Бернулли формуласы: принциптері және қолданылуы
Бернулли принципі - сұйықтық механикасындағы іргелі ұғым, оны 18 ғасырда швейцариялық ғалым Даниэль Бернулли ашқан. Бұл принцип сұйықтық ағынының жылдамдығы мен сол ағын ішіндегі қысым арасындағы байланысты түсіндіреді. Бұл мақалада Бернулли формуласы, оның негізгі ұғымдары, математикалық туындылары, есептеу мысалдары және күнделікті өмірде қолданылуы терең талқыланады.
Бернулли формуласын түсіну
Бернулли формуласы бойынша, идеалды сұйықтық ағынында (үйкеліссіз), көлем бірлігіне шаққандағы механикалық энергия мөлшері (потенциалдық энергия, кинетикалық энергия және қысым) ағын бойы тұрақты болады. Бұл формула келесідей өрнектеледі:
\[ P + \frac{1}{2} \rho v^2 + \rho gh = \text{тұрақты} \]
Қайда:
– \( P \) – сұйықтық қысымы (паскальдарда, Па),
– \( \rho \) – сұйықтықтың тығыздығы (текше метрге килограммен, кг/м³),
– \( v \) – сұйықтық ағынының жылдамдығы (секундына метрмен, м/с),
– \( g \) – ауырлық күшінен туындайтын үдеу (секундына метрмен, м/с²),
– \( h \) – сұйықтықтың анықтамалық нүктеден жоғары биіктігі (метрмен, м).
Бернулли принципі
Бернулли принципі энергияның сақталу заңына негізделген. Сұйықтық ағынында жүйеге энергия қосылмаса немесе одан энергия алынбаса, жүйедегі жалпы энергия тұрақты болып қалуы керек. Көлем бірлігіне шаққандағы жалпы энергия мыналардан тұрады:
1. Қысым энергиясы (\( P \)): сұйықтық қысымынан туындайтын энергия.
2. Кинетикалық энергия (\( \frac{1}{2} \rho v^2 \)): сұйықтық қозғалысынан туындайтын энергия.
3. Гравитациялық потенциалдық энергия (\( \rho gh \)): сұйықтықтың гравитациялық өрістегі орналасуынан туындайтын энергия.
Бернулли формуласының математикалық шығарылымы
Бернулли формуласының шығу тегін түсіну үшін 1-ші нүктеден 2-ші нүктеге қарай ағында (v) жылдамдықпен қозғалатын сұйықтықтың кішкене элементін қарастырамыз. Егер үйкеліс немесе жылу салдарынан энергия шығыны жоқ деп есептесек, 1 және 2 нүктелеріндегі жалпы энергия бірдей болуы керек.
1-нүктедегі (\( E_1 \)) толық энергия:
\[ E_1 = P_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 + \rho gh_1 \]
2-нүктедегі (\( E_2 \)) толық энергия:
\[ E_2 = P_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2 + \rho gh_2 \]
Жалпы энергия тұрақты болуы керек болғандықтан:
\[ P_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 + \rho gh_1 = P_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2 + \rho gh_2 \]
Бұл Бернулли формуласы деп аталады.
Бернулли формуласын қолданып есептеу мысалы
Мысалы, А нүктесінен В нүктесіне су ағатын көлденең құбыр бар делік. А нүктесінде судың жылдамдығы 2 м/с, ал қысымы 150 000 Па. В нүктесінде судың жылдамдығы 4 м/с. Судың тығыздығы 1000 кг/м³. В нүктесіндегі қысымды есептеңіз.
Бернулли формуласын қолданыңыз:
\[ P_A + \frac{1}{2} \rho v_A^2 + \rho gh_A = P_B + \frac{1}{2} \rho v_B^2 + \rho gh_B \]
Құбыр көлденең орналасқандықтан, \(h_A = h_B \), екі нүктедегі \(\rho gh \) мәнін ескермеуге болады:
\[ P_A + \frac{1}{2} \rho v_A^2 = P_B + \frac{1}{2} \rho v_B^2 \]
Белгілі мәндерді ауыстырыңыз:
\[ 150,000 + \frac{1}{2} \times 1000 \times (2)^2 = P_B + \frac{1}{2} \times 1000 \times (4)^2 \]
Екі нүктедегі кинетикалық энергияны есептеңіз:
\[ 150 000 + 2000 = P_B + 8000 \]
\[ 152 000 = P_B + 8000 \]
\[ P_B = 152 000 – 8000 \]
\[ P_B = 144 000 \, \text{Pa} \]
Сонымен, В нүктесіндегі қысым 144 000 Па құрайды.
Бернулли принципін қолдану
1. Ұшақтар: Бернулли принципі ұшақ қанаттарын жобалауда қолданылады. Ұшақ қанатының пішіні қанаттың үстіндегі ауа жылдамдығы қанаттың астындағыдан үлкен болатындай етіп жасалған. Бұл қанаттың үстіндегі қысымның төмендеуіне және қанаттың астындағы қысымның жоғарылауына әкеледі, бұл ұшақтың ұшуына мүмкіндік беретін көтеру күшін тудырады.
