Өзара тең емес екі А және В оқиғаларын қосу ережесін талқылайтын мысал сұрақтар
Пендахулуан
Ықтималдық теориясында негізгі ұғымдарды және олардың қолданылуын түсіну өте маңызды. Жиі кездесетін ұғымдардың бірі - ықтималдықты қосу ережесі. Бұл мақалада біз екі эксклюзивті емес оқиға үшін қосу ережесін тереңірек қарастырамыз. Эксклюзивті емес оқиғалар екі оқиға мүмкін элементті бөліскенде немесе басқаша айтқанда, екі оқиға да бір мезгілде пайда болғанда пайда болады. Түсінуді жеңілдету үшін мысал есебін және оның түсіндірмесін қарастырайық.
Негізгі теория
Егер бір-бірін жоққа шығармайтын екі А және В оқиғалары болса, онда А немесе В оқиғасының ықтималдығын есептеуге арналған қосу ережесін келесідей өрнектеуге болады:
\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B) \]
Мұнда:
– \( P(A \cup B) \) – A немесе B (немесе екеуі де) пайда болу ықтималдығы.
– \( P(A) \) – А оқиғасының пайда болу ықтималдығы.
– \( P(B) \) – B оқиғасының орын алу ықтималдығы.
– \( P(A \cap B) \) – A және B оқиғаларының бір мезгілде пайда болу ықтималдығы.
Есептер мысалы
1-сұрақ: Мектепте оқушылардың 70%-ы футбол ойнағанды ұнатады (А оқиғасы), оқушылардың 40%-ы баскетбол ойнағанды ұнатады (В оқиғасы) және оқушылардың 20%-ы екі спорт түрімен де айналысқанды ұнатады. Оқушының футбол немесе баскетбол ойнағанды ұнату ықтималдығы қандай?
Талқылау:
Белгілі:
– \( P(A) = 0.70 \)
– \( P(B) = 0.40 \)
– \( P(A \cap B) = 0.20 \)
Екі өзара жоққа шығаратын оқиғаны қосу ережесін қолданамыз:
\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B) \]
\[ P(A \cup B) = 0.70 + 0.40 – 0.20 \]
\[ P(A \кесе B) = 0.90 \]
Сонымен, оқушының футбол немесе баскетбол ойнағанды ұнату ықтималдығы 0.90 немесе 90% құрайды.
2-сұрақ: Сауалнамада респонденттердің 35%-ы кофені (А оқиғасы), респонденттердің 50%-ы шайды (В оқиғасы) және респонденттердің 10%-ы екеуін де ұнататыны анықталды. Респонденттің кофені немесе шайды ұнату ықтималдығы қандай?
Талқылау:
Белгілі:
– \( P(A) = 0.35 \)
– \( P(B) = 0.50 \)
– \( P(A \cap B) = 0.10 \)
Екі өзара жоққа шығаратын оқиғаны қосу ережесін қолданамыз:
\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B) \]
\[ P(A \cup B) = 0.35 + 0.50 – 0.10 \]
\[ P(A \кесе B) = 0.75 \]
Сонымен, респонденттің кофе немесе шайды ұнату ықтималдығы 0.75 немесе 75% құрайды.
3-сұрақ: Статистикалық мәліметтерден адамдардың 60%-ы кітап оқуды ұнататыны (А оқиғасы), 30%-ы кино көруді ұнататыны (В оқиғасы) және 15%-ы екеуін де ұнататыны белгілі. Адамның кітап оқуды немесе кино көруді ұнату ықтималдығы қандай?
Талқылау:
Белгілі:
– \( P(A) = 0.60 \)
– \( P(B) = 0.30 \)
– \( P(A \cap B) = 0.15 \)
Екі өзара жоққа шығаратын оқиғаны қосу ережесін қолданамыз:
\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B) \]
\[ P(A \cup B) = 0.60 + 0.30 – 0.15 \]
\[ P(A \кесе B) = 0.75 \]
Сонымен, адамның кітап оқуды немесе кино көруді ұнату ықтималдығы 0.75 немесе 75% құрайды.
4-сұрақ: Мейрамханада жүргізілген сауалнама бойынша, тұтынушылардың 55%-ы пиццаға (А оқиғасы), 35%-ы макаронға (В оқиғасы) және 20%-ы екеуіне де тапсырыс берген. Тұтынушының пиццаға немесе макаронға тапсырыс беру ықтималдығы қандай?
Талқылау:
Белгілі:
– \( P(A) = 0.55 \)
– \( P(B) = 0.35 \)
– \( P(A \cap B) = 0.20 \)
Екі өзара жоққа шығаратын оқиғаны қосу ережесін қолданамыз:
\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B) \]
\[ P(A \cup B) = 0.55 + 0.35 – 0.20 \]
\[ P(A \кесе B) = 0.70 \]
Демек, тұтынушының пицца немесе макарон тапсырыс беру ықтималдығы 0.70 немесе 70% құрайды.
Қорытынды
Ықтималдықты зерттеуде екі ерекше емес А және В оқиғаларын қосу ережесі бір немесе екі оқиғаның бір мезгілде пайда болу ықтималдығын анықтау үшін өте маңызды. \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B) \) формуласын пайдалану қиылысы немесе ортақ элементі бар екі оқиғаның бірлескен ықтималдығын есептеуді жеңілдетеді.
Жоғарыдағы мысалдардан біз бұл есептеудің негізгі қадамдарын түсіну оны білім беруде, сауалнамаларда немесе күнделікті өмірде әртүрлі жағдайларда қолдануға мүмкіндік беретінін көре аламыз. Ықтималдылықты дұрыс есептеу үшін қандай оқиғалардың ортақ элементтерін анық және дәл анықтау өте маңызды. Сондықтан, тұрақты тәжірибе және негізгі ұғымдарды түсіну бұл тақырыпты игеруге үлкен көмектеседі.
