Мысал сұрақтары және көбейтінді моментінің корреляциясын талқылау
Өнім-момент корреляциясы, сондай-ақ Пирсон корреляциясы деп те аталады, екі айнымалы арасындағы сызықтық байланыстың күші мен бағытын өлшеу үшін қолданылатын статистикалық әдіс. Бұл әдіс академиялық зерттеулер мен бизнес-талдаудан бастап жаратылыстану ғылымдарындағы эксперименттерді бағалауға дейінгі әртүрлі салаларда пайдалы. Бұл мақалада өнім-момент корреляциясын есептеуге арналған бірнеше мысал есептері және олардың шешімдері талқыланады.
Пендахулуан
Мысал сұрақтарына көшпес бұрын, көбейтінді момент корреляциясының негізгі тұжырымдамасын түсінген жөн. Пирсон корреляция коэффициентін (\(r\)) есептеу үшін қолданылатын жалпы формула:
\[ r = \frac{n(\sum{XY}) – (\sum{X})(\sum{Y})}{\sqrt{[n\sum{X^2} – (\sum{X})^2][n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2]}} \]
Қайда:
– \( n \) – деректер жұптарының саны.
– \( \sum{XY} \) – \(X \) және \(Y \) көбейтінділерінің қосындысы.
– \( \sum{X} \) – \( X \) айнымалыларының қосындысы.
– \( \sum{Y} \) – \(Y \) айнымалыларының қосындысы.
– \( \sum{X^2} \) – \(X \) айнымалысының квадраттарының қосындысы.
– \( \sum{Y^2} \) – \(Y \) айнымалысының квадраттарының қосындысы.
Пирсон корреляция коэффициенті (\(r \)) әрқашан -1 мен 1 аралығында болады. Оң корреляция екі айнымалының да бір бағытта қозғалатынын көрсетеді, ал теріс корреляция бір айнымалы өскен сайын екіншісі азаятынын көрсетеді. Егер \(r = 0 \) болса, онда екі айнымалы арасында сызықтық корреляция болмайды.
1-мысал сұрақ
мәліметтер
Төменде 5 оқушының математика және физика пәндерінен алған ұпай саны келтірілген:
| Студент | Математика (X) | Физика (Y) |
|——-|——————-|—————-|
| 1 | 85 | 90 |
| 2 | 78 | 85 |
| 3 | 85 | 80 |
| 4 | 70 | 70 |
| 5 | 80 | 88 |
Шешім қадамдары
1. Маңызды компоненттерді есептеу:
– \( \sum{X} \) = 85 + 78 + 85 + 70 + 80 = 398
– \( \қосынды{Y} \) = 90 + 85 + 80 + 70 + 88 = 413
– \( \sum{XY} \) = (85\90) + (78\85) + (85\80) + (70\70) + (80\88) = 7650 + 6630 + 6800 + 4900 + 7040 = 33020
– \( \sum{X^2} \) = (85^2) + (78^2) + (85^2) + (70^2) + (80^2) = 7225 + 6084 + 7225 + 4900 + 6400 = 31834
– \( \sum{Y^2} \) = (90^2) + (85^2) + (80^2) + (70^2) + (88^2) = 8100 + 7225 + 6400 + 4900 + 7744 = 34369
2. Формулаға енгізіңіз:
\[ r = \frac{n(\sum{XY}) – (\sum{X})(\sum{Y})}{\sqrt{[n\sum{X^2} – (\sum{X})^2][n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2]}} \]
\[ r = \frac{5(33020) – (398)(413)}{\sqrt{[5(31834) – (398)^2][5(34369) – (413)^2]}} \]
3. Нәтижелерді есептеу:
– Алыным: \( 5(33020) – (398)(413) = 165100 – 164474 = 626 \)
– Бөлгіш:
– \( n\sum{X^2} – (\sum{X})^2 = 5(31834) – (398)^2 = 159170 – 158404 = 766 \)
– \( n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2 = 5(34369) – (413)^2 = 171845 – 170569 = 1276 \)
– \( \sqrt{766 \times 1276} \approx \sqrt{976856} \approx 989.36 \)
\[ r = \frac{626}{989.36} \шамамен 0.633 \]
Осылайша, математика және физика тестілерінің ұпайлары арасындағы Пирсон корреляция коэффициенті 0.633 құрайды, бұл екі айнымалы арасында орташа оң корреляция бар екенін көрсетеді.