2. Жарыс көліктері: Жарыс көліктерінің аэродинамикалық дизайны жылдамдық пен тұрақтылықты арттыру үшін Бернулли принципін пайдаланады. Спойлерлер мен диффузорлар ауа ағынын реттеу, төмен қарай тартылу күшін арттыру үшін қолданылады, бұл көліктің жолдағы тартылуын жақсартады.
3. Денедегі қан ағымы: Бернулли принципі қан тамырлары арқылы қан ағымына да қатысты. Дененің әртүрлі бөліктеріндегі қан ағымының жылдамдығы мен қысымының айырмашылықтарын медициналық жағдайларды диагностикалау үшін зерттеуге болады.
4. Вентури өлшегіші: Құбырдағы сұйықтық ағынының жылдамдығын өлшеу үшін қолданылатын құрылғы. Вентури өлшегішінің тарылу қимасы бар, бұл Бернулли принципіне сәйкес сұйықтық ағынының жылдамдығының артуына және қысымның төмендеуіне әкеледі. Ағын жылдамдығын есептеу үшін кең және тар қималар арасындағы қысым айырмашылығы қолданылады.
5. Парфюмерия шашыратқыштары: Парфюмерия шашыратқыштары немесе сұйық шашыратқыштар Бернулли принципін қолданады. Ауа тар түтік арқылы үрленгенде, түтіктің ұшындағы ауа қысымы төмендейді, парфюмерия сұйықтығын түтік арқылы жоғары тартып, оны ұсақ тұман түрінде шашыратады.
Бернулли принципін қолдануға әсер ететін факторлар
1. Үйкеліс: Шын мәнінде, сұйықтықтар идеалды емес және әрқашан энергия шығынын тудыратын ішкі үйкеліс (тұтқырлық) болады. Бұл Бернулли принципін қолдануды күрделі етеді.
2. Сұйықтықтың сығылу қабілеті: Бернулли принципін сығылмайтын сұйықтықтарға (мысалы, су) қолдану оңайырақ. Газдар немесе сығылатын сұйықтықтар үшін теңдеуді түзету қажет.
3. Турбуленттілік: Бернулли принципі ламинарлық (тұрақты) ағынға қолданылады. Турбулентті (тұрақты емес) ағында талдау күрделене түседі.
Оқиғаны зерттеу: Бернулли принципін ұшақ қанаттарын жобалауда қолдану
Ұшақ қанатының дизайны Бернулли принципінің қолданылуының классикалық мысалы болып табылады. Қанаттың қисық жоғарғы және жалпақ төменгі пішіні ауаның қанаттың үстінен астына қарағанда жылдам өтуіне мүмкіндік береді. Бернулли принципіне сәйкес, қанаттың үстіндегі ауа ағынының жоғары жылдамдығы қанаттың астына қарағанда төмен қысым тудырады. Бұл қысым айырмашылығы ұшақтың ұшуына мүмкіндік беретін көтеру күшін тудырады.
Ұшақтың қанатының ауданы 25 м² болсын делік. Қанаттың үстіндегі ауа жылдамдығы 70 м/с, ал қанаттың астында 50 м/с. Ауа тығыздығы 1.225 кг/м³. Алынған көтеру күшін есептеңіз.
1. Бернулли формуласын пайдаланып, қысым айырмашылығын (\( \Delta P \)) есептеңіз:
\[ P_{bottom} – P_{top} = \frac{1}{2} \rho (v_{top}^2 – v_{bottom}^2) \]
Белгілі мәндерді ауыстырыңыз:
\[ \Delta P = \frac{1}{2} \times 1.225 \times (70^2 – 50^2) \]
\[ \Дельта P = \frac{1}{2} \times 1.225 \times (4900 – 2500) \]
\[ \Дельта P = \frac{1}{2} \times 1.225 \times 2400 \]
\[ \Дельта P = 1.225 \1200 еселенген \]
\[ \Дельта P = 1470 \, \мәтін{Па} \]
2. Көтеру күшін есептеңіз (\( F_{lift} \)):
\[ F_{lift} = \Delta P \times A \]
\[ F_{lift} = 1470 \, \text{Pa} \times 25 \, \text{m}^2 \]
\[ F_{көтеру} = 36 750 \, \мәтін{
N} \]
Сонымен, нәтижесінде пайда болған көтеру күші 36 750 Ньютонды құрайды.
Қорытынды
Бернулли принципі сұйықтық механикасының негізгі қағидаларының бірі болып табылады, ол сұйықтық ағынының жылдамдығы мен қысымы арасындағы байланысты түсіндіреді. Бернулли формуласын түсіну және қолдану арқылы біз ұшақтардан бастап ағын өлшегіштерге дейін сұйықтық ағынын қамтитын әртүрлі жүйелерді талдай және жобалай аламыз. Іс жүзінде біз көбінесе үйкеліс және турбуленттілік сияқты факторларды ескеруіміз керек болса да, Бернулли принципі сұйықтық динамикасын түсінуде және тиімді инженерлік шешімдерді жобалауда маңызды құрал болып қала береді.
