Корреляциялық талдауға мысал сұрақтар және талқылау
Корреляциялық талдау - екі айнымалы арасындағы байланыс дәрежесін анықтау үшін қолданылатын статистикалық әдіс. Бұл талдау экономика, психология, медицина және әлеуметтану сияқты әртүрлі пәндерде екі айнымалының қаншалықты тығыз байланысты екенін түсіну үшін жиі қолданылады. Бұл мақалада біз корреляциялық талдау тұжырымдамасын түсінуге көмектесетін бірнеше мысал мәселелер мен талқылауларды талқылаймыз.
Корреляциялық талдауды түсіну
Корреляциялық талдау екі сандық айнымалы арасындағы байланыстың күші мен бағытын өлшеу үшін қолданылады. Бұл корреляция мәні әдетте -1-ден 1-ге дейінгі диапазондағы корреляция коэффициентін пайдаланып өрнектеледі. Бұл мәндерді келесідей түсіндіруге болады:
– +1 : Толық оң корреляция. Екі айнымалы да бір бағытта қозғалады.
– 0: Корреляция жоқ. Екі айнымалының айқын сызықтық байланысы жоқ.
– -1: Толық теріс корреляция. Екі айнымалы да қарама-қарсы бағытта қозғалады.
Ең жиі қолданылатын корреляция коэффициенті - Пирсон корреляциясы. Дегенмен, реттік немесе сызықтық емес деректер үшін қолайлы басқа да корреляция әдістері, мысалы, Спирман және Кендалл бар.
Корреляциялық талдау қадамдары
1. Деректерді жинау: Талданатын екі айнымалы үшін деректер жинаңыз.
2. Деректерді визуализациялау: Екі айнымалы арасындағы байланыс үлгісін көру үшін шашыраңқы диаграмма құрыңыз.
3. Корреляция коэффициентін есептеу: Пирсон, Спирман немесе Кендалл корреляция коэффициентін есептеңіз.
4. Нәтижелерді түсіндіру: Корреляция коэффициентінің мәніне сүйене отырып, байланыстың күші мен бағытын қорытындылаңыз.
5. Маңыздылық сынағы: Табылған корреляцияның статистикалық тұрғыдан маңызды екенін анықтаңыз.
Үлгі сұрақтар және талқылау
1-сұрақ: Пирсон корреляциясы
5 адамның бойы (см) және салмағы (кг) туралы деректер келесідей берілген:
| Адам | Бойы (см) | Салмағы (кг) |
|——-|————-|————|
| A | 160 | 55 |
| B | 165 | 60 |
| C | 170 | 65 |
| D | 175 | 70 |
| E | 180 | 75 |
Деректер үшін Пирсон корреляция коэффициентін есептеңіз.
Талқылау:
1. Орташа мәнді есептеу:
– Орташа бой (X̄) = (160 + 165 + 170 + 175 + 180) / 5 = 170
– Орташа салмақ (Ȳ) = (55 + 60 + 65 + 70 + 75) / 5 = 65
2. Орташа мәннен ауытқуды есептеу:
– Жоғары ауытқу: (160 – 170), (165 – 170), (170 – 170), (175 – 170), (180 – 170)
– Ауыр ауытқу: (55 – 65), (60 – 65), (65 – 65), (70 – 65), (75 – 65)
3. Ауытқу көбейтіндісін есептеу:
– (160-170)(55-65) = 10 10 = 100
– (165-170)(60-65) = 5 5 = 25
– (170-170)(65-65) = 0 0 = 0
– (175-170)(70-65) = 5 5 = 25
– (180-170)(75-65) = 10 10 = 100
Барлығы = 100 + 25 + 0 + 25 + 100 = 250
4. Ауытқу квадратын есептеу:
– Биіктігі: (160-170)², (165-170)², (170-170)², (175-170)², (180-170)²
– Салмағы: (55-65)², (60-65)², (65-65)², (70-65)², (75-65)²
Биіктігі үшін:
– (160-170)² = 100
– (165-170)² = 25
– (170-170)² = 0
– (175-170)² = 25
– (180-170)² = 100
Барлығы = 100 + 25 + 0 + 25 + 100 = 250
Салмақ үшін:
– (55-65)² = 100
– (60-65)² = 25
– (65-65)² = 0
– (70-65)² = 25
– (75-65)² = 100
Барлығы = 100 + 25 + 0 + 25 + 100 = 250
5. Пирсон корреляция коэффициентін есептеу:
\[
r = \frac{\sum ((X – X̄)(Y – Ȳ))}{\sqrt{\sum (X – X̄)² \sum (Y – Ȳ)²}}
\]
\[
r = \frac{250}{\sqrt{250 \times 250}} = \frac{250}{250} = 1
\]
Түсіндірме: Пирсон корреляция коэффициентінің 1 мәні бой мен салмақ арасындағы мінсіз оң байланысты көрсетеді.
2-сұрақ: Найзамен корреляциясы
Екі айнымалының рейтингтік деректері келесідей берілген:
| Тұлға | X айнымалысы | Y айнымалысы |
|——-|————|————|
| A | 1 | 3 |
| B | 2 | 1 |
| C | 3 | 4 |
| D | 4 | 2 |
| E | 5 | 5 |
Деректерге сүйене отырып, Спирман корреляция коэффициентін есептеңіз.
Талқылау:
1. Рейтинг айырмашылығын есептеу (d):
– X және Y рейтингісі үшін:
– A: 1 – 3 = -2
– B: 2 – 1 = 1
– C: 3 – 4 = -1
– D: 4 – 2 = 2
– E: 5 – 5 = 0
2. Ранжирлеудегі айырмашылық квадратын есептеу (d²):
– (-2)² = 4
– (1)² = 1
– (-1)² = 1
– (2)² = 4
– (0)² = 0
Барлығы (Σd²) = 4 + 1 + 1 + 4 + 0 = 10
3. Спирмен корреляция коэффициентін есептеу:
\[
r_s = 1 – \frac{6 \sum d^2}{n(n^2 – 1)}
\]
\[
r_s = 1 – \frac{6 \times 10}{5(5^2 – 1)} = 1 – \frac{60}{120} = 1 – 0.5 = 0.5
\]
Түсіндірме: Спирманның корреляция коэффициентінің 0.5 мәні X және Y айнымалылары арасындағы орташа оң байланысты көрсетеді.
Қорытынды
Жоғарыдағы мысалдардан корреляциялық талдауды екі айнымалы арасындағы байланыстың күші мен бағытын анықтау үшін қалай пайдалануға болатынын көреміз. Пирсон корреляция коэффициенті сызықтық байланысы бар сандық деректер үшін, ал Спирман корреляция коэффициенті реттік немесе сызықтық емес деректер үшін қолданылады. Бұл әдістерді түсіну және меңгеру арқылы біз деректерді жақсырақ талдап, әртүрлі зерттеу салаларында дәлірек қорытындылар жасай аламыз.
