Шексіз геометриялық қатарларды талқылайтын мысал сұрақтар
Шексіз геометриялық қатар - геометриялық прогрессиядағы шексіз санды мүшелерді қамтитын қатар. Бұл қатарлардың қосындысының (немесе шегінің) есептелуіне қойылатын нақты талаптары бар. Бұл мақалада біз шексіз геометриялық қатарлардың негізгі ұғымын, оларды құру талаптарын және бірнеше мысал есептері мен олардың шешімдерін талқылаймыз.
Шексіз геометриялық қатарлардың негізгі тұжырымдамасы
Негізінде, геометриялық қатар дегеніміз - бірінші мүшеден кейінгі әрбір мүше алдыңғы мүшені ортақ қатынас (r) деп аталатын тұрақты шамаға көбейту арқылы алынатын сандар тізбегі. Мысалы, бізде геометриялық қатар бар:
\[ a, ar, ar^2, ar^3, ar^4, \ldots \]
Шексіз геометриялық қатар үшін қатардағы барлық мүшелердің қосындысын қарастырамыз. Бұл қатардың қосындысы келесідей анықталады:
\[ S = a + ar + ar^2 + ar^3 + ar^4 + \ldots \]
Шексіз геометриялық қатардың қосындысы тек қана қатынасының мәні болған жағдайда ғана жинақталады (анықталған мәні бар). Егер √|r| \geq 1√ болса, онда қатар бөлінеді және белгілі бір қосынды болмайды (шексіздікке дейін барады). Егер √|r| < 1√ болса, шексіз геометриялық қатардың S қосындысын келесідей анықтауға болады: √S = √{a}{1-r}√] мұндағы: √(S√) қатардың қосындысы, √(a√) бірінші мүшесі, √(r√) ортақ қатынас. Мысал сұрақтар және талқылау 1-мысал сұрақ Сұрақ: Келесі қатарлар үшін шексіз геометриялық қатардың қосындысын табыңыз: \[3 + 1.5 + 0.75 + 0.375 + \ldots \] Талқылау: Қатардың маңызды элементтерін анықтайық: Бірінші мүше \(a = 3 \) \(r \) қатынасын екінші мүшені бірінші мүшеге бөлу арқылы табуға болады, яғни: \[r = \frac{1.5}{3} = 0.5 \] \( |r| = 0.5 < 1 \) болғандықтан, бұл қатар жинақталады және біз шексіз қатардың қосындысын есептей аламыз. Шексіз геометриялық қатардың қосындысының формуласын қолданыңыз: \[ S = \frac{a}{1-r} \] \[ S = \frac{3}{1-0.5} \] \[ S = \frac{3}{0.5} \] \[ S = 6 \] Сонымен, шексіз геометриялық қатардың қосындысы 6-ға тең. 2-мысал Сұрақ Сұрақ: Бірінші мүшесі 8 және қатынасы \(r = -\frac{1}{3} \ болатын шексіз геометриялық қатардың қосындысын табыңыз. Шешімі: Бірінші мүшесі \(a = 8 \) Қатынасы \(r = -\frac{1}{3} \) \( |r| = \frac{1}{3} < 1 \) болғандықтан, бұл қатар жинақталады және біз шексіз қатардың қосындысын есептей аламыз. Шексіз геометриялық қатардың қосындысының формуласын қолданыңыз: \[ S = \frac{a}{1-r} \] \[ S = \frac{8}{1 - \left(-\frac{1}{3}\right)} \] \[ S = \frac{8}{1 + \frac{1}{3}} \] \[ S = \frac{8}{\frac{4}{3}} \] \[ S = 8 \times \frac{3}{4} \] \[ S = 6 \] Сонымен, шексіз геометриялық қатардың қосындысы 6-ға тең. 3-мысал Сұрақ Сұрақ: Келесі қатардың шексіз қосындысы бар ма? Егер бар болса, қосындысын табыңыз. \[ 5 + 2.5 + 1.25 + 0.625 + \ldots \] Талқылау: Бірінші мүше \( a = 5 \) \( r \) қатынасын екінші мүшені бірінші мүшеге бөлу арқылы табуға болады, яғни: \[ r = \frac{2.5}{5} = 0.5 \] \( |r| = 0.5 < 1 \) болғандықтан, бұл қатар жинақталады және біз шексіз қатардың қосындысын есептей аламыз. Шексіз геометриялық қатардың қосындысының формуласын қолданыңыз: \[ S = \frac{a}{1-r} \] \[ S = \frac{5}{1-0.5} \] \[ S = \frac{5}{0.5} \] \[ S = 10 \] Сонымен, шексіз геометриялық қатардың қосындысы 10-ға тең. 4-мысал Сұрақ: Келесі қатардың жинақталатын немесе дивергентті екенін анықтаңыз: \[ 4 - 6 + 9 - 13.5 + \ldots \] Шешімі: Бірінші мүше \( a = 4 \) \( r \) қатынасын екінші мүшені бірінші мүшеге бөлу арқылы табуға болады, атап айтқанда: \[ r = \frac{-6}{4} = -1.5 \] \( |r| = 1.5 > 1 \) болғандықтан, бұл қатар дивергентті және белгілі бір қосындысы жоқ.
Сонымен, сериал әртүрлі.
5-мысал сұрақ
Сұрақ: Келесі шексіз қатар бар делік:
\[ \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \ldots \]
Қатарлардың қосындысын анықтаңыз.
Талқылау:
Бірінші мүше \( a = \frac{1}{2} \)
қатынасын екінші мүшені бірінші мүшеге бөлу арқылы табуға болады, яғни:
\[r = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \]
\( |r| = \frac{1}{2} < 1 \) болғандықтан, бұл қатар жинақталады және біз шексіз қатардың қосындысын есептей аламыз. Шексіз геометриялық қатардың қосындысының формуласын қолданыңыз: \[ S = \frac{a}{1-r} \] \[ S = \frac{\frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{2}} \] \[ S = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}} \] \[ S = 1 \] Сонымен, шексіз геометриялық қатардың қосындысы 1-ге тең. Қорытынды Шексіз геометриялық қатар - әртүрлі салаларда кең қолданылатын маңызды математикалық ұғым. Шексіз геометриялық қатардың қосындысын анықтау үшін қатынасының \( |r| < 1 \) екеніне көз жеткізуіміз керек. Осылайша, қатардың қосындысын қарапайым және түсінікті формуланы пайдаланып есептеуге болады. Жоғарыдағы мысал есептерден бұл әдіс шексіз геометриялық қатарларды қамтитын есептерді шешуді өте оңай ететінін көруге болады.
