Мысал сұрақтар және талқылау: Жеке деректердің дисперсиясы және стандартты ауытқуы
Статистика - деректерді жинаумен, талдаумен, түсіндірумен, ұсынумен және ұйымдастырумен айналысатын математика саласы. Статистикадағы екі маңызды ұғым - дисперсия және стандартты ауытқу. Бұл мақалада бірнеше мысал есептері арқылы бір деректер жиынының дисперсиясы мен стандартты ауытқуын қалай есептеу керектігі егжей-тегжейлі талқыланады.
Дисперсияны және стандартты ауытқуды түсіну
Дисперсия - деректер жиынындағы сандардың орташа мәннен немесе орташа мәннен қаншалықты алыс орналасқанын сандық түрде көрсететін өлшем. Дисперсия бастапқы деректердің шаршы бірліктерінде көрсетіледі, бұл оны түсіндіруді жиі қиындатады.
Стандартты ауытқу дисперсияның квадрат түбірі болып табылады. Ол деректердің орташа мәннен қаншалықты ауытқып кететінін интуитивті түрде көрсетеді, себебі оның бірліктері деректердің бастапқы бірліктерімен бірдей.
Жалпы формула
Жеке деректер үшін популяцияның дисперсиясы \( \sigma^2 \) және стандартты ауытқу \( \sigma \) формуласы келесідей:
1. Дисперсия (σ²):
\( \sigma^2 = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (x_i – \mu)^2 \)
2. Стандартты ауытқу (σ):
\( \sigma = \sum_{i=1}^{N} (x_i – \mu)^2} \)
Қайда:
– \( N \) – популяциядағы деректер саны.
– \( x_i \) – ith деректер мәні.
– \( \mu \) – деректердің орташа мәні.
Егер үлгінің дисперсиясын және стандартты ауытқуын есептесек, онда жоғарыдағы формула аздап өзгертілген:
1. Үлгі дисперсиясы (с²):
\( s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i – \bar{x})^2 \)
2. Стандартты ауытқу үлгісі (үлгілері):
\( s = \sum_{i=1}^{n} (x_i – \bar{x})^2} \)
Қайда:
– \( n \) – үлгідегі деректер саны.
– \( \bar{x} \) – үлгінің орташа мәні немесе орташа мәні.
Үлгі сұрақтар және талқылау
1-мысал сұрақ:
Келесі деректерді ескере отырып:
8, 10, 10, 10, 12, 14
Деректердің дисперсиясын және стандартты ауытқуын есептеңіз!
Шешім қадамдары:
1. Орташа мәнді (орташа) есептеу \( \mu \):
\[
\mu = \frac{8 + 10 + 10 + 10 + 12 + 14}{6} = \frac{64}{6} = 10.67
\]
2. Деректер мен орташа мән арасындағы айырмашылықты есептеңіз, содан кейін квадрат:
\[
(8 – 10.67)^2 = 7.1289
\]
\[
(10 – 10.67)^2 = 0.4489
\]
\[
(10 – 10.67)^2 = 0.4489
\]
\[
(10 – 10.67)^2 = 0.4489
\]
\[
(12 – 10.67)^2 = 1.7689
\]
\[
(14 – 10.67)^2 = 11.1089
\]
3. Барлық квадраттық нәтижелерді қосу:
\[
\қосынды (x_i – \mu)^2 = 7.1289 + 0.4489 + 0.4489 + 0.4489 + 1.7689 + 11.1089 = 21.3534
\]
4. Популяция деректерінің дисперсиясын (σ²) есептеу:
\[
\sigma^2 = \frac{21.3534}{6} = 3.559
\]
Ескерту: Бұл деректер халық саны туралы деректер ретінде көрсетілгендіктен, біз оны 6-ға бөлеміз.
5. Стандартты ауытқуды (σ) есептеу:
\[
\sigma = \sqrt{3.559} \шамамен 1.886
\]
Сонымен, деректердің дисперсиясы 3.559, ал стандартты ауытқу 1.886.
2-мысал сұрақ:
Келесі үлгі деректері берілген:
5, 6, 8, 9, 10, 11
Іріктеменің дисперсиясын және стандартты ауытқуын есептеңіз!
Шешім қадамдары:
1. Орташа мәнді (орташа) \( \bar{x} \) есептеу:
\[
\bar{x} = \frac{5 + 6 + 8 + 9 + 10 + 11}{6} = \frac{49}{6} = 8.167
\]
2. Деректер мен орташа мән арасындағы айырмашылықты есептеңіз, содан кейін квадрат:
\[
(5 – 8.167)^2 = 10.035
\]
\[
(6 – 8.167)^2 = 4.694
\]
\[
(8 – 8.167)^2 = 0.028
\]
\[
(9 – 8.167)^2 = 0.694
\]
\[
(10 – 8.167)^2 = 3.361
\]
\[
(11 – 8.167)^2 = 7.945
\]
3. Барлық квадраттық нәтижелерді қосу:
\[
\sum (x_i – \bar{x})^2 = 10.035 + 4.694 + 0.028 + 0.694 + 3.361 + 7.945 = 26.757
\]
4. Іріктеме дисперсиясын (s²) есептеу:
\[
s^2 = \frac{26.757}{5} = 5.351
\]
Ескерту: Бұл үлгі деректер болғандықтан, біз 5-ке (n-1) бөлеміз.
5. Стандартты ауытқу(тар)ды есептеу:
\[
s = \sqrt{5.351} \шамамен 2.313
\]
Сонымен, үлгі деректерінің дисперсиясы 5.351, ал стандартты ауытқу 2.313 құрайды.
Қорытынды
Дисперсия мен стандартты ауытқуды есептеу берілген жиынтықтағы деректердің таралуын түсіну үшін өте маңызды. Дисперсия бастапқы бірліктердің квадраттарындағы дисперсияның теориялық өлшемін қамтамасыз етсе, стандартты ауытқу дисперсия өлшемін деректердің бастапқы бірліктері тұрғысынан түсіндіреді, бұл оны түсінуді жеңілдетеді. Деректерді талдауда бұл екі өлшем көбінесе деректердің өзгергіштігін бағалау және статистикалық шешімдер қабылдау үшін қолданылады.
Қажетті қадамдар мен формулаларды түсіну арқылы біз күнделікті деректерді жинау мен талдау кезінде кездесетін әртүрлі жағдайлар үшін дисперсия мен стандартты ауытқуды оңай есептей аламыз. Бұл мақала жеке деректер жиынындағы дисперсия мен стандартты ауытқу ұғымдарын тереңірек түсінуге мүмкіндік береді деп үміттенеміз.
