Биномдық үлестірім функциясын талқылайтын мысал сұрақтар
Биномдық үлестірім – бұл екі мүмкін нәтижесі бар бірқатар тәуелсіз сынақтардан тұратын тәжірибедегі табыстар санын сипаттайтын дискретті ықтималдық үлестірімі: сәттілік және сәтсіздік. Әрбір сынақ сынақ деп аталады, ал биномдық үлестірім көбінесе бірқатар тәуелсіз сынақтардағы табыстар саны қызықтыратын жағдайларда қолданылады. Бұл мақалада біз биномдық үлестірімнің негізгі тұжырымдамаларын талқылаймыз және мысалдар мен шешімдерді ұсынамыз.
Биномдық үлестірім функциясының негізгі түсініктері
Мысал сұрақтары мен талқылауға кіріспес бұрын, биномдық үлестірімге қатысты кейбір негізгі ұғымдарды талқылайық.
1. Анықтама: Биномдық үлестірім 'n' тәуелсіз сынақтардағы табыстардың қосындысы ретінде анықталады, мұндағы әрбір сынақтың екі мүмкін нәтижесі бар: табыс (p ықтималдығымен) немесе сәтсіздік (q = 1 – p ықтималдығымен).
2. Ықтималдық функциясы: Биномдық үлестірімнің ықтималдық функциясы:
\[
P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{nk}
\]
Қайда:
– \( P(X = k) \) – n сынақта k сәттілікке жету ықтималдығы.
– \( \binom{n}{k} \) – n санының k санының тіркесімі, ол \( \frac{n!}{k!(nk)!} \) деп анықталады.
– \(p \) – әрбір сынақтағы сәттілік ықтималдығы.
– \( (1-p) \) әрбір сынақтағы сәтсіздік ықтималдығы.
3. Күтілетін мән және ауытқу:
– Биномдық үлестірімнің күтілетін мәні (орташа мәні) \( \mu = np \) болып табылады.
– Биномдық үлестірімнің дисперсиясы \( \sigma^2 = np(1-p) \).
Енді тереңірек түсіну үшін осы ұғымдарды мысал есептерде қолданайық.
1-мысал сұрақ: Биномдық үлестірімнің негізгі есептеулері
Сұрақ:
Компания әрбір компоненттің сапа сынағынан өту ықтималдығы 0.95 болатын электрондық компоненттер шығарады. Егер 10 компонент шығарылса, дәл 8 компоненттің сапа сынағынан өту ықтималдығын есептеңіз.
Талқылау:
Бұл есепті шешу үшін биномдық үлестірім формуласын қолдануға болады. Алдымен келесі параметрлерді анықтаймыз:
– \( n \) (сынақтардың жалпы саны) = 10
– \( k \) (сәттіліктер саны) = 8
– \( p \) (сәттілік ықтималдығы) = 0.95
– \( q \) (сәтсіздік ықтималдығы) = 1 – 0.95 = 0.05
Содан кейін бұл мәндерді биномдық үлестірім формуласына ауыстырыңыз:
\[
P(X = 8) = \binom{10}{8} (0.95)^8 (0.05)^2
\]
Алдымен, \( \binom{10}{8} \) комбинациясын есептеңіз:
\[
\binom{10}{8} = \frac{10!}{8!(10-8)!} = \frac{10!}{8!2!} = \frac{10 \times 9 \times 8!}{8! \times 2!} = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45
\]
Содан кейін, \( (0.95)^8 \) және \( (0.05)^2 \) ықтималдықтарын есептеңіз:
\[
(0.95)^8 \шамамен 0.6634
\]
\[
(0.05)^2 = 0.0025
\]
Соңында, барлық мәндерді көбейтіп, мынаны алыңыз:
\[
P(X = 8) = 45 \0.6634 \0.0025 \0.0744 есе
\]
Сонымен, 10 компоненттің дәл 8-і сапа сынағынан өту ықтималдығы шамамен 0.0744 немесе 7.44% құрайды.
2-мысал: Кумулятивтік ықтималдық
Сұрақ:
Әлі де сол компанияда, 10 компоненттің кем дегенде 9-ы сапа сынағынан өту ықтималдығын есептеңіз.
Талқылау:
Бұл есепті шешу үшін кумулятивтік ықтималдықты есептеу керек. 10 компоненттің кем дегенде 9-ы сынақтан өту ықтималдығы \(P(X \geq 9) \) есептеуді білдіреді, оны келесідей жазуға болады:
\[
P(X \geq 9) = P(X = 9) + P(X = 10)
\]
Биномдық үлестірім формуласын қолдану:
\[
P(X = 9) = \binom{10}{9} (0.95)^9 (0.05)^1
\]
\[
P(X = 10) = \binom{10}{10} (0.95)^{10} (0.05)^0
\]
Алдымен әр жағдай үшін комбинацияны есептеңіз:
\[
\binom{10}{9} = \frac{10!}{9!(10-9)!} = 10
\]
\[
\binom{10}{10} = 1
\]
Содан кейін, \(P(X = 9) \) және \(P(X = 10) \) үшін ықтималдықтарды есептеңіз:
\[
P(X = 9) = 10 \times (0.95)^9 \times 0.05
\]
\[
(0.95)^9 \шамамен 0.6302
\]
\[
P(X = 9) = 10 \0.6302 \0.05 \0.3151 есе
\]
\[
P(X = 10) = 1 \times (0.95)^{10} \times 1
\]
\[
(0.95)^{10} \шамамен 0.5987
\]
\[
P(X = 10) = 0.5987
\]
\(P(X \geq 9) \) үшін жалпы ықтималдық:
\[
P(X \geq 9) = 0.3151 + 0.5987 \шамамен 0.9138
\]
Сонымен, 10 компоненттің кем дегенде 9-ы сапа сынағынан өту ықтималдығы шамамен 0.9138 немесе 91.38% құрайды.
3-мысал: Күтілетін мән және дисперсия
Сұрақ:
Өндірілген 10 компоненттің сапа сынағынан өткен компоненттер санының күтілетін мәні мен дисперсиясын есептеңіз, өту ықтималдығы 0.95.
Талқылау:
Келесі формуланы пайдаланыңыз:
– Күтілетін мән (орташа) \( \mu = np \)
– Дисперсия \( \sigma^2 = np(1-p) \)
\(n = 10 \) және \(p = 0.95 \) арқылы:
\[
\mu = 10 \0.95 = 9.5 еселенген
\]
\[
\sigma^2 = 10 \0.95 есе \0.05 есе = 0.475
\]
Сонымен, сапа сынағынан өткен компоненттер санының күтілетін мәні 9.5-ке тең, ал дисперсиясы 0.475-ке тең.
Қорытынды
Жоғарыдағы үш мысал есептері арқылы біз әртүрлі жағдайлар үшін биномдық үлестірімді пайдаланып ықтималдықты қалай есептеу керектігін талқыладық: дәл ықтималдықты, кумулятивтік ықтималдықты есептеу және күтілетін мән мен дисперсияны есептеу. Биномдық үлестірімді білу өндіріс, медициналық зерттеулер және әлеуметтік статистика сияқты әртүрлі салаларда пайдалы, мұнда шешім қабылдауға көмектесу үшін екі мүмкін нәтижесі бар қайталанатын тәжірибелердің нәтижелерін талдауға болады. Берілген мысал есептері мен талқылаулар биномдық үлестірімді түсінуіңізді одан әрі жақсартуға көмектеседі деп үміттенеміз.
