Декарттық координаттар жүйесіндегі үш өлшемді векторлардың мысал сұрақтары және талқылауы
Үш өлшемді векторлар математика мен физикада маңызды ұғым болып табылады және көбінесе үш өлшемді кеңістіктегі объектілерді немесе құбылыстарды бейнелеу үшін қолданылады. Декарттық координаттар жүйесінде бұл векторлар әдетте \( (x, y, z) \ деп белгіленетін үш компонентпен бейнеленеді. Бұл мақалада декарттық координаттар жүйесіндегі үш өлшемді векторларға қатысты бірнеше мысал есептері мен шешімдері талқыланады.
Үш өлшемді векторларды түсіну
Үш өлшемді кеңістіктегі векторды келесідей өрнектеуге болады: \(\mathbf{A} = (A_x, A_y, A_z)\), мұндағы:
– \(A_x\) - х осі бойындағы вектордың компоненті.
– \(A_y\) – y осі бойындағы векторлық компонент.
– \(A_z\) – z осі бойындағы векторлық компонент.
Үлгі сұрақтар және талқылау
1-сұрақ: Векторлық қосу амалы
Берілген екі вектор, \(\mathbf{A} = (2, -3, 4)\) және \(\mathbf{B} = (-1, 5, 2)\). Осы екі вектордың қосындысын есептеңіз.
Талқылау:
\(\mathbf{A}\) және \(\mathbf{B}\) екі векторын қосу олардың сәйкес компоненттерін қосу арқылы жүзеге асырылады. Сонымен, бізде:
\[
\mathbf{C} = \mathbf{A} + \mathbf{B} = (A_x + B_x, A_y + B_y, A_z + B_z)
\]
Берілген векторлық мәндерді ауыстырыңыз:
\[
\mathbf{C} = (2 + (-1), -3 + 5, 4 + 2) = (1, 2, 6)
\]
Сонымен, \(\mathbf{A}\) және \(\mathbf{B}\) векторларын қосу нәтижесі \(\mathbf{C} = (1, 2, 6)\) болады.
2-сұрақ: Векторлық азайту амалы
Берілген екі вектор, \(\mathbf{A} = (4, 1, -2)\) және \(\mathbf{B} = (5, -3, 6)\). Осы екі вектордың, атап айтқанда \(\mathbf{A} – \mathbf{B}\), азайтуын есептеңіз.
Талқылау:
\(\mathbf{A}\) және \(\mathbf{B}\) екі векторын азайту олардың сәйкес компоненттерін азайту арқылы жүзеге асырылады. Сонымен, бізде:
\[
\mathbf{D} = \mathbf{A} – \mathbf{B} = (A_x – B_x, A_y – B_y, A_z – B_z)
\]
Берілген векторлық мәндерді ауыстырыңыз:
\[
\mathbf{D} = (4 – 5, 1 – (-3), -2 – 6) = (-1, 4, -8)
\]
Сонымен, \(\mathbf{A}\) және \(\mathbf{B}\) векторларын азайту нәтижесі \(\mathbf{D} = (-1, 4, -8)\) болады.
3-сұрақ: Скалярлық көбейту амалы
\(\mathbf{A} = (3, -2, 7)\) векторы және \(k = 4\) скаляры берілген. Осы векторлардың скаляр көбейтіндісін есептеңіз.
Талқылау:
Скалярлық \(k\) мәнін \(\mathbf{A}\) векторына көбейту вектордың әрбір компонентін сол скалярға көбейту арқылы жүзеге асырылады. Осылайша, бізде:
\[
\mathbf{E} = k \cdot \mathbf{A} = k \cdot (A_x, A_y, A_z) = (k \cdot A_x, k \cdot A_y, k \cdot A_z)
\]
Берілген мәндерді ауыстырыңыз:
\[
\mathbf{E} = 4 \cdot (3, -2, 7) = (4 \cdot 3, 4 \cdot -2, 4 \cdot 7) = (12, -8, 28)
\]
Сонымен, скалярлық \(k\) мәнін \(\mathbf{A}\) векторына көбейту нәтижесі \(\mathbf{E} = (12, -8, 28)\) болады.
