Биномдық үлестірімнің мысал сұрақтары және талқылауы
Биномдық үлестірім - ең жиі қолданылатын дискретті ықтималдық үлестірімдерінің бірі. Ол әрқайсысы сәтті немесе сәтсіз болатын бірқатар бірдей, тәуелсіз сынақтардағы сәттілік санын модельдеу үшін пайдалы. Бұл мақалада біз бірнеше мысалдар келтіріп және егжей-тегжейлі талқылау арқылы биномдық үлестірімді тереңірек қарастырамыз.
Биномдық үлестірімге кіріспе
Биномдық таралудың негізгі сипаттамалары:
1. n: Сынақтар немесе қайталаулар саны.
2. p: Әрбір сынақта сәттілік ықтималдығы.
3. q = 1-p: Әрбір сынақтағы сәтсіздік ықтималдығы.
Биномдық үлестірімнің ықтималдық массалық функциясы:
\[ P(X = k) = {n \choose k} p^k (1-p)^{nk} \]
Қайда:
– \( {n \choose k} = \frac{n!}{k!(nk)!} \)
– \( X \): Табыстар санын білдіретін кездейсоқ айнымалы.
– \( k \): Ізделген табыстар саны.
Үлгі сұрақтар және талқылау
Биномдық үлестірім ұғымын толығырақ түсіну үшін бірнеше мысал есептерден бастайық.
1-мысал: Студенттер тобынан таңдау
Мысалы, бізде 10 студенттен тұратын топ бар делік, және әрбір студенттің жарысқа қатысу үшін таңдалу ықтималдығы 0,3-ке тең. Біз дәл 4 студенттің таңдалу ықтималдығын білгіміз келеді.
1-қадам: Биномдық үлестірімнің параметрлерін анықтаңыз.
– \( n = 10 \)
– \( p = 0.3 \)
2-қадам: \(X = 4 \) ықтималдығын есептеу үшін биномдық үлестірімді пайдаланыңыз.
\[ P(X = 4) = {10 \choose 4} (0.3)^4 (0.7)^6 \]
\( {10 \choose 4} \ ) есептеу:
\[ {10 \choose 4} = \frac{10!}{4!(10-4)!} = \frac{10!}{4!6!} = 210 \]
Енді \( (0.3)^4 \) және \( (0.7)^6 \) мәндерін есептеңіз:
\[ (0.3)^4 = 0.0081 \]
\[ (0.7)^6 = 0.117649 \]
Сонымен,
\[ P(X = 4) = 210 \cdot 0.0081 \cdot 0.117649 \шамамен 0.20012 \]
Демек, дәл 4 студенттің таңдалу ықтималдығы шамамен 0.20012 немесе 20.012% құрайды.
2-мысал: Ықтималдық 2-ден кіші немесе тең
Енді, мысалы, бізден 2-ден аз немесе тең студенттің таңдалу ықтималдығы туралы сұралады.
1-қадам: Біз \(P(X = 0) \), \(P(X = 1) \) және \(P(X = 2) \) мәндерін есептеуіміз керек.
– \(P(X = 0) \) үшін:
\[ P(X = 0) = {10 \choose 0} (0.3)^0 (0.7)^{10} \]
\[ {10 \таңдау 0} = 1 \]
\[ (0.7)^{10} = 0.0282475 \]
\[ P(X = 0) = 1 \cdot 1 \cdot 0.0282475 = 0.0282475 \]
– \(P(X = 1) \) үшін:
\[ P(X = 1) = {10 \choose 1} (0.3)^1 (0.7)^9 \]
\[ {10 \таңдау 1} = 10 \]
\[ (0.3) \cdot (0.7)^9 = 0.1210608 \]
\[ P(X = 1) = 10 \cdot 0.3 \cdot 0.1210608 = 0.3631824 \]
– \(P(X = 2) \) үшін:
\[ P(X = 2) = {10 \choose 2} (0.3)^2 (0.7)^8 \]
\[ {10 \таңдау 2} = 45 \]
\[ (0.3)^2 \cdot (0.7)^8 = 0.2334744 \]
\[ P(X = 2) = 45 \cdot 0.09 \cdot 0.2334744 = 0.2334744 \]
2-қадам: Ықтималдықтарды қосыңыз.
