Параллелограмм әдісін қолданып екі векторды қосуды талқылайтын мысал сұрақ
Векторлық қосу физика мен математикадағы маңызды ұғым болып табылады және көбінесе табиғи құбылыстар мен күнделікті өмірдегі мәселелерді сипаттау үшін қолданылады. Екі векторды қосудың бірнеше әдісі бар, олардың бірі - параллелограмм әдісі. Бұл әдіс тек интуитивті ғана емес, сонымен қатар екі вектордың қалай бірігіп, нәтижелік векторды құрайтынын айқын көрсетеді. Бұл мақалада біз параллелограмм әдісін қолданып векторларды қосудың бірнеше мысалын және олардың шешімдерін қарастырамыз.
Вектор дегеніміз не?
Мысал есептерге кіріспес бұрын, вектордың негізгі анықтамасын түсінуіміз керек. Вектор - бұл шамасы (ұзындығы) да, бағыты да бар шама. Векторлардың классикалық мысалдарына жылдамдық, үдеу, күш және ығысу жатады. Векторды оның компоненттері (i, j, k) ретінде декарттық координаттарда немесе ұзындығы мен бағыты (бұрышы) ретінде көрсетуге болады.
Параллелограмм әдісі
Параллелограмм әдісі екі векторды қосудың бір тәсілі болып табылады. Бұл әдісте біз екі векторды параллелограммның екі жағы ретінде көрсетеміз. Алынған вектор - екі вектордың бастапқы нүктесінен басталатын параллелограммның диагоналы. Математикалық тұрғыдан алғанда, егер бізде екі вектор \(\vec{A}\) және \(\vec{B}\) болса, алынған нәтиже \( \vec{R} = \vec{A} + \vec{B} \) болады.
Параллелограмм әдісін қолданудың қадамдық әдісі келесідей:
1. Бастапқы нүктеден \(\vec{A}\) векторын салыңыз.
2. \(\vec{A}\) векторының соңынан \(\vec{B}\) векторын салыңыз.
3. \(\vec{A}\) бастапқы нүктесінен \(\vec{B}\) векторына параллель түзу жүргізіңіз.
4. \(\vec{B}\) векторының соңынан \(\vec{A}\) векторына параллель түзу жүргізіңіз.
5. Бастапқы нүктеден қарама-қарсы бұрышқа диагональ сызыңыз, нәтижесінде алынған вектор \(\vec{R}\) алынады.
Үлгі сұрақтар және талқылау
1-сұрақ
Айталық, екі вектор \(\vec{A}\) және \(\vec{B}\):
– \(\vec{A}\) ұзындығы (шамасы) 5 бірлік және бағыты 0° (немесе оң x осі бойымен),
– \(\vec{B}\) ұзындығы 3 бірлікке және бағыты 90° (немесе оң y осі бойымен) тең.
Параллелограмм әдісін қолданып, осы екі векторды қосқанда қандай нәтиже шығады?
Талқылау:
1. Ұзындығы 5 бірлікке тең оң x осі бойымен \(\vec{A}\) векторын салыңыз.
2. \(\vec{A}\) векторының соңынан бастап, \(\vec{B}\) векторын оң y осі бойымен ұзындығы 3 бірлік етіп салыңыз.
3. \(\vec{A}\) бастапқы нүктесінен \(\vec{B}\) нүктесіне параллель түзу жүргізіңіз.
4. \(\vec{B}\) нүктесінің соңынан \(\vec{A}\) нүктесіне параллель түзу жүргізіңіз.
5. Нәтижесінде алынған диагоналы \(\vec{R}\) векторы болатын параллелограмм алынады.
\(\vec{A}\) және \(\vec{B}\) бір-біріне перпендикуляр болғандықтан, алынған вектордың ұзындығын есептеу үшін Пифагор теоремасын қолдануға болады:
\[ R = \sqrt{A^2 + B^2} = \sqrt{5^2 + 3^2} = \sqrt{25 + 9} = \sqrt{34} \шамамен 5.83 \]
Алынған вектордың бағытын тригонометрия көмегімен есептеуге болады. Егер \(\theta\) нәтижелі вектор мен \(\vec{A}\ арасындағы бұрыш болса:
\[ \tan(\theta) = \frac{B}{A} = \frac{3}{5} \]
сондықтан:
\[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{3}{5}\right) \approx 30.96^\circ \]
Осылайша, алынған вектордың (\vec{R}) шамамен 5.83 бірлік шамасына және (\vec{A}) нүктесінен шамамен 30.96° бағытына ие.
2-сұрақ
\(\vec{C}\) және \(\vec{D}\) екі векторы келесідей берілген:
– ұзындығы 4 бірлік және бағыты 45° болатын \(\vec{C}\).
– ұзындығы 6 бірлік және бағыты 120° болатын \(\vec{D}\).
Екі векторды қосу арқылы алынған векторды анықтаңыз.
Талқылау:
Бір-біріне перпендикуляр емес немесе әртүрлі пішіндегі екі векторды қосу үшін декарттық компоненттерді пайдалануға болады.
1. \(\vec{C}\) және \(\vec{D}\) мәндерін x және y компоненттеріне бөліңіз.
\(\vec{C}\) үшін:
\[ C_x = C \cos(45^\circ) = 4 \cos(45^\circ) = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} \approx 2.83 \]
\[ C_y = C \sin(45^\circ) = 4 \sin(45^\circ) = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} \approx 2.83 \]
\(\vec{D}\) үшін:
\[ D_x = D \cos(120^\circ) = 6 \cos(120^\circ) = 6 \cdot (-\frac{1}{2}) = -3 \]
\[ D_y = D \sin(120^\circ) = 6 \sin(120^\circ) = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3} \approx 5.20 \]
2. Екі вектордың x және y компоненттерін қосыңыз:
\[ R_x = C_x + D_x = 2.83 + (-3) = -0.17 \]
\[ R_y = C_y + D_y = 2.83 + 5.20 = 8.03 \]
3. Алынған вектордың шамасы мен бағытын есептеңіз \(\vec{R}\):
\[ R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2} = \sqrt{(-0.17)^2 + 8.03^2} = \sqrt{0.03 + 64.48} = \sqrt{64.51} \шамамен 8.03 \]
\[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{R_y}{R_x}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{8.03}{-0.17}\right) \approx \tan^{-1}(-47.24) \]
Нәтиже теріс болғандықтан, дұрыс квадрант жүйесіндегі бұрышты алу үшін 180° қосамыз:
\[ \theta \approx \tan^{-1}(47.24) + 180^\circ \approx 271.93^\circ \]
Сонымен, алынған вектордың (\vec{R}) шамамен 8.03 бірлік шамасына және шамамен 271.93° бағытына ие немесе төртінші квадранттағы теріс x осінен шамамен 91.93° деп айтуға болады.
Жабу
Параллелограмм әдісі екі векторды қосудың тиімді және көрнекі тәсілі болып табылады. Бұл әдіс қарапайым векторлар үшін қарапайым болып көрінгенімен, күрделірек векторлар үшін дәл нәтижелерге қол жеткізу үшін көбінесе декарттық компоненттерді және кеңейтілген алгебралық әдістерді қолдану қажет екенін түсіну маңызды. Жоғарыдағы мысалдар бұл әдісті әртүрлі жағдайларда қалай қолдануға болатыны туралы айқын түсінік береді деп үміттенеміз.
