Орналастыру өлшемі туралы талқылау сұрағының мысалы
Орналастыру өлшемдері әртүрлі пәндерде, әсіресе статистика, экономика және басқару салаларында маңызды тақырып болып табылады. Орналастыру өлшемдері берілген үлестірімдегі деректердің салыстырмалы орнын сандық бағалау үшін қолданылатын әртүрлі көрсеткіштерді, мысалы, квартилдерді, децильдерді, процентильдерді және т.б. қамтиды. Орналастыру өлшемдерін қалай өлшеу және талдау керектігін түсіну деректерді талдау, шешім қабылдау және зерттеу жұмыстарының кең ауқымы үшін өте маңызды.
Бұл мақалада біз орналастыру өлшемдеріне қатысты бірнеше мысал есептерді және оларды шешу жолдарын талқылаймыз. Бұл есептердің мақсаты әртүрлі контексттерде орналастыру өлшемдерінің тұжырымдамасы мен қолданылуын нақтылау болып табылады.
1-мысал: Квартилдерді есептеу
Сұрақ:
Келесі деректерді ескере отырып: 5, 7, 8, 12, 13, 14, 18, 21, 23, 30. Q1 (бірінші квартиль), Q2 (медиана/екінші квартиль) және Q3 (үшінші квартиль) есептеңіз.
Шешімі:
Квартилдерді есептеудің алғашқы қадамы - деректерді ең кішісінен ең үлкеніне қарай ретке келтіру. Бұл есепте деректер бұрыннан сұрыпталған.
– n (деректер саны) = 10
1-ші тоқсанды есептеу:
Q1 - \(\frac{n + 1}{4}\) орнын алатын мән.
\[
Q1 = \frac{10 + 1}{4} = \frac{11}{4} = 2.75
\]
Нәтижелер дөңгелек емес болғандықтан, біз 2-ші және 3-ші деректер арасында интерполяцияны қолданамыз.
2-ші деректер = 7
3-ші деректер = 8
\[
Q1 = 7 + 0.75 \times (8 – 7) = 7 + 0.75 = 7.75
\]
Q2 (медиана) есептеу:
Q2 - ортаңғы позицияны алатын мән. n жұп сан болғандықтан, Q2 - 5 және 6 позициялардағы мәндердің орташа мәні.
\[
Q2 = \frac{13 + 14}{2} = \frac{27}{2} = 13.5
\]
3-ші тоқсанды есептеу:
Q3 - \(\frac{3(n + 1)}{4}\) орнын алатын мән.
\[
Q3 = \frac{3 \times (10 + 1)}{4} = \frac{33}{4} = 8.25
\]
Біз 8-ші және 9-шы деректер арасында интерполяцияны қолданамыз.
8-ші деректер = 21
9-ші деректер = 23
\[
Q3 = 21 + 0.25 \times (23 – 21) = 21 + 0.5 = 21.5
\]
Сонымен, Q1 = 7.75, Q2 = 13.5 және Q3 = 21.5.
2-мысал: Процентильдерді қолдану
Сұрақ:
Келесі деректер жиынтығы берілген: 15, 18, 20, 24, 30, 32, 35, 40, 42, 45. 70-ші процентиль мәнін анықтаңыз.
Шешімі:
Бірінші қадам - деректердің ең кішісінен ең үлкеніне қарай сұрыпталғанына және жоғарыдағы деректердің сұрыпталғанына көз жеткізу.
Деректер саны, n = 10
70-ші процентиль жалпы деректердің 70% орнын алатын мәнді іздейтінімізді білдіреді.
\[
P_{70} = \frac{70}{100} \times (n + 1) = 0.70 \times 11 = 7.7
\]
Нәтиже бүтін емес сан болғандықтан, біз 7-ші және 8-ші деректер арасында интерполяцияны қолданамыз.
7-ші деректер = 35
8-ші деректер = 40
\[
P_{70} = 35 + 0.7 \times (40 – 35) = 35 + 3.5 = 38.5
\]
Сонымен, деректер жиынының 70-ші процентиль мәні 38.5-ке тең.
3-мысал: Децилдерді есептеу
Сұрақ:
Келесі сынақ нәтижелерінің деректері берілген: 55, 63, 67, 72, 75, 78, 80, 82, 86, 90. 4-ші децильді (D4) есептеңіз.
Шешімі:
Бірінші қадам - деректердің ең кішісінен ең үлкеніне қарай сұрыпталғанына көз жеткізу. Жоғарыдағы деректер қазірдің өзінде сұрыпталған.
Деректер саны, n = 10
4-ші дециль жалпы деректердің 40% орнын алатын мәнді іздеп жатқанымызды білдіреді.
\[
D_4 = \frac{4 \times (n + 1)}{10} = \frac{4 \times 11}{10} = 4.4
\]
Нәтиже бүтін емес сан болғандықтан, біз 4-ші және 5-ші деректер арасында интерполяцияны қолданамыз.
4-ші деректер = 72
5-ші деректер = 75
\[
D_4 = 72 + 0.4 \times (75 – 72) = 72 + 1.2 = 73.2
\]
Сонымен, деректер жиынының 4-ші децилі 73.2-ге тең.
4-мысал: Табысты бөлудегі қолдану
Сұрақ:
Экономикалық зерттеу бірқатар адамдардың айлық табысы туралы деректерді келесідей жинады: 2000, 2200, 2400, 2500, 2700, 3000, 3200, 3500, 3700, 4000, 4200, 4500, 4700, 5000, 5500. Деректер жиынтығының медианасы мен квартильдерін анықтаңыз.
Шешімі:
Біріншіден, деректердің ең кішісінен ең үлкеніне қарай сұрыпталғанына және жоғарыдағы деректердің сұрыпталғанына көз жеткіземіз.
Деректер саны, n = 15
Медиананы есептеу (2-тоқсан):
Медиана - бұл ортаңғы позицияда орналасқан деректер.
\[
\text{Медиана позициясы} = \frac{n + 1}{2} = \frac{15 + 1}{2} = 8
\]
8-ші деректер = 3500
Сонымен, медиана (2-ші тоқсан) 3500-ге тең.
1-ші тоқсанды есептеу:
Q1 - \(\frac{n + 1}{4}\) орнын алатын мән.
\[
Q1 = \frac{15 + 1}{4} = \frac{16}{4} = 4
\]
4-ші деректер = 2500
Сонымен, 1-ші тоқсан 2500-ге тең.
3-ші тоқсанды есептеу:
Q3 - \(\frac{3(n + 1)}{4}\) орнын алатын мән.
\[
Q3 = \frac{3 \times (15 + 1)}{4} = \frac{3 \times 16}{4} = 12
\]
12-ші деректер = 4500
Сонымен, 3-ші тоқсан 4500-ге тең.
Сонымен, медиана (2-ші тоқсан) 3500, 1-ші тоқсан 2500 және 3-ші тоқсан 4500.
Қорытынды
Тарату өлшемдері деректерді талдауда өте пайдалы құралдар болып табылады, олар бізге деректердің таралуын түсінуге және түсіндіруге көмектеседі. Квартилдер, децильдер және процентильдер сияқты өлшемдерді пайдалану арқылы біз талданатын деректердің таралуы мен үрдістері туралы айқынырақ түсінік ала аламыз. Бұл мақалада оқырмандарға әртүрлі жағдайларда таралу өлшемдерін қалай есептеу және қолдану керектігін түсінуге көмектесу үшін бірнеше мысал есептері мен шешімдері келтірілген.
