លំនាំច្រំដែលក្នុងពិជគណិត
នៅក្នុងគណិតវិទ្យា ជាពិសេសពិជគណិត យើងតែងតែជួបប្រទះលំនាំ៖ ភាពទៀងទាត់ដែលកើតចេញពីលំដាប់នៃលេខ រូបរាង ឬទំនាក់ទំនងរវាងនិមិត្តសញ្ញា។ មធ្យោបាយដ៏មានឥទ្ធិពលបំផុតមួយដើម្បីពិពណ៌នាអំពីលំនាំទាំងនេះគឺតាមរយៈការហៅខ្លួនឯង។ ការហៅខ្លួនឯងមានន័យថា យើងកំណត់វត្ថុមួយ (ជាធម្មតាលំដាប់ ឬអនុគមន៍) ដោយយោងទៅលើតម្លៃមុនរបស់វា។ ជំនួសឱ្យការសរសេររូបមន្តជាក់លាក់ដែលផ្តល់តម្លៃទី n ភ្លាមៗ យើងបង្កើតច្បាប់ "មួយជំហានម្តងៗ"។ វិធីសាស្រ្តនេះហាក់ដូចជាសាមញ្ញ ប៉ុន្តែផលវិបាករបស់វាគឺជ្រាលជ្រៅ ព្រោះរចនាសម្ព័ន្ធពិជគណិត និងដំណើរការគណនាជាច្រើនអាចត្រូវបានយល់កាន់តែច្បាស់តាមរយៈលំនាំហៅខ្លួនឯង។
តើការហៅឡើងវិញក្នុងពិជគណិតជាអ្វី?
ជាទូទៅ និយមន័យ recursive មានសមាសធាតុពីរ៖
១. លក្ខខណ្ឌដំបូង (មូលដ្ឋាន)៖ តម្លៃដំបូងដែលក្លាយជាចំណុចចាប់ផ្តើម។
២. ច្បាប់ហៅឡើងវិញ៖ ទំនាក់ទំនងដែលពន្យល់ពីរបៀបបង្កើតពាក្យបន្ទាប់ពីពាក្យមុន។
ឧទាហរណ៍ លំដាប់ \(\{a_n\}\) អាចត្រូវបានកំណត់ដោយ៖
–\(a_1 = 2\)
– \(a_{n+1} = 3a_n + 1\)
នេះមានន័យថា ដើម្បីដឹង \(a_5\) យើងត្រូវដឹង \(a_4\) ហើយបន្តរហូតដល់យើងត្រលប់ទៅគោល \(a_1\) វិញ។ នេះឆ្លុះបញ្ចាំងពី “លំនាំបន្តិចម្តងៗ” ដែលជារឿយៗលេចឡើងក្នុងបញ្ហាពិជគណិត ដូចជាការលូតលាស់ ការគុណ ឬការបំលែងម្តងហើយម្តងទៀត។
លំដាប់នព្វន្ត និងធរណីមាត្រជាលំដាប់នៃការហៅខ្លួនឯង
លំដាប់បុរាណបំផុតពីរនៅក្នុងពិជគណិត — នព្វន្ត និងធរណីមាត្រ — គឺជាលំដាប់វិលជុំដោយធម្មជាតិ។
លំដាប់នព្វន្ធមានភាពខុសគ្នាថេរ \(d\)។ និយមន័យនៃចំនួនគត់ដែលត្រូវបានគណនាឡើងវិញរបស់វា៖
–\(a_1 = c\)
– \(a_{n+1} = a_n + d\)
ខណៈពេលដែលលំដាប់ធរណីមាត្រមានសមាមាត្រថេរ \(r\):
–\(a_1 = c\)
– \(a_{n+1} = r \cdot a_n\)
ខណៈពេលដែលទាំងពីរមានទម្រង់ច្បាស់លាស់ និយមន័យដដែលៗច្រើនតែ "ប្រាប់រឿងរ៉ាវ" បានល្អជាង។ ឧទាហរណ៍ កំណើនដើមទុនដែលមានការកើនឡើងប្រចាំខែថេរសមនឹងនព្វន្ត ខណៈពេលដែលកំណើនបាក់តេរី (គុណ) គឺនៅជិតធរណីមាត្រ។