\[ P(X \leq 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) \]
\[ P(X \leq 2) = 0.0282475 + 0.3631824 + 0.3826372 = 0.7740671 \]
Демек, 2-ден аз немесе тең студенттің таңдалу ықтималдығы шамамен 0.7740671 немесе 77.41% құрайды.
3-мысал: Ықтималдық кем дегенде 8
Егер тәжірибе 12 рет жүргізілсе және әрбір сынақтың сәтті болу ықтималдығы 0.5 болса, кем дегенде 8 сәттілік болу ықтималдығы қандай?
1-қадам: Биномдық параметрлерді орнатыңыз: \( n = 12, p = 0.5 \).
2-қадам: \(X \geq 8 \) үшін ықтималдықты табыңыз.
Бұл бірнеше жеке ықтималдықтарды есептеуді және оларды қосуды қажет етеді:
\[ P(X \geq 8) = P(X = 8) + P(X = 9) + P(X = 10) + P(X = 11) + P(X = 12) \]
Бір-бірлеп санаңыз:
– \(P(X = 8) \) үшін:
\[ P(X = 8) = {12 \choose 8} (0.5)^8 (0.5)^4 \]
\[ {12 \таңдау 8} = 495 \]
\[ (0.5)^{12} = 0.0002441406 \]
\[ P(X = 8) = 495 \cdot 0.0002441406 = 0.1208496 \]
– \(P(X = 9) \) үшін:
\[ P(X = 9) = {12 \choose 9} (0.5)^9 (0.5)^3 \]
\[ {12 \таңдау 9} = 220 \]
\[ P(X = 9) = 220 \cdot 0.0002441406 = 0.05371094 \]
– \(P(X = 10) \) үшін:
\[ P(X = 10) = {12 \choose 10} (0.5)^{10} (0.5)^2 \]
\[ {12 \таңдау 10} = 66 \]
\[ P(X = 10) = 66 \cdot 0.0002441406 = 0.01611328 \]
– \(P(X = 11) \) үшін:
\[ P(X = 11) = {12 \choose 11} (0.5)^{11} (0.5)^1 \]
\[ {12 \таңдау 11} = 12 \]
\[ P(X = 11) = 12 \cdot 0.0002441406 = 0.002929688 \]
– \(P(X = 12) \) үшін:
\[ P(X = 12) = {12 \choose 12} (0.5)^{12} \]
\[ {12 \таңдау 12} = 1 \]
\[ P(X = 12) = 1 \cdot 0.0002441406 = 0.0002441406 \]
3-қадам: Барлық ықтималдықтарды қосыңыз.
\[ P(X \geq 8) = 0.1208496 + 0.05371094 + 0.01611328 + 0.002929688 + 0.0002441406 \шамамен 0.1938477 \]
Сонымен, 12 сынақта кем дегенде 8 сәттілік болу ықтималдығы шамамен 0.1938477 немесе 19.38% құрайды.
Қорытынды
Биномдық үлестірім статистикадағы көптеген практикалық қолданбаларда маңызды болып табылатын негізгі ұғым болып табылады. Жоғарыдағы мысалдарда көрсетілгендей, биномдық үлестірімнің әртүрлі жағдайлары үшін ықтималдықтарды қалай есептеу керектігін түсіну арқылы біз бұл ұғымды нақты әлемдегі жағдайларда қолдана аламыз. Бұл жаттығу сонымен қатар ықтималдық құрылымдарының анық және ұйымдастырылған контексте қалай жұмыс істейтінін түсінуімізді нығайтады.