2-мысал сұрақ
мәліметтер
Төменде компанияның 6 айындағы сату көлемі мен жарнама шығындары туралы деректер берілген:
| Ай | Жарнама (X) | Сату (Y) |
|——-|————–|——————|
| 1 | 2000 | 2500 |
| 2 | 1800 | 2100 |
| 3 | 2200 | 2700 |
| 4 | 2400 | 2900 |
| 5 | 2300 | 3000 |
| 6 | 2500 | 3200 |
Шешім қадамдары
1. Маңызды компоненттерді есептеу:
– \( \қосынды{X} \) = 2000 + 1800 + 2200 + 2400 + 2300 + 2500 = 13200
– \( \қосынды{Y} \) = 2500 + 2100 + 2700 + 2900 + 3000 + 3200 = 16400
– \( \sum{XY} \) = (2000\ 2500) + (1800\ 2100) + (2200\ 2700) + (2400\ 2900) + (2300\ 3000) + (2500\ 3200) = 5000000 + 3780000 + 5940000 + 6960000 + 6900000 + 8000000 = 36580000
– \( \sum{X^2} \) = (2000^2) + (1800^2) + (2200^2) + (2400^2) + (2300^2) + (2500^2) = 4000000 + 3240000 + 4840000 + 5760000 + 5290000 + 6250000 = 29380000
– \( \sum{Y^2} \) = (2500^2) + (2100^2) + (2700^2) + (2900^2) + (3000^2) + (3200^2) = 6250000 + 4410000 + 7290000 + 8410000 + 9000000 + 10240000 = 45590000
2. Формулаға енгізіңіз:
\[ r = \frac{n(\sum{XY}) – (\sum{X})(\sum{Y})}{\sqrt{[n\sum{X^2} – (\sum{X})^2][n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2]}} \]
\[ r = \frac{6(36580000) – (13200)(16400)}{\sqrt{[6(29380000) – (13200)^2][6(45590000) – (16400)^2]}} \]
3. Нәтижелерді есептеу:
– Алыным: \( 6(36580000) – (13200)(16400) = 219480000 – 216480000 = 3000000 \)
– Бөлгіш:
– \( n\sum{X^2} – (\sum{X})^2 = 6(29380000) – (13200)^2 = 176280000 – 174240000 = 2040000 \)
– \( n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2 = 6(45590000) – (16400)^2 = 273540000 – 268960000 = 4580000 \)
– \( \sqrt{2040000 \times 4580000} \approx \sqrt{9343200000000} \approx 3056246.20 \)
\[ r = \frac{3000000}{3056246.20} \шамамен 0.981 \]
Осылайша, жарнама шығындары мен сату құны арасындағы Пирсон корреляция коэффициенті 0.981 құрайды, бұл екі айнымалы арасында өте күшті оң корреляция бар екенін көрсетеді.
Қорытынды
Пирсон корреляция коэффициенті (\(r\)) екі айнымалы арасындағы сызықтық байланысты түсіну үшін өте пайдалы құрал болып табылады. Берілген мысалдарда біз \(r\) мәнін қалай есептеу керектігін және оны қалай түсіндіру керектігін көреміз. Жоғары корреляция (1-ге немесе -1-ге жақын) күшті байланысты, ал төмен корреляция (0-ге жақын) әлсіз байланысты көрсетеді. Корреляция себептілікті білдірмейтінін ескеру маңызды; ол жай ғана екі айнымалы арасында байланыс бар екенін көрсетеді.
