Декарттық жазықтықтағы трансформацияны талқылайтын мысал сұрақтар
Декарттық жазықтықтағы түрлендірулер математикада, әсіресе геометрияда маңызды тақырып болып табылады. Бұл түрлендірулер екі өлшемді жазықтықта нысанның пішінін жылжытуға немесе өзгертуге бағытталған трансляция, шағылысу, айналу және кеңейту сияқты әртүрлі операцияларды қамтиды. Бұл мақалада бірнеше мысал есептері қарастырылады және олар декарттық жазықтықта түрлендірулерге қатысты талқыланады.
Трансформация түрлері
Мысал есебіне кіріспес бұрын, алдымен келесі түрлендіру түрлерін қарастырайық:
1. Аударма (ауысыммен)
Трансляция – жазықтықтағы нүктенің немесе заттың белгілі бір қашықтыққа белгілі бір бағытта ығысуы. Трансляцияны былай анықтауға болады:
\[
(x, y) \rightarrow (x+a, y+b)
\]
мұндағы \(a\) және \(b\) көлденең және тік ығысу қашықтығы.
2. Рефлексия
Шағылысу – нүктенің немесе заттың ось бойымен, x осі, y осі немесе басқа сызық бойымен шағылуы. Мысалы, x осі бойымен шағылысу:
\[
(x, y) \rightarrow (x, -y)
\]
3. Айналдыру (Айналдыру)
Айналу – нүктенің немесе заттың орталық нүктенің айналасында белгілі бір бұрышпен айналуы. Сағат тіліне қарсы бағытта (\тета\) бұрышпен айналуды келесідей өрнектеуге болады:
\[
(x, y) \оң жақ көрсеткі (x \cos \theta – y \sin \theta, x \sin \theta + y \cos \theta)
\]
4. Кеңейту (масштабтау)
Дилатация - бұл объектінің өлшемінің белгілі бір масштаб коэффициентіне өзгеруі. Егер масштаб коэффициенті \(k\) болса, дилатацияны келесідей көрсетуге болады:
\[
(x, y) \rightarrow (kx, ky)
\]
Үлгі сұрақтар және талқылау
1-сұрақ: Аударма
Сұрақ:
\(A(2, 3)\) нүктесінде оңға қарай 5 бірлік және жоғары қарай 4 бірлік ығысумен аударма орындаңыз.
Талқылау:
\(5\) бірліктерін оңға аудару x координатасын \(5\)-ке арттыруды білдіреді. «4 бірлікке жоғары» деген тұжырым y координатасын \(4\)-ке арттыруды білдіреді. Аударма нәтижесі:
\[
(x, y) \rightarrow (x+5, y+4)
\]
Сонымен, аудармадан кейінгі \(A(2, 3)\) нүктесі келесідей болады:
\[
(x+5, y+4) \rightarrow (2+5, 3+4) \rightarrow (7, 7)
\]
Сонымен, аудармадан кейінгі \(A(2, 3)\) нүктесі \(A'(7, 7)\) болады.
2-сұрақ: Ойлану
Сұрақ:
y осі туралы \(B(-4, 7)\) нүктесін көрсетіңіз.
Талқылау:
У осі туралы рефлексия х координатасын бастапқы х координатасының теріс мәніне өзгертеді, ал у координатасы өзгеріссіз қалады.
\[
(x, y) \rightarrow (-x, y)
\]
Сонымен, шағылысудан кейінгі \(B(-4, 7)\) нүктесі келесідей болады:
\[
(x, y) \rightarrow (-(-4), 7) \rightarrow (4, 7)
\]
Сонымен, y осі туралы шағылысудан кейінгі \(B(-4, 7)\) нүктесі \(B'(4, 7)\) болады.
3-сұрақ: Айналдыру
Сұрақ:
\(C(1, 2)\) нүктесін центрі \(0, 0)\) басында болатындай етіп, сағат тіліне қарсы \(90^\circ\) шамаға бұраңыз.
