វិធីសាស្ត្រ Trapezoidal ក្នុងអាំងតេក្រាល
នៅក្នុងគណិតវិទ្យាអនុវត្ត យើងតែងតែជួបប្រទះបញ្ហានៃការគណនាផ្ទៃក្រោមខ្សែកោង។ តាមទ្រឹស្តី នេះអាចត្រូវបានដោះស្រាយដោយប្រើអាំងតេក្រាលកំណត់។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ នៅក្នុងការអនុវត្ត មិនមែនអនុគមន៍ទាំងអស់សុទ្ធតែងាយស្រួលធ្វើសមាហរណកម្មវិភាគនោះទេ។ អនុគមន៍មួយចំនួនមានភាពស្មុគស្មាញ ទិន្នន័យមានតែក្នុងទម្រង់តារាងប៉ុណ្ណោះ ឬគំរូខ្វះអង់ទីដេរីវ៉ាទីតសាមញ្ញ។ ក្នុងស្ថានភាពដូចនេះ វិធីសាស្ត្រលេខក្លាយជាចាំបាច់។ វិធីសាស្ត្រលេខមួយក្នុងចំណោមវិធីសាស្ត្រលេខដែលល្បី និងប្រើញឹកញាប់បំផុតគឺច្បាប់ចតុកោណកែង ដែលជាបច្ចេកទេសប្រហាក់ប្រហែលសម្រាប់អាំងតេក្រាលដែលបែងចែកផ្ទៃក្រោមខ្សែកោងទៅជារាងចតុកោណកែង។
គោលគំនិតជាមូលដ្ឋាននៃអាំងតេក្រាលកំណត់
តាមធរណីមាត្រ អាំងតេក្រាលកំណត់ \(\int_a^bf(x)\,dx\) អាចយល់បានថាជាផ្ទៃដែលកំណត់ដោយខ្សែកោង \(y=f(x)\) អ័ក្ស \(x\) និងបន្ទាត់បញ្ឈរ \(x=a\) និង \(x=b\)។ ប្រសិនបើ \(f(x)\ge 0\) អាំងតេក្រាលគឺជាផ្ទៃវិជ្ជមាន។ ប្រសិនបើអនុគមន៍មានតម្លៃអវិជ្ជមានលើចន្លោះពេលជាក់លាក់មួយ អាំងតេក្រាលផ្តល់ "ផ្ទៃដែលមានសញ្ញា"។
បញ្ហាចម្បងកើតឡើងនៅពេលដែល៖
១. អនុគមន៍ \(f(x)\) មិនមានអង់ទីដេរីវ៉ាទីកដែលអាចត្រូវបានបង្ហាញដោយអនុគមន៍បឋមទេ។
២. តម្លៃនៃ \(f(x)\) ត្រូវបានគេដឹងតែនៅចំណុចមួយចំនួនប៉ុណ្ណោះ (ទិន្នន័យពិសោធន៍)។
៣. ការគណនានិមិត្តសញ្ញាគ្មានប្រសិទ្ធភាព ឬមិនអាចទៅរួច។
នេះជាកន្លែងដែលវិធីសាស្ត្រ trapezoidal ត្រូវបានប្រើដើម្បីប៉ាន់ស្មានតម្លៃអាំងតេក្រាលដោយប្រើប្រាស់តម្លៃអនុគមន៍នៅចំណុចជាក់លាក់។
គំនិតវិធីសាស្ត្រ Trapezoidal
វិធីសាស្ត្រចតុកោណកែងចាប់ផ្តើមដោយគំនិតសាមញ្ញមួយ៖ ប្រហាក់ប្រហែលខ្សែកោងដែលមានបន្ទាត់ត្រង់នៅចន្លោះរងនីមួយៗ។ ខណៈពេលដែលវិធីសាស្ត្រផលបូករីម៉ាន់ប្រើជ្រុងកែង និងផ្ទៃចតុកោណកែង វិធីសាស្ត្រចតុកោណកែងប្រើចំណុចបញ្ចប់ពីរនៅលើចន្លោះរង ហើយភ្ជាប់ពួកវាជាមួយបន្ទាត់ត្រង់។ ផ្ទៃនៅក្រោមបន្ទាត់ត្រង់បង្កើតជាចតុកោណកែង មិនមែនចតុកោណកែងទេ។
