Бірлік векторлық компоненттерді пайдаланып нүктелік көбейту материалы
Егер біз A және B векторларының x, y және z компоненттерін (белгілі векторлар) білсек, скалярлық көбейтіндіні тікелей есептей аламыз.
Нүктелік көбейтіндіні осылайша орындау үшін алдымен бірлік векторлардың нүктелік көбейтіндісін орындаймыз, содан кейін А және В векторларын олардың компоненттерінде өрнектейміз, көбейтіндіні жіктейміз және бірлік векторлардың көбейтіндісін қолданамыз.
i , j және k бірлік векторлары бір-біріне перпендикуляр, бұл есептеулерді жеңілдетеді. Жоғарыда алынған скалярлық көбейту теңдеуін ( AB = AB cos theta ) пайдаланып, мынаны аламыз:
i. i = j. j = k. k = (1)(1) cos 0 = 1
i. j = i. k = j. k = (1)(1) cos 90 o = 0
Енді біз А және В векторларын олардың компоненттері арқылы өрнектейміз, олардың көбейтіндісін жіктейміз және бірлік векторлардың көбейтіндісін қолданамыз.
A . B = Axi . Bxi + Axi . Byj + Axi . Bzk +
Ayj . Bxi + Ayj . Byj + Ayj . Bzk +
Azk . Bxi + Azk . Byj + Azk . Bzk
A . B = AxBx (i . i) + AxBy (i . j) + Ax Bz (i . k) +
AyBx (j . i) + AyBy (j . j) + AyBz (j . k) +
AzBx (k . i) + AzBy (k . j) + AzBz (k . k)
Өйткені i . i = j . j = k . k = 1 және i . j = i . k = j . k = 0 болса, онда:
A . B = AxBx (1) + AxBy (0) + Ax Bz (0) +
AyBx (0) + AyBy (1) + AyBz (0) +
AzBx (0) + AzBy (0) + AzBz (1)
A. B = A x B x ( 1) + 0 + 0 +
0 + A y By y (1) + 0 +
0 + 0 + A z B z (1)
A . B = AxBx + AyBy + AzBz
Осы есептеу нәтижелеріне сүйене отырып, екі вектордың скалярлық көбейтіндісі немесе нүктелік көбейтіндісі олардың ұқсас компоненттерінің көбейтінділерінің қосындысы деген қорытынды жасауға болады.
1-мысал сұрақ:
Үлкен вектор A Dan B төмендегі суретте көрсетілгендей, сәйкесінше 5 және 4 болып табылады. Қалыптасқан бұрыш 90 градусқа тең.oСанап көріңіз нүктелік көбейтінді екі вектор да.
Талқылау
А және В векторларының нүктелік көбейтіндісін есептемес бұрын, алдымен екінші вектордың компоненттерін білуіміз керек.
A x = (5) cos 0 o = (5) (1) = 5
A y = (5) sin 0 o = (5) (0) = 0
A z = 0
B x = (4) cos 90 o = (4) (0) = 0
B y = (4) sin 90 o = (4) (1) = 4
Bz = 0
А векторының тек x осінде, ал B векторының тек y осінде векторлық компоненттері бар. z компоненті нөлге тең, себебі A және B векторлары xy жазықтығында орналасқан.
Енді компонент векторлары бар нүктелік көбейтінді теңдеуін пайдаланып, A және B векторлары арасындағы нүктелік көбейтіндіні есептейміз :
Ә. B = Ax Bx + AyBy + AzBz
A. B = (5) (0) + (0) (4) + 0
A. B = 0 + 0 + 0
A. B = 0
Оны бірінші әдіспен салыстырайық
AB = AB cos theta
AB = (4)(5) cos 90
AB = (4) (5) (0)
AB = 0
Нәтижесі бірдей.
2-мысал сұрақ:
Үлкен вектор A Dan B төмендегі суретте көрсетілгендей, сәйкесінше 5 және 4-ке тең. Есептеңіз. нүктелік көбейтінді екі вектор да, егер қалыптасқан бұрыш 30 болсаo
Талқылау
А және В векторларының нүктелік көбейтіндісін есептемес бұрын, алдымен екінші вектордың компоненттерін білуіміз керек.
z компоненті нөлге тең, себебі A және B векторлары xy жазықтығында орналасқан.
Енді компонент векторлары бар нүктелік көбейтінді теңдеуін пайдаланып, A және B векторлары арасындағы нүктелік көбейтіндіні есептейміз :
Бірінші әдіспен салыстырыңыз.