Талқылау:
Сағат тіліне қарсы айналуды (90^\circ\) келесідей өрнектеуге болады:
\[
(x, y) \rightarrow (-y, x)
\]
Сонымен, айналудан кейінгі \(C(1, 2)\) нүктесі келесідей болады:
\[
(x, y) \rightarrow (-2, 1)
\]
Сонымен, сағат тіліне қарсы айналудан кейінгі \(90^\circ\) нүктесі \(C'(-2, 1)\) болады.
4-сұрақ: Дилатация
Сұрақ:
\(D(3, 4)\) нүктесін масштаб коэффициентімен \(k = 2\) кеңейтіңіз.
Талқылау:
\(2\) масштаб коэффициентімен дилатация екі координатаны \(2\)-ге көбейтуді білдіреді.
\[
(x, y) \rightarrow (2x, 2y)
\]
Сонымен, кеңейтуден кейінгі \(D(3, 4)\) нүктесі келесідей болады:
\[
(x, y) \rightarrow (2 \times 3, 2 \times 4) \rightarrow (6, 8)
\]
Сонымен, масштаб коэффициентімен кеңейтуден кейінгі \(D(3, 4)\) нүктесі \(D'(6, 8)\) болады.
5-сұрақ: Түрлендірулердің тіркесімі
Сұрақ:
x осі туралы ойланыңыз, содан кейін \(E(8, -6)\) нүктесінде масштаб коэффициентімен \(k = 0.5\) кеңейтіңіз.
Талқылау:
Бірінші қадам - x осі туралы ойлану:
\[
(x, y) \rightarrow (x, -y)
\]
\[
(8, -6) \rightarrow (8, 6)
\]
Екінші қадам - масштабтау коэффициенті \(0.5\) болатын кеңейтуді орындау:
\[
(x, y) \rightarrow (0.5x, 0.5y)
\]
\[
(8, 6) \rightarrow (0.5 \times 8, 0.5 \times 6) \rightarrow (4, 3)
\]
Сонымен, x осі туралы шағылысу және масштаб коэффициенті бойынша кеңеюден кейінгі \(E(8, -6)\) нүктесі \(E'(4, 3)\) болады.
6-сұрақ: Айналдыру және аудару арқылы түрлендіру
Сұрақ:
\(F(-3, 4)\) нүктесін сағат тіліне қарсы \(180^\circ\) шамасындағы нүктеге айналдырыңыз, содан кейін нәтижені \((2, -1)\) векторымен аударыңыз.
Талқылау:
Бірінші қадам - сағат тіліне қарсы \(180^\circ\) бұру:
\[
(x, y) \rightarrow (-x, -y)
\]
\[
(-3, 4) \rightarrow (3, -4)
\]
Екінші қадам - \((2, -1)\) векторымен трансляцияны орындау:
\[
(x, y) \rightarrow (x+2, y-1)
\]
\[
(3, -4) \rightarrow (3+2, -4-1) \rightarrow (5, -5)
\]
Сонымен, 180°Circ айналуынан және 1°C векторы бойынша аударылғаннан кейінгі 1°C нүктесі 1°C (-3, 4) болып табылады.
Қорытынды
Декарттық жазықтықтағы түрлендірулер геометриядағы маңызды ұғым болып табылады, ол трансляция, шағылысу, айналу және кеңейту сияқты әртүрлі операцияларды қамтиды. Әрбір түрлендіру түрінің қалай жұмыс істейтінін түсіну арқылы біз жазықтықтағы нысанның орнын немесе пішінін оңай өзгерте аламыз. Жоғарыдағы мысалдар арқылы біз әртүрлі түрлендірулердің практикалық қолданылуын және оларды күрделі түрлендірулерге қол жеткізу үшін қалай біріктіруге болатынын көре аламыз. Бұл мақала декарттық жазықтықтағы түрлендірулерді түсінуге пайдалы болды деп үміттенеміз.