ឧបមាថាយើងចង់គណនា៖
\[
\int_a^bf(x)\,dx
\]
យើងចែកចន្លោះពេល \([a,b]\) ទៅជាចន្លោះពេលរង \(n\) ដែលមានប្រវែងស្មើគ្នា។ ប្រវែងនៃចន្លោះពេលរងនីមួយៗគឺ៖
\[
h = \frac{ba}{n}
\]
ចំណុចបែងចែក៖
\[
x_0=a, x_1=a+h, x_2=a+2h, ចំណុច, x_n=b
\]
ជាមួយនឹងតម្លៃមុខងារ៖
\[
f(x_0), f(x_1), ចំណុចៗ, f(x_n)
\]
នៅលើចន្លោះពេលរងនីមួយៗ \([x_{i-1}, x_i]\) ផ្ទៃក្រោមខ្សែកោងត្រូវបានប៉ាន់ស្មានដោយផ្ទៃនៃចតុកោណកែង៖
\[
A_i \approx \frac{h}{2}\left[f(x_{i-1}) + f(x_i)\right]
\]
បន្ទាប់មកផ្ទៃដីសរុប (ការប៉ាន់ស្មានអាំងតេក្រាល) ត្រូវបានទទួលដោយការបូកបញ្ចូលគ្នានៃចតុកោណកែងទាំងអស់៖
\[
\int_a^bf(x)\,dx \approx \sum_{i=1}^{n}\frac{h}{2}\left[f(x_{i-1}) + f(x_i)\right]
\]
ប្រសិនបើរៀបចំបានល្អ រូបមន្តច្បាប់ចតុកោណកែងសមាសធាតុក្លាយជា៖
\[
\int_a^b f(x)\,dx \approx \frac{h}{2}\left[f(x_0)+2f(x_1)+2f(x_2)+\cdots+2f(x_{n-1})+f(x_n)\right]
\]
សូមកត់សម្គាល់លំនាំមេគុណ៖ ចំណុចបញ្ចប់ \(x_0\) និង \(x_n\) ត្រូវបានគុណនឹង 1 ខណៈដែលចំណុចនៅកណ្តាលត្រូវបានគុណនឹង 2។
ឧទាហរណ៍ការគណនាសាមញ្ញ
ឧបមាថាយើងចង់ចូលទៅជិត៖
\[
\int_0^2 x^2\,dx
\]
តាមការវិភាគ អាំងតេក្រាលគឺ \(\left.\frac{x^3}{3}\right|_0^2=\frac{8}{3}\approx 2{,}6667\)។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ យើងនឹងប្រើវិធីសាស្ត្រចតុកោណកែងជាមួយ \(n=4\)។
១. ចន្លោះពេល \([០,២]\) បន្ទាប់មក៖
\[
h=\frac{2-0}{4}=0{,}5
\]
2. Titik-titik: \(x_0=0\), \(x_1=0{,}5\), \(x_2=1\), \(x_3=1{,}5\), \(x_4=2\)
៣. តម្លៃអនុគមន៍៖
\(f(0)=0\)
\(f(0{,}5)=0{,}25\)
\(f(1)=1\)
\(f(1{,}5)=2{,}25\)
\(f(2)=4\)
ប្រើរូបមន្តត្រីកោណស្មុគស្មាញ៖
\[
T=\frac{h}{2}\left[f(x_0)+2f(x_1)+2f(x_2)+2f(x_3)+f(x_4)\right]
\]
\[