4-сұрақ: Вектор ұзындығы
\(\mathbf{A} = (1, 2, 2)\) векторының ұзындығын (шамамен) есептеңіз.
Талқылау:
Вектордың ұзындығын немесе шамасын \(\mathbf{A} = (A_x, A_y, A_z)\) келесі формуланы пайдаланып есептеуге болады:
\[
|\mathbf{A}| = \sqrt{A_x^2 + A_y^2 + A_z^2}
\]
Берілген мәндерді ауыстырыңыз:
\[
|\mathbf{A}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3
\]
Сонымен, \(\mathbf{A}\) векторының ұзындығы 3-ке тең.
5-сұрақ: Нүктелік көбейтінді
Берілген екі вектор, \(\mathbf{A} = (1, 0, -1)\) және \(\mathbf{B} = (2, 3, 4)\). Осы екі вектордың нүктелік көбейтіндісін есептеңіз.
Талқылау:
\(\mathbf{A} = (A_x, A_y, A_z)\) және \(\mathbf{B} = (B_x, B_y, B_z)\) екі векторының нүктелік көбейтіндісі сәйкес компоненттерді көбейтіп, содан кейін оларды қосу арқылы есептеледі. Осылайша, бізде:
\[
\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = A_x \cdot B_x + A_y \cdot B_y + A_z \cdot B_z
\]
Берілген мәндерді ауыстырыңыз:
\[
\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = (1 \cdot 2) + (0 \cdot 3) + (-1 \cdot 4) = 2 + 0 – 4 = -2
\]
Сонымен, \(\mathbf{A}\) және \(\mathbf{B}\) векторларының нүктелік көбейтіндісі -2-ге тең.
6-сұрақ: Айқас көбейтінді
Берілген екі вектор, \(\mathbf{A} = (1, 2, 3)\) және \(\mathbf{B} = (4, 5, 6)\). Осы екі вектордың айқаспалы көбейтіндісін есептеңіз.
Талқылау:
\(\mathbf{A} = (A_x, A_y, A_z)\) және \(\mathbf{B} = (B_x, B_y, B_z)\) екі векторының айқас көбейтіндісі келесі формуланы пайдаланып есептеледі:
\[
\mathbf{A} \times \mathbf{B} = \left( (A_y \cdot B_z – A_z \cdot B_y), (A_z \cdot B_x – A_x \cdot B_z), (A_x \cdot B_y – A_y \cdot B_x) \right)
\]
Берілген мәндерді ауыстырыңыз:
\[
\mathbf{A} \times \mathbf{B} = \left( (2 \cdot 6 – 3 \cdot 5), (3 \cdot 4 – 1 \cdot 6), (1 \cdot 5 – 2 \cdot 4) \right) = (12 – 15, 12 – 6, 5 – 8) = (-3, 6, -3)
\]
Сонымен, \(\mathbf{A}\) және \(\mathbf{B}\) векторларының айқас көбейтіндісі \(\mathbf{A} \times \mathbf{B} = (-3, 6, -3)\) тең.
Қорытынды
Декарттық координаттар жүйесіндегі үш өлшемді векторлар ғылым мен техниканың әртүрлі салаларында маңызды құралдар болып табылады. Жоғарыдағы мысалдар мен талқылаулар арқылы біз векторлармен қосу, азайту, скалярлық көбейту және нүктелік және айқас көбейтінділер сияқты әртүрлі негізгі операцияларды қалай орындау керектігін көрдік. Бұл ұғымдарды терең түсіну тек математикада ғана емес, сонымен қатар физика, инженерия және информатика саласындағы практикалық қолданбаларда да баға жетпес болады.
