Детерминация коэффициенті бойынша талқылау сұрағының мысалы
Детерминация коэффициенті (R²) регрессиялық талдаудағы маңызды параметр болып табылады, ол регрессиялық модель деректердің нақты өзгергіштігін қаншалықты жақсы түсіндіретінін көрсетеді. Бұл мақалада біз детерминация коэффициенті ұғымын егжей-тегжейлі мысал және талқылау арқылы түсіндіреміз.
Детерминация коэффициентінің негізгі тұжырымдамасы
Детерминация коэффициенті немесе \(R^2 \) 0-ден 1-ге дейінгі шкала бойынша өлшенеді, мұндағы:
– \( R^2 = 0 \) регрессиялық модель деректердің өзгергіштігін мүлдем түсіндіре алмайтынын көрсетеді.
– \( R^2 = 1 \) регрессиялық модель деректердің барлық өзгергіштігін мінсіз түсіндіре алатынын көрсетеді.
Детерминация коэффициентін есептеудің негізгі формуласы:
\[ R^2 = 1 – \frac{SSR}{SST} \]
Қайда:
– SSR (Квадрат қалдықтарының қосындысы) – модель болжаған мәндер мен нақты мәндер арасындағы айырмашылықтардың квадраттарының қосындысы.
– SST (Квадраттар жалпы қосындысы) – нақты мән мен нақты мәндердің орташа мәні арасындағы айырмашылықтардың квадраттарының қосындысының қосындысы.
Есептер мысалы
Детерминация коэффициентін есептеуді тереңірек түсіну үшін мысал есебін қарастырайық.
Мәселелерге мысал:
10 студенттің оқу сағаттарының саны (X) және емтихан нәтижелері (Y) туралы деректер бар делік:
| Студенттер | Оқу сағаттары (X) | Емтихан бағасы (Y) |
|——-|——————–|——————–|
| 1 | 2 | 58 |
| 2 | 3 | 64 |
| 3 | 4 | 70 |
| 4 | 5 | 85 |
| 5 | 2 | 57 |
| 6 | 3 | 68 |
| 7 | 4 | 72 |
| 8 | 5 | 90 |
| 9 | 3 | 62 |
| 10 | 4 | 78 |
Біз емтихан нәтижелері (Y) оқу сағаттарына (X) негізделіп болжанатын қарапайым сызықтық регрессия моделін жасаймыз.
Талқылау
1. Қарапайым сызықтық регрессия моделін құру
Қарапайым сызықтық регрессия моделі келесі формада болады:
\[ Y = a + bX \]
Қайда:
– \( Y \) – болжамды тест ұпайы.
– \( X \) – оқу сағаттарының саны.
– \( a \) – қиылысу нүктесі (X = 0 болған кездегі Y осінің қиылысу нүктесі).
– \( b \) – көлбеу (регрессия сызығының көлбеуі).
\(a \) және \(b \) параметрлерін есептеу үшін келесі формуланы қолданамыз:
\[ b = \frac{n(\sum{XY}) – (\sum{X})(\sum{Y})}{n(\sum{X^2}) – (\sum{X})^2} \]
\[ a = \frac{\sum{Y} – b(\sum{X})}{n} \]
мұндағы \(n\) - деректер саны (бұл жағдайда n = 10).