T=\frac{0{,}5}{2}\left[0+2(0{,}25)+2(1)+2(2{,}25)+4\right]
\]
\[
T=0{,}25\left[0{,}5+2+4{,}5+4\right]=0{,}25(11)=2{,}75
\]
លទ្ធផលប្រហាក់ប្រហែលនៃ 2,75 គឺជិតនឹងតម្លៃពិតប្រាកដនៃ 2,6667 ជាមួយនឹងកំហុសប្រហែល 0,0833។
កំហុសក្នុងវិធីសាស្ត្រ Trapezoidal
វិធីសាស្ត្រចតុកោណកែងគឺជាវិធីសាស្ត្រប្រហាក់ប្រហែល មានន័យថាតែងតែមានភាពខុសគ្នារវាងតម្លៃប្រហាក់ប្រហែល និងតម្លៃអាំងតេក្រាលពិតប្រាកដ។ ទំហំនៃកំហុសត្រូវបានជះឥទ្ធិពលដោយ៖
១. ចំនួននៃចន្លោះពេលរង \(n\)៖ ធំជាង \(n\) តូចជាង \(h\) ហើយជាទូទៅ លទ្ធផលកាន់តែត្រឹមត្រូវ។
2. ភាពកោងនៃអនុគមន៍៖ ប្រសិនបើអនុគមន៍មានរាងកោងខ្លាំង (មានដេរីវេទីពីរធំ) វិធីសាស្ត្រចតុកោណកែងអាចមានភាពត្រឹមត្រូវតិចជាងវិធីសាស្ត្រលំដាប់ខ្ពស់ជាង។
ចំពោះអនុគមន៍រលូនគ្រប់គ្រាន់ (មានដេរីវេទីពីរបន្ត) កំហុសនៃវិធីសាស្ត្រចតុកោណកែងសមាសធាតុអាចត្រូវបានប៉ាន់ប្រមាណ៖
\[
E_T = -\frac{(ba)}{12}h^2 f”(\xi)
\]
សម្រាប់ \(\xi\) មួយចំនួនរវាង \(a\) និង \(b\)។ ពីរូបមន្តនេះ យើងអាចមើលឃើញថា កំហុសគឺសមាមាត្រទៅនឹង \(h^2\)។ នោះគឺប្រសិនបើយើងកាត់បន្ថយ \(h\) ពាក់កណ្តាល (ពោលគឺទ្វេដងនៃចំនួនចន្លោះរង) កំហុសត្រូវបានកាត់បន្ថយប្រហែលមួយភាគបួន។
គុណសម្បត្តិនៃវិធីសាស្ត្រ Trapezoidal
វិធីសាស្ត្រ trapezoidal មានប្រជាប្រិយភាពដោយសារហេតុផលជាច្រើន៖
១. សាមញ្ញ និងលឿន
ការគណនាគឺងាយស្រួល ហើយថែមទាំងអាចធ្វើដោយដៃសម្រាប់ករណីតូចៗទៀតផង។
2. សមស្របសម្រាប់ទិន្នន័យតារាង
ប្រសិនបើតម្លៃនៃ \(f(x)\) ត្រូវបានគេដឹងតែនៅចំណុចដាច់ពីគ្នា (ឧទាហរណ៍ លទ្ធផលនៃការវាស់វែង) វិធីសាស្ត្រនេះអាចត្រូវបានអនុវត្តដោយផ្ទាល់។
៣. ភាពត្រឹមត្រូវល្អជាងវិធីសាស្ត្រចតុកោណកែង
ដោយសារតែវាប្រើចំណុចបញ្ចប់ពីរ ហើយប្រហាក់ប្រហែលអនុគមន៍ជាមួយបន្ទាត់ត្រង់ ជាទូទៅវាមានភាពត្រឹមត្រូវជាងការប្រហាក់ប្រហែលចតុកោណកែងសម្រាប់ចំនួនភាគថាសដូចគ្នា។
៤. មានស្ថេរភាពសម្រាប់កម្មវិធីវិស្វកម្មជាច្រើន