ឧទាហរណ៍ពេញនិយម៖ លំដាប់ Fibonacci
គំរូលំដាប់វិលជុំដ៏ល្បីបំផុតមួយគឺ Fibonacci៖
– \(F_1 = 1\), \(F_2 = 1\)
– \(F_{n} = F_{n-1} + F_{n-2}\) សម្រាប់ \(n \ge 3\)
ភាពប្លែកនៃ Fibonacci មិនត្រឹមតែស្ថិតនៅក្នុងរូបមន្តរបស់វាប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែថែមទាំងនៅក្នុងវិធីដែលវាបង្កើតភាពស្មុគស្មាញពីច្បាប់សាមញ្ញៗទៀតផង។ នៅក្នុងពិជគណិត Fibonacci ជារឿយៗបម្រើជាស្ពានសម្រាប់ការពិភាក្សាអំពីម៉ាទ្រីស ពហុធាលក្ខណៈ និងសូម្បីតែទ្រឹស្តីចំនួន។ លំនាំ recursive នេះក៏បង្ហាញផងដែរថាលំដាប់មួយអាចពឹងផ្អែកលើតម្លៃមុនច្រើនជាងមួយ មិនមែនគ្រាន់តែមួយនោះទេ។
ការបម្លែង Recursion ទៅជារូបមន្ត Explicit
ទោះបីជាការហៅខ្លួនឯងឡើងវិញជាដំណើរការមួយក៏ដោយ នៅក្នុងពិជគណិត យើងតែងតែចង់ទទួលបានរូបមន្តជាក់លាក់មួយ ដើម្បីគណនាពាក្យទី n បានយ៉ាងងាយស្រួល ដោយមិនចាំបាច់គណនាពាក្យមុនៗទាំងអស់នោះទេ។ ដំណើរការសម្រាប់បំលែងវាអាស្រ័យលើប្រភេទនៃការហៅខ្លួនវិញ។
ការហៅឡើងវិញលីនេអ៊ែរលំដាប់ទីមួយ
មីសាល់យ៉ា៖
– \(a_{n+1} = pa_n + q\)
នេះត្រូវបានគេហៅថា ការបង្កើតឡើងវិញលីនេអ៊ែរលំដាប់ទីមួយ។ ដោយប្រើការជំនួសម្តងហើយម្តងទៀត យើងអាចរកឃើញទម្រង់ទូទៅ។ ដោយវិចារណញាណ ផលប៉ះពាល់នៃ \(q\) កកកុញ ខណៈពេលដែល \(a_1\) ឆ្លងកាត់ការគុណម្តងហើយម្តងទៀតដោយ \(p\)។ នៅពេលដែល \(p \neq 1\) លទ្ធផលទូទៅគឺ៖
\[
a_n = p^{n-1}a_1 + q\frac{p^{n-1}-1}{p-1}
\]
រូបមន្តនេះបង្ហាញពីរចនាសម្ព័ន្ធពិជគណិតរបស់វា៖ ពាក្យទីមួយត្រូវបាន "ទាញ" ដោយនិទស្សន្ត \(p\) ខណៈពេលដែលថេរ \(q\) បង្កើតបានជាស៊េរីធរណីមាត្រមួយប្រភេទ។
ការហៅឡើងវិញលីនេអ៊ែរលំដាប់ទីមួយ
ចំពោះ Fibonacci និងសាច់ញាតិរបស់វា បច្ចេកទេសដែលប្រើជាញឹកញាប់គឺសមីការលក្ខណៈ។ ឧទាហរណ៍៖
– \(a_n = a_{n-1} + a_{n-2}\)
ដោយសន្មតថាដំណោះស្រាយមានទម្រង់ជា \(a_n = r^n\) នោះយើងទទួលបាន៖
\[
r^n = r^{n-1} + r^{n-2} \ចង្អុលទៅស្តាំ r^2 = r + 1
\]
