Үлгі сұрақтар және тарату өлшемдерін талқылау
Дисперсия өлшемдері - деректер жиынындағы деректердің қаншалықты таралғанын немесе өзгергенін сипаттау үшін қолданылатын статистикалық ұғымдар. Дисперсия шкаласы деректердің таралуын тереңірек қарастыруға мүмкіндік береді, медиана мен орташа мәннен көрінбейтін ақпаратты ашады. Бұл мақалада дисперсия өлшемдеріне қатысты бірнеше мысал мәселелер және оларды талқылау осы ұғымды нақтылау үшін талқыланады. Дисперсияның әртүрлі өлшемдері бар, соның ішінде диапазон, стандартты ауытқу, дисперсия және квартильаралық диапазон (IQR).
1. Қашықтық
Анықтамасы
Диапазон - деректер жиынындағы ең жоғары және ең төменгі мәндер арасындағы айырмашылық.
Есептер мысалы
Футбол командасы соңғы 10 ойында соққан голдарының санын келесідей тіркейді:
3, 5, 2, 8, 7, 2, 6, 9, 4 және 1.
Талқылау
Диапазонды есептеу үшін деректердің максималды және минималды мәндерін табу керек.
– Ең жоғары балл: 9
– Ең төменгі мән: 1
Диапазон = Максималды мән – Минималды мән = 9 – 1 = 8
Сонымен, соңғы 10 ойында соғылған голдар диапазоны 8 голды құрады.
2. Стандартты ауытқу
Анықтамасы
Стандартты ауытқу – деректер жиынындағы әрбір мәннің оның орташа мәнінен қаншалықты алыс екенін көрсететін өлшем. Стандартты ауытқу – дисперсияның квадрат түбірі.
Есептер мысалы
Міне, сыныптың математикадан алған ұпайлары: 65, 70, 75, 80 және 85.
Талқылау
Бірінші қадам - орташа баллды есептеу.
\[
\text{Орташа} = \frac{65 + 70 + 75 + 80 + 85}{5} = 75
\]
Екінші қадам - әрбір мән мен орташа мән арасындағы айырмашылықты есептеу, содан кейін нәтижені квадраттау:
– (65 – 75)² = 100
– (70 – 75)² = 25
– (75 – 75)² = 0
– (80 – 75)² = 25
– (85 – 75)² = 100
Үшінші қадам - айырмашылықтардың квадраттарының орташа мәнін есептеу арқылы дисперсияны табу:
\[
\text{Дисперсия} = \frac{100 + 25 + 0 + 25 + 100}{5} = 50
\]
Стандартты ауытқу дисперсияның квадрат түбірі болып табылады:
\[
\text{Стандартты ауытқу} = \sqrt{50} \шамамен 7.07
\]
Сонымен, тест нәтижелерінің стандартты ауытқуы шамамен 7.07 құрайды.
3. Дисперсия
Анықтамасы
Дисперсия - әрбір мән мен оның орташа мәні арасындағы квадраттық айырмашылықтардың орташа мәні; ол деректердің орташа мәннің айналасында қаншалықты таралғанын сипаттайды. Дисперсия - стандартты ауытқудың квадраты.
Есептер мысалы
Мысалы, бізде келесі деректер жиынтығы бар делік: 10, 20, 30, 40 және 50.
Талқылау
Бірінші қадам - деректердің орташа мәнін есептеу.
\[
\text{Орташа} = \frac{10 + 20 + 30 + 40 + 50}{5} = 30
\]
Екінші қадам - әрбір мән мен орташа мән арасындағы айырмашылықты есептеу, содан кейін нәтижені квадраттау:
– (10 – 30)² = 400
– (20 – 30)² = 100
– (30 – 30)² = 0
– (40 – 30)² = 100
– (50 – 30)² = 400
Үшінші қадам - айырмашылықтардың квадраттарының орташа мәнін есептеу арқылы дисперсияны табу:
\[
\text{Дисперсия} = \frac{400 + 100 + 0 + 100 + 400}{5} = 200
\]
Демек, деректер жиынының дисперсиясы 200-ге тең.
4. Квартиль аралық диапазон (IQR)
Анықтамасы
Квартильаралық диапазон (IQR) - үшінші квартиль (Q3) мен бірінші квартиль (Q1) арасындағы айырмашылық. IQR деректер жиынындағы деректердің орташа 50%-ынан таралу өлшемін береді, бұл диапазонға қарағанда ақпараттық болуы мүмкін.
Есептер мысалы
Келесі деректер жиынының мәндері: 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 11, 13 және 14.
Талқылау
Біріншіден, деректерді сұрыптауымыз керек:
1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 11, 13, 14
1 және 3-ші тоқсандарды есептеу үшін деректерді квартильдерге бөлу керек.
– Медиана (Q2) 6 мен 7 аралығында: \((6+7)/2 = 6.5\)
1-тоқсан үшін төменгі мәндердің медианасын аламыз:
– 1, 3, 4, 5, 6
– Бұл жиынтықтың медианасы 4-ке тең
3-ші тоқсан үшін жоғарғы мәндердің медианасын аламыз:
– 7, 8, 11, 13, 14
– Бұл жиынтықтың медианасы 11-ке тең
Квартильаралық диапазон (IQR) = Q3 – Q1 = 11 – 4 = 7
Сонымен, деректер жиынтығының IQR мәні 7-ге тең.
Қорытынды
Дисперсия өлшемдері - деректердің вариация дәрежесін түсінуге көмектесетін статистиканың маңызды аспектілері. Бұл мақалада біз дисперсияның бірнеше жиі қолданылатын өлшемдерін талқылап, мысалдар мен талқылаулар келтірдік: диапазон, стандартты ауытқу, дисперсия және квартиль аралық диапазон. Осы ұғымдарды және оларды қалай есептеу керектігін түсіну арқылы біз талдап жатқан деректердің сипаттамаларын жақсырақ түсінеміз, бұл өз кезегінде сол деректерге негізделген хабардар шешімдер қабылдауға көмектеседі.