បញ្ហារូបវិទ្យា និងវិស្វកម្មជាច្រើន (ឧទាហរណ៍ ការគណនាការងារ ថាមពល ផ្ទៃកាត់ ការបញ្ចេញ និងផ្សេងៗទៀត) អាចត្រូវបានដោះស្រាយដោយវិធីសាស្ត្រនេះ។
ដែនកំណត់នៃវិធីសាស្ត្រ Trapezoidal
ទោះបីជាវិធីសាស្ត្រនេះមានប្រយោជន៍ក៏ដោយ ក៏វាមានដែនកំណត់ដែរ៖
១. មិនសូវត្រឹមត្រូវសម្រាប់មុខងារកោងខ្លាំង
ដោយសារវាប្រើតែការប៉ាន់ស្មានលីនេអ៊ែរលើចន្លោះរងនីមួយៗ អនុគមន៍ដែលមានការប្រែប្រួលយ៉ាងលឿន ឬខ្សែកោងមុតស្រួចទាមទារឲ្យមាន \(n\) ធំ។
២. មិនមែនជាវិធីសាស្ត្រលំដាប់ខ្ពស់ទេ
កំហុសតាមលំដាប់ \(h^2\); វិធីសាស្ត្រផ្សេងទៀតដូចជាវិធីសាស្ត្រ Simpson អាចផ្តល់កំហុសតូចជាងលើចំនួនចន្លោះរងដូចគ្នា (ដោយផ្តល់ថាអនុគមន៍រលូនគ្រប់គ្រាន់)។
៣. ងាយនឹងជ្រើសរើសចន្លោះពេល
ប្រសិនបើចន្លោះពេលធំទូលាយពេក ហើយ \(n\) តូច លទ្ធផលអាចប្រែប្រួលយ៉ាងខ្លាំង។
Penutup
វិធីសាស្ត្រអាំងតេក្រាលរាងចតុកោណកែងគឺជាបច្ចេកទេសមូលដ្ឋានបំផុតមួយក្នុងអាំងតេក្រាលលេខ។ តាមរយៈការបែងចែកចន្លោះពេលទៅជាផ្នែកតូចៗ ហើយជំនួសខ្សែកោងដោយបន្ទាត់ត្រង់នៅផ្នែកនីមួយៗ យើងអាចប៉ាន់ស្មានអាំងតេក្រាលដោយមិនចាំបាច់ស្វែងរកអង់ទីដេរីវ៉ាទីវដោយវិភាគនោះទេ។ រូបមន្តនេះគឺសាមញ្ញ ងាយស្រួលអនុវត្ត និងមានប្រយោជន៍ជាពិសេសនៅពេលដែលទិន្នន័យដាច់ពីគ្នា ឬអនុគមន៍ពិបាកអាំងតេក្រាល។
ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ អ្នកប្រើប្រាស់វិធីសាស្ត្រ trapezoidal ត្រូវយកចិត្តទុកដាក់ចំពោះចំនួននៃចន្លោះពេលរង និងឥរិយាបថនៃអនុគមន៍ដែលកំពុងត្រូវបានរួមបញ្ចូល។ ចំពោះអនុគមន៍កោងខ្ពស់ ឬនៅពេលដែលត្រូវការភាពជាក់លាក់ខ្ពស់ វិធីសាស្ត្រ trapezoidal នៅតែអាចប្រើដោយការបង្កើន \(n\) ឬវិធីសាស្ត្រលេខផ្សេងទៀតដូចជាវិធីសាស្ត្រ Simpson ឬ Romberg អាចត្រូវបានពិចារណា។ ដោយមានការយល់ដឹងល្អ វិធីសាស្ត្រ trapezoidal ក្លាយជាឧបករណ៍ដ៏មានប្រសិទ្ធភាព និងជាក់ស្តែងសម្រាប់ដោះស្រាយបញ្ហាអាំងតេក្រាលផ្សេងៗនៅក្នុងវិទ្យាសាស្ត្រ វិស្វកម្ម និងសេដ្ឋកិច្ច។