Кестеден біз есептей аламыз:
– \(\қосынды{X} = 36\)
– \(\қосынды{Y} = 704\)
– \(\қосынды{X^2} = 140\)
– \(\қосынды{Y^2} = 50428\)
– \(\қосынды{XY} = 2576\)
Алдымен b есептеп көрейік:
\[ b = \frac{10(2576) – (36)(704)}{10(140) – (36)^2} \]
\[ b = \frac{25760 – 25344}{1400 – 1296} \]
\[ b = \frac{416}{104} \]
\[b = 4 \]
Содан кейін біз келесіні есептейміз:
\[ a = \frac{704 – 4(36)}{10} \]
\[ a = \frac{704 – 144}{10} \]
\[ a = \frac{560}{10} \]
\[a = 56 \]
Сонымен, сызықтық регрессия моделін аламыз:
\[ Y = 56 + 4X \]
2. Болжамды мәнді (Y') есептеңіз
Келесіде, әрбір \(X\) үшін болжамды мәнді \(Y'\) есептейміз:
| Студенттер | Оқу сағаттары (X) | Емтихан бағасы (Y) | Болжамды баға (Y') |
|——-|——————–|——————––|—————————-|
| 1 | 2 | 58 | \( 56 + 4(2) = 64 \) |
| 2 | 3 | 64 | \( 56 + 4(3) = 68 \) |
| 3 | 4 | 70 | \( 56 + 4(4) = 72 \) |
| 4 | 5 | 85 | \( 56 + 4(5) = 76 \) |
| 5 | 2 | 57 | \( 56 + 4(2) = 64 \) |
| 6 | 3 | 68 | \( 56 + 4(3) = 68 \) |
| 7 | 4 | 72 | \( 56 + 4(4) = 72 \) |
| 8 | 5 | 90 | \( 56 + 4(5) = 76 \) |
| 9 | 3 | 62 | \( 56 + 4(3) = 68 \) |
| 10 | 4 | 78 | \( 56 + 4(4) = 72 \) |
3. SSR және SST есептеу
Келесіде, \(R^2 \) алу үшін SSR және SST есептейміз.
SSR:
\[ SSR = \sum{(Y – Y')^2} \]
\[ SSR = (58 – 64)^2 + (64 – 68)^2 + (70 – 72)^2 + (85 – 76)^2 + (57 – 64)^2 + (68 – 68)^2 + (72 – 72)^2 + (90 – 76)^2 + (62 – 68)^2 + (78 – 72)^2 \]
\[ SSR = 36 + 16 + 4 + 81 + 49 + 0 + 0 + 196 + 36 + 36 \]
\[ SSR = 454 \]
ӘЖС:
\[ SST = \sum{(Y – \bar{Y})^2} \]
Қайда:
\[ \bar{Y} = \frac{\sum{Y}}{n} = \frac{704}{10} = 70.4 \]
\[ SST = (58 – 70.4)^2 + (64 – 70.4)^2 + (70 – 70.4)^2 + (85 – 70.4)^2 + (57 – 70.4)^2 + (68 – 70.4)^2 + (72 – 70.4)^2 + (90 – 70.4)^2 + (62 – 70.4)^2 + (78 – 70.4)^2 \]
\[ SST = 153.76 + 40.96 + 0.16 + 213.16 + 178.56 + 5.76 + 2.56 + 384.16 + 70.56 + 57.76 \]
\[ SST = 1107.44 \]
4. Анықтау коэффициентін есептеу \( R^2 \):
\[ R^2 = 1 – \frac{SSR}{SST} \]
\[ R^2 = 1 – \frac{454}{1107.44} \]
\[ R^2 = 1 – 0.41 \]
\[ R^2 = 0.59 \]
Қорытынды
Жоғарыдағы есептеуден біз детерминация коэффициентін алдық (R2 = 0.59). Бұл біз жасаған сызықтық регрессия моделі оқу сағаттарына негізделген емтихан баллдарының өзгергіштігінің шамамен 59%-ын түсіндіре алатынын көрсетеді. Өзгергіштіктің қалған 41%-ы модельге кірмейтін басқа факторларға байланысты болуы мүмкін.
Жоғарыдағы қадамдар мен есептеулерді түсіну арқылы біз құрған регрессиялық модель деректердің нақты өзгергіштігін қаншалықты жақсы түсіндіретінін бағалауда детерминация коэффициентінің маңыздылығын көре аламыз. Бұл статистикалық талдау мен деректерді модельдеуде өте пайдалы құрал.
