = \int_a^bv(t)\,dt។
\]
នេះ​គឺ​ត្រង់​ពី TFK ផ្នែក​ទី 2 ប្រសិនបើ \(v(t)=s'(t)\)។ ប្រសិនបើ \(v(t)\) ជួនកាល​អវិជ្ជមាន អាំងតេក្រាល​ផ្តល់​នូវ​ការ​ផ្លាស់ទីលំនៅ​សុទ្ធ។ សម្រាប់​ចម្ងាយ​សរុប វា​ជាធម្មតា​ត្រូវ​បាន​គណនា​ជា \(\int_a^b |v(t)|\,dt\)។

2. ការប្រមូលផ្តុំនៃអត្រានៃការផ្លាស់ប្តូរ
ប្រសិនបើធុងមួយត្រូវបានបំពេញក្នុងអត្រា ∙(t)∙) លីត្រ/នាទី នោះបរិមាណដែលចូលក្នុងអំឡុងពេលចន្លោះពេល ∙([a,b]∙) គឺ ∙(\int_a^br(t)∙, dt∙)។ ប្រសិនបើមានទាំងអត្រាលំហូរចូល និងអត្រាលំហូរចេញ នោះការប្រែប្រួលសុទ្ធនៃបរិមាណគឺជាអាំងតេក្រាលនៃ (លំហូរចូល − លំហូរចេញ)។

៣. ទ្រឹស្តីបទតម្លៃមធ្យមសម្រាប់អាំងតេក្រាល
ពី TFK ផលវិបាកផ្សេងៗកើតឡើងដូចជាតម្លៃមធ្យមនៃអនុគមន៍៖
\[
f_{\text{avg}} = \frac{1}{ba}\int_a^bf(x)\,dx។
\]
នេះមានសារៈសំខាន់ក្នុងការវិភាគទិន្នន័យ និងការធ្វើគំរូ។

កំណត់ចំណាំសំខាន់ៗ៖ លក្ខខណ្ឌ

ជាទូទៅ TFK តម្រូវឱ្យមានភាពបន្តនៃអនុគមន៍ \(f\) លើចន្លោះពេលដែលមានសំណួរ ដើម្បីឱ្យការបញ្ចេញមតិរបស់វារលូន។ នៅក្នុងការសិក្សាបន្ថែម ទ្រឹស្តីបទនេះអាចត្រូវបានពង្រីកទៅអនុគមន៍ដែលមិនចាំបាច់បន្ត (ឧទាហរណ៍ អនុគមន៍ដែលអាចអាំងតេក្រាលរីម៉ាន់នៀន ឬលេបេសក្រោមលក្ខខណ្ឌជាក់លាក់) ប៉ុន្តែសម្រាប់ការគណនាបឋម សម្មតិកម្មភាពបន្តគឺជាស្តង់ដារ។

លើសពីនេះ អាំងតេក្រាលកំណត់ផ្តល់ផ្ទៃដែលមានសញ្ញា មិនមែនតែងតែជា "ផ្ទៃធរណីមាត្រសុទ្ធ" នោះទេ។ ប្រសិនបើក្រាហ្វស្ថិតនៅក្រោមអ័ក្ស x អាំងតេក្រាលគឺអវិជ្ជមាន។ សម្រាប់ផ្ទៃធរណីមាត្រ តម្លៃដាច់ខាត ឬការបំបែកចន្លោះពេលជាធម្មតាត្រូវបានប្រើ។

Penutup

ទ្រឹស្តីបទមូលដ្ឋានគ្រឹះនៃកាល់គូលុស គឺជាស្នូលដែលបង្រួបបង្រួមដេរីវេ និងអាំងតេក្រាល។ ផ្នែកទី 1 បានបង្ហាញថា ការប្រមូលផ្តុំនៃអនុគមន៍បន្ត នៅពេលដែលឌីផេរ៉ង់ស្យែល នឹងត្រឡប់ទៅអនុគមន៍ដើមវិញ។ ផ្នែកទី 2 បានបង្ហាញពីវិធីរហ័សមួយដើម្បីគណនាអាំងតេក្រាលកំណត់៖ គ្រាន់តែស្វែងរកអង់ទីដេរីវេ ហើយវាយតម្លៃភាពខុសគ្នានៅលីមីត។ ជាមួយនឹងទ្រឹស្តីបទនេះ កាល់គូលុសមិនមែនគ្រាន់តែជាការប្រមូលផ្តុំនៃបច្ចេកទេសគណិតវិទ្យានោះទេ ប៉ុន្តែជាក្របខ័ណ្ឌដ៏ប្រណិតសម្រាប់ការយល់ដឹងអំពីពិភពលោក៖ របៀបដែលអ្វីៗផ្លាស់ប្តូរទៅតាមពេលវេលា និងរបៀបដែលការផ្លាស់ប្តូរទាំងនោះប្រមូលផ្តុំទៅជាចំនួនសរុប។

ប្រសិនបើអ្នកសិក្សាវិធីសាស្ត្រអាំងតេក្រាល សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល ឬគំរូរូបវន្តនៅពេលក្រោយ អ្នកនឹងបន្តឃើញ TFK ធ្វើការនៅពីក្រោយឆាក — ជា "ស្ពាន" ដែលធ្វើឱ្យការគណនាក្លាយជាឧបករណ៍ដ៏មានឥទ្ធិពល។