ពីទីនេះ ឫសគល់នៃសមីការដឺក្រេទីកលេចចេញមក ដែលបន្ទាប់មកបង្កើតជារូបមន្តជាក់លាក់មួយ។ នេះបង្ហាញពីទំនាក់ទំនងជិតស្និទ្ធរវាងពិជគណិតពហុធា និងពិជគណិតពហុធា។
ការហៅឡើងវិញជាឧបករណ៍សម្រាប់ធ្វើគំរូដំណើរការពិជគណិត
លំនាំដដែលៗលេចឡើងមិនត្រឹមតែនៅក្នុងលំដាប់លេខប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែក៏នៅក្នុងដំណើរការពិជគណិតដូចជាការធ្វើឡើងវិញនៃអនុគមន៍ ក្បួនដោះស្រាយការចែក ឬការបង្កើតពហុធាផងដែរ។
ការធ្វើឡើងវិញនៃមុខងារ
ប្រសិនបើអនុគមន៍ f(x)\) ត្រូវបានអនុវត្តម្តងហើយម្តងទៀត៖
– \(x_{n+1} = f(x_n)\)
នេះគឺជាការហៅខ្លួនឯងឡើងវិញ។ ឧទាហរណ៍ វិធីសាស្ត្ររបស់ញូតុនសម្រាប់ស្វែងរកឫសគល់នៃសមីការប្រើការធ្វើឡើងវិញ៖
\[
x_{n+1} = x_n – \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}
\]
ទោះបីជានេះរួមបញ្ចូលទាំងការវិភាគលេខក៏ដោយ រចនាសម្ព័ន្ធមូលដ្ឋាននៅតែជាពិជគណិត៖ យើងប្រើច្បាប់ដដែលៗ ហើយកេងចំណេញពីលទ្ធផលមុនៗ។
ក្បួនដោះស្រាយរបស់ Euclid
ដើម្បីស្វែងរក GCF (កត្តារួមធំបំផុត) ក្បួនដោះស្រាយរបស់ Euclid ដំណើរការឡើងវិញ៖
– \(\gcd(a, b) = \gcd(b, a \bmod b)\)
សាមញ្ញ ប៉ុន្តែមានអានុភាពខ្លាំង ហើយបង្កើតជាមូលដ្ឋានសម្រាប់ប្រធានបទពិជគណិតកម្រិតខ្ពស់ដូចជាចិញ្ចៀន ឧត្តមគតិ និងសូម្បីតែនព្វន្ធម៉ូឌុលក្នុងការអ៊ិនគ្រីប។
លំនាំច្រំដែលក្នុងពហុធា
នៅក្នុងពិជគណិត គ្រួសារពហុធាសំខាន់ៗមួយចំនួនត្រូវបានកំណត់ឡើងវិញជាលំដាប់។ ឧទាហរណ៍ ពហុធា Chebyshev \(T_n(x)\) មានទំនាក់ទំនងដូចខាងក្រោម៖
– \(T_0(x)=1\), \(T_1(x)=x\)
– \(T_{n+1}(x)=2xT_n(x)-T_{n-1}(x)\)
និយមន័យនេះអនុញ្ញាតឱ្យពហុធាត្រូវបានបង្កើតឡើងជាជំហានៗ ដែលធ្វើឱ្យវាកាន់តែងាយស្រួលក្នុងការបញ្ជាក់លក្ខណៈសម្បត្តិរបស់វា។ ប្រភេទនៃការបង្កើតឡើងវិញនេះត្រូវបានគេប្រើជាញឹកញាប់នៅក្នុងវិធីសាស្រ្តគណនា ពីព្រោះវាអនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្កើតពហុធាកម្រិតខ្ពស់ដោយមិនចាំបាច់ចាប់ផ្តើមពីសូន្យរាល់ពេល។
ភស្តុតាងនៃការហៅខ្លួនឯង និងអាំងឌុចស្យុង
