Функциялар мен функция еместерді талқылауға арналған мысал сұрақтар: негізгі ұғымдарды түсіну
пенгеналан
Математикада, әсіресе алгебрада, функция ұғымы ең негізгі және маңызды ұғымдардың бірі болып табылады. Функциялар бізге екі жиын арасындағы байланысты өте жүйелі түрде түсінуге мүмкіндік береді. Функцияны түсіну үшін алдымен оның анықтамасы мен сипаттамаларын түсінуіміз керек. Сондықтан, бұл мақалада мысал есептері қарастырылып, функциялар мен функция еместер талқыланады. Бұл бізге осы тақырыпты тереңірек түсінуге көмектеседі.
Функция және функция емес анықтамасы
Функцияның анықтамасын түсінуден бастайық. Математикада функцияны домен жиынының әрбір элементін кодомена жиынының дәл бір элементімен байланыстыратын қатынас ретінде анықтауға болады. Басқаша айтқанда, домен жиынындағы әрбір элемент үшін кодомена жиынында бір ғана сәйкес элемент бар.
Функция болып табылатын қатынастардың мысалдары:
– A жиыны = {1, 2, 3}
– B жиыны = {4, 5, 6}
– R қатынасы = {(1, 4), (2, 5), (3, 6)}
R қатынасы функция болып табылады, себебі А жиынының әрбір элементі В жиынының тек бір элементімен жұптасқан.
Функция емес дегеніміз - бұл критерийлерге сәйкес келмейтін қатынас, атап айтқанда, бастапқы аймақта нәтиже аймағында бірнеше элементпен жұптасқан кем дегенде бір элементтің болуы.
Функция емес қатынастардың мысалдары:
– C жиыны = {1, 2, 3}
– D жиыны = {4, 5, 6}
– S қатынасы = {(1, 4), (1, 5), (2, 6)}
S қатынасы функция емес, себебі C жиынындағы '1' элементі D жиынындағы екі элементпен (атап айтқанда 4 және 5) жұптасқан.
Үлгі сұрақтар және талқылау
Функциялар мен функция еместерді тереңірек түсіну үшін кейбір мысал сұрақтарды және олардың талқылауларын қарастырайық.
1-мысал: Функцияларды анықтау
X = {a, b, c, d} жиыны және Y = {1, 2, 3, 4} жиыны берілгенде, келесідей анықталған қатынас функция ма?
– R = {(a, 1), (b, 2), (c, 3), (d, 4)}
Талқылау:
X жиынындағы әрбір элементті тексерейік:
– 'a' әрпі '1' әрпімен жұптасады
– 'b' әрпі '2' әрпімен жұптасқан
– 'c' әріпі '3' әріпімен жұптасқан
– 'd' әріпі '4' әріпімен жұптасқан
X жиынындағы әрбір элемент Y жиынындағы бір ғана элементпен жұптасқандықтан, R қатынасы функция болып табылады.
2-мысал: Функцияларды немесе функция еместерді анықтау
P = {u, v, w} жиыны және Q = {5, 6, 7} жиыны берілген. Келесі қатынастың функция екенін анықтаңыз:
– S = {(u, 5), (v, 6), (u, 7)}
Талқылау:
P жиынындағы әрбір элементті қарастырайық:
– 'u' әріпі '5' әріпімен жұптасқан
– 'v' әріпі '6' әріпімен жұптасқан
– 'u' әріпі де '7' әріпімен жұптасады
P жиынындағы 'u' элементі Q жиынындағы бірнеше элементпен жұптасқандықтан, S қатынасы функция емес.
3-мысал: Графтардан функцияларды салу
Координаталық жазықтықта орналасқан қатынастың графигі берілген болса, оның функция ма, жоқ па, соны анықтаңыз. График келесі нүктелерді көрсетеді:
– (1, 2)
– (2, 4)
– (3, 6)
– (4, 8)
– (5, 10)
Талқылау:
Графиктегі әрбір нүктенің (x, y) жұбы бар, бұл x-тің әрбір берілген мәні үшін онымен байланысты бір ғана y мәні бар екенін көрсетеді. Облыстағы әрбір элемент кодобойындағы бір ғана элементпен жұптасқандықтан, берілген график функцияның графигі болып табылады.
4-мысал: Теңдеу түріндегі функциялар
Егер берілген анықталу облысы толығымен нақты сандар болса, y = x² теңдеуінің функция екенін анықтаңыз.
Талқылау:
Біз домендегі әрбір x мәнімен бір ғана y мәні байланысты екенін тексеруіміз керек. Кейбір x мәндерін ауыстырыңыз:
– Егер x = 1 болса, онда y = 1² = 1
– Егер x = 2 болса, онда y = 2² = 4
– Егер x = -1 болса, онда y = (-1)² = 1
Әрбір таңдалған x мәні үшін y мәнімен тек бір ғана байланысты мән болатынын көруге болады. Сондықтан, y = x² функциясы болып табылады.
5-мысал сұрақ: Кері функциялары бар функциялар
f(x) функциясы f арқылы анықталсын: x → x + 3. Егер бар болса, осы функцияның кері функциясын табыңыз.
Талқылау:
Егер f: x → x + 3 болса, онда f(g(x)) = x және g(f(x)) = x болатын g функциясын табу керек. Теңдеуден бастаймыз:
– y = x + 3
Кері санды табу үшін x-ті бөліп аламыз:
– x = y – 3
Сондықтан, кері функция g(y) = y – 3 болады.
Сонымен, f(x) = x + 3 функциясының кері функциясы f⁻¹(x) = x – 3 болады.
Қорытынды
Жоғарыдағы талқылаудан біз функциялар мен функция еместерге қатысты есептердің бірнеше мысалын және олардың түсіндірмелерін көрдік. Функция ұғымы бізге домен жиынының әрбір элементі кодомен жиынының дәл бір элементімен жұптастырылуы керек екенін үйретеді. Графиктер мен теңдеулерден функцияларды анықтау да қатынастың сипатын анықтаудың пайдалы әдісі болып табылады. Осы типтегі есептерді жаттықтыру арқылы біз алгебра мен басқа да математикалық талдаудың маңызды негізі болып табылатын функциялар мен функция еместердің негізгі ұғымдарымен жақсырақ танысып, оларды жақсырақ түсінеміз.
