Жазық жазықтықтың ауданын есептеуде интегралдарды қолданудың мысал сұрақтары және талқылауы
Математиканы оқытуда интегралдар есептеулерде жиі кездеседі. Интегралдардың ең танымал қолданылуларының бірі - қисық немесе жазықтық астындағы ауданды есептеу. Бұл мақалада бірнеше мысал есептері талқыланады және жазықтықтың ауданын есептеуге интегралдарды қолдану талқыланады.
Теорияға кіріспе
Мысал есебіне көшпес бұрын, интегралдарды пайдаланып қисық астындағы ауданды есептеудің негізгі тұжырымдамасын қарастырайық. Егер бізде [a, b] аралығында үздіксіз f(x) функциясы болса, онда x = a-дан x = b-ға дейінгі y = f(x) қисығының астындағы аудан келесідей:
\[ L = \int_{a}^{b} f(x) \, dx \]
Геометриялық тұрғыдан алғанда, бұл өте жұқа тіктөртбұрыштың ауданын x = a-дан x = b-ға дейін қосып жатқанымызды білдіреді.
1-мысал сұрақ
Суал
[1, 3] аралығындағы y = x² қисығының ауданын есептеңіз.
Талқылау
Ауданын есептеу үшін интегралды қолданамыз:
\[ L = \int_{1}^{3} x^2 \, dx \]
Біз \(x^2 \) антитуындысын табудан бастаймыз. \(x^2 \) антитуындысы \( \frac{x^3}{3} \) болады. Сонда интеграл келесідей болады:
\[ L = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{1}^{3} \]
Антитуындыны интегралдың шегінде бағалау керек екенін есте сақтаңыз:
\[ L = \left( \frac{3^3}{3} \right) – \left( \frac{1^3}{3} \right) \]
\[ L = \left( \frac{1}{3} \right) – \left( \frac{27}{3} \right) \]
\[ L = 9 – \frac{1}{3} \]
\[ L = \frac{27}{3} – \frac{1}{3} \]
\[ L = \frac{26}{3} \]
Сонымен, x = 1-ден x = 3-ке дейінгі y = x² қисығының астындағы аудан:
\[ \frac{26}{3} \, \text{аудан бірлігі} \]
2-мысал сұрақ
Суал
y = x³ қисығымен және x = 1 және x = 2 түзулерімен шектелген аймақтың ауданын анықтаңыз.
Талқылау
Ауданын есептеу үшін интегралды қолданамыз:
\[ L = \int_{1}^{2} x^3 \, dx \]
Әдеттегідей, біз \(x^3 \) антитуындысын табудан бастаймыз. \(x^3 \) антитуындысы \( \frac{x^4}{4} \). Интеграл келесідей болады:
\[ L = \left[ \frac{x^4}{4} \right]_{1}^{2} \]
Интегралдың шектерін есептеңіз:
\[ L = \left( \frac{2^4}{4} \right) – \left( \frac{1^4}{4} \right) \]
\[ L = \left( \frac{1}{4} \right) – \left( \frac{16}{4} \right) \]
\[ L = 4 – \frac{1}{4} \]
\[ L = \frac{16}{4} – \frac{1}{4} \]
\[ L = \frac{15}{4} \]
Сонымен, x = 1-ден x = 2-ге дейінгі y = x³ қисығының астындағы аудан:
\[ \frac{15}{4} \, \text{аудан бірлігі} \]
3-мысал сұрақ
Суал
x = 0 мен x = 1 аралығындағы y = x² + 1 және y = 2x + 2 қисықтарымен шектелген аймақтың ауданын анықтаңыз.
Талқылау
Алдымен, интегралдау шектерін анықтау үшін қиылысу нүктелерін табуымыз керек. \(x^2 + 1 = 2x + 2 \) теңдеуінің шешімі:
\[x^2 + 1 = 2x + 2 \]
\[x^2 – 2x – 1 = 0 \]
Квадраттық формуланы қолдану:
\[x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} \]
\[ x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} \]
\[ x = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} \]
\[x = 1 \pm \sqrt{2} \]
Дегенмен, 0 мен 1 аралығындағы жоғарғы және төменгі шектер үшін квадраттық шешімді пайдаланудың қажеті жоқ, тек 0-ден 1-ге дейінгі қарапайым интегралдық шекті пайдаланыңыз. Әрі қарай, осы шектеулерге сәйкес жоғарғы y қисығының ауданын төменгі y қисығынан алып тастаңыз:
\[ L = \int_{0}^{1} [(2x + 2) – (x^2 + 1)] \, dx \]
Функцияны жеңілдету:
\[ L = \int_{0}^{1} (2x + 2 – x^2 – 1) \, dx \]
\[ L = \int_{0}^{1} (-x^2 + 2x + 1) \, dx \]
Әрі қарай, антитуындыны табамыз:
\( (-x^2) \) функциясының антитуындысы \( -\frac{x^3}{3} \) болып табылады,
\( (2x) \) функциясының антитуындысы \( x^2 \) болып табылады,
\( (1) \) функциясының антитуындысы \( x \) болып табылады.
Сондай-ақ,
\[ L = \left. \left(-\frac{x^3}{3} + x^2 + x \right) \right|_0^1 \]
Келесі бағалау:
\[ L = \left[ -\frac{1^3}{3} + 1^2 + 1 \right] – \left[ -\frac{0^3}{3} + 0^2 + 0 \right] \]
\[ L = \left[ -\frac{1}{3} + 1 + 1 \right] – \left[ 0 \right] \]
\[ L = -\frac{1}{3} + 2 \]
\[ L = \frac{6}{3} – \frac{1}{3} \]
\[ L = \frac{5}{3} \]
Сонымен, [0, 1] аралығындағы y = x² + 1 және y = 2x + 2 қисықтарымен шектелген аймақтың ауданы:
\[ \frac{5}{3} \, \text{аудан бірлігі} \]
-
Жоғарыдағы мысалдардан интегралдарды қисық астындағы немесе екі қисық арасындағы ауданды есептеу үшін қалай пайдалануға болатынын көруге болады. Интегралдардың негізгі ұғымдарын және антитуынды әдістерді дұрыс түсіну арқылы бұл аудандарды есептеу өте жүйелі және тиімді болады. Бұл мақала интегралдарды нақты әлемдегі, әсіресе жазық беттердің ауданын өлшеу саласында қолдану туралы түсінігімізді арттырды деп үміттенеміз.