អនុភាពនៃការធ្វើឡើងវិញក៏លេចឡើងនៅក្នុងវិធីដែលយើងបញ្ជាក់សេចក្តីថ្លែងការណ៍ពិជគណិតផងដែរ។ ប្រសិនបើវត្ថុមួយត្រូវបានបង្កើតឡើងវិញ នោះភស្តុតាងធម្មជាតិដែលភ្ជាប់មកជាមួយវាគឺជាអាំងឌុចស្យុងគណិតវិទ្យា។ អាំងឌុចស្យុងធ្វើតាមរចនាសម្ព័ន្ធដូចគ្នា៖
១. សូមបញ្ជាក់ថាពិតសម្រាប់ករណីមូលដ្ឋាន។
២. សន្មតថាពិតសម្រាប់ \(n=k\)។
៣. ចូរបញ្ជាក់ថា \(n=k+1\) ពិតដោយប្រើសម្មតិកម្មទាំងនេះ។
ឧទាហរណ៍ ប្រសិនបើលំដាប់មួយត្រូវបានកំណត់ឡើងវិញ យើងអាចបញ្ជាក់រូបមន្តជាក់លាក់របស់វាដោយអាំងឌុចស្យុង៖ បង្ហាញថាវាពិតសម្រាប់ \(n=1\) បន្ទាប់មកប្រើច្បាប់ដដែលៗដើម្បីទាញយកទម្រង់ \(n+1\)។ ដូច្នេះ ដដែលៗមិនត្រឹមតែជាឧបករណ៍កំណត់ប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែវាក៏ជាផែនទីដែលណែនាំវិធីសាស្ត្របញ្ជាក់ផងដែរ។
ហេតុអ្វីបានជាលំនាំ Recursive មានសារៈសំខាន់?
មានហេតុផលជាច្រើនដែលធ្វើឲ្យលំនាំដដែលៗមានសារៈសំខាន់ខ្លាំងនៅក្នុងពិជគណិត៖
– ការធ្វើឱ្យនិយមន័យសាមញ្ញ៖ វត្ថុស្មុគស្មាញជាច្រើនអាចត្រូវបានពិពណ៌នាដោយប្រើច្បាប់តូចៗដដែលៗ។
- ឆ្លុះបញ្ចាំងពីដំណើរការពិត៖ ការលូតលាស់ ការធ្វើឡើងវិញ និងការផ្លាស់ប្តូរបន្តិចម្តងៗ ទៅតាមការកើតឡើងវិញ។
– បង្កើតជាមូលដ្ឋាននៃក្បួនដោះស្រាយ៖ ចាប់ពី GCF រហូតដល់ការបង្កើតពហុធា នីតិវិធីគណនាជាច្រើនគឺជាដំណើរការវិលមុខ។
– ការតភ្ជាប់ប្រធានបទពិជគណិត៖ ការហៅឡើងវិញនាំមកនូវលំដាប់ អនុគមន៍ ពហុធា ម៉ាទ្រីស និងទ្រឹស្តីចំនួនក្នុងភាសាតែមួយ។
Penutup
លំនាំហៅដដែលៗក្នុងពិជគណិតគូសបញ្ជាក់ពីរបៀបដែលរបស់របរបង្កើតឡើងលើអ្វីដែលមានមុនពេលកើតឡើង។ ចាប់ពីនព្វន្ត ធរណីមាត្រ និងលំដាប់ Fibonacci រហូតដល់ពហុធាពិសេស និងក្បួនដោះស្រាយរបស់ Euclid លំនាំហៅដដែលៗផ្តល់នូវរចនាសម្ព័ន្ធសាមញ្ញប៉ុន្តែសម្បូរបែប។ ការយល់ដឹងអំពីលំនាំហៅដដែលៗមានន័យថា ការយល់ដឹងអំពីលំនាំ ហើយការយល់ដឹងអំពីលំនាំបើកផ្លូវសម្រាប់ការធ្វើគំរូ ភស្តុតាង និងការគណនាកាន់តែមានប្រសិទ្ធភាព។ នៅទីបំផុត លំនាំហៅដដែលៗបង្រៀនយើងថា នៅក្នុងពិជគណិត ជំហានតូចៗដែលស៊ីសង្វាក់គ្នាអាចបង្កើតគំនិតធំៗដែលមានអត្ថន័យ។
