Moto rotatorio: problemi e soluzioni

Moto rotatorio: problemi e soluzioni

Coppia

1. Una trave lunga 140 cm è soggetta a tre forze: F1 ₌ 20 N, F2 ₌ 10 N e F3 = 40 N, _con direzione e posizione come mostrato nella figura sottostante. Qual è il momento torcente che fa ruotare la trave attorno al suo centro di massa?

Conosciuto :

Il centro di massa si trova al centro della trave.

Lunghezza della trave (l) = 140 cm = 1.4 metri

Forza 1 (F ₁ ) = 20 N, braccio della leva 1 (l ₁ ) = 70 cm = 0.7 metri

Forza 2 (F ₂ ) = 10 N, braccio della leva 2 (l ₂ ) = 100 cm – 70 cm = 30 cm = 0.3 metri

Forza 3 (F ₃ ) = 40 N, braccio della leva 3 (l ₃ ) = 70 cm = 0.7 metri

Cercasi: l'entità della coppia

soluzione:

La coppia 1 fa ruotare la trave in senso orario, quindi è stato assegnato un segno negativo alla coppia 1.

τ ₁ = F ₁ l ₁ = (20 N)(0.7 m) = -14 N m

La coppia 2 fa ruotare la trave in senso antiorario, quindi assegniamo un segno positivo alla coppia 2.

τ ₂ = F ₂ l ₂ = (10 N)(0.3 m) = 3 N m

La coppia 3 fa ruotare la trave in senso orario, quindi le è stato assegnato un segno positivo.

τ ₃ = F ₃ l3 = (40 N)(0.7 m) = -28 N m

La coppia netta:

Στ = -14 Nm + 3 Nm – 28 Nm = – 42 Nm + 3 Nm = -39 Nm

L'entità della coppia è di 39 N m. La direzione di rotazione della trave è oraria, quindi le è stato assegnato un segno negativo.

2. Qual è la coppia netta che agisce sulla trave? L'asse di rotazione è nel punto D. (sin 53 ^° = 0.8)

Conosciuto :

L'asse di rotazione nel punto D

F ₁ = 10 N e l ₁ = r ₁ sin θ = (40 cm)(sin 53 ^o ) = (0.4 m)(0.8) = 0.32 metri

F ₂ = 10√2 N e l ₂ = r ₂ sin θ = (20 cm)(sin 45 ^o ) = (0.2 m)(0.5√2) = 0.1√2 metri

F ₃ = 20 N e l ₃ = r ₁ sin θ = (10 cm)(sin 90 ^o ) = (0.1 m)(1) = 0.1 metri

Cercasi: la coppia netta

soluzione:

τ ₁ = F ₁ l ₁ = (10 N)(0.32 m) = 3.2 Nm

(La coppia 1 fa ruotare la trave in senso antiorario, quindi assegniamo un segno positivo alla coppia 1)

τ ₂ = F ₂ l ₂ = (10√2 N)( 0.1√2 m) = -2 Nm

(La coppia 2 fa ruotare la trave in senso orario, quindi assegniamo un segno negativo alla coppia 2)

τ ₃ = F ₂ l ₂ = (20 N)(0.1 m) = 2 Nm

(La coppia 3 fa ruotare la trave in senso antiorario, quindi assegniamo un segno positivo alla coppia 3)

La coppia netta:

Στ = τ ₁ – τ ₁ + τ ₃

Στ = 3.2 Nm – 2 Nm + 2 Nm

Στ = 3.2 Nm

3. Qual è la coppia netta se l'asse di rotazione è nel punto D? (sin 53 ^° = 0.8)

Conosciuto :

L'asse di rotazione nel punto D.

Distanza tra F ₁ e l'asse di rotazione (r _AD ) = 40 cm = 0.4 m

Distanza tra F ₂ e l'asse di rotazione (r _BD ) = 20 cm = 0.2 m

Distanza tra F ₃ e l'asse di rotazione (r _CD ) = 10 cm = 0.1 m

F ₁ = 10 Newton

F ₂ = 10√2 Newton

F ₃ = 20 Newton

Sin 53 ^o = 0.8

Cercasi: la coppia netta

soluzione:

Il momento della forza 1

Στ ₁ = (F ₁ )(r _AD sin 53 ^o ) = (10 N)(0.4 m)(0.8) = 3.2 Nm

(La coppia 1 fa ruotare la trave in senso antiorario, quindi assegniamo un segno positivo alla coppia 1)

Il momento della forza 2

Στ ₂ = (F ₂ )(r _BD sin 45 ^o ) = (10√2 N)(0.2 m)(0.5√2) = -2 Nm

(La coppia 2 fa ruotare la trave in senso orario, quindi assegniamo un segno negativo alla coppia 2)

Il momento della forza 3

Στ ₃ = (F ₃ )(r _CD sin 90 ^o ) = (20 N)(0.1 m)(1) = 2 Nm

(La coppia 2 fa ruotare la trave in senso antiorario, quindi assegniamo un segno positivo alla coppia 3)

La coppia netta:

Στ = Στ ₁ + Στ ₂ + Στ ₃

Στ = 3.2 – 2 + 2

Στ = 3.2 Newton metri

Il momento d'inerzia

4. Lunghezza del filo = 12 m, l ₁ = 4 m. Ignorare la massa del filo. Qual è il momento d'inerzia del sistema?

Conosciuto :

Massa di A (m _A ) = 0.2 kg

Massa di B (m _B ) = 0.6 kg

Distanza tra A e l'asse di rotazione (r _A ) = 4 metri

Distanza tra B e l'asse di rotazione (r _B ) = 12 – 4 = 8 metri

Ricercato: il momento d'inerzia del sistema

soluzione:

Il momento d'inerzia di A

io _A = (m _A )(r _A ² ) = (0.2)(4) ² = (0.2)(16) = 3.2 kg m ²

Il momento d'inerzia di B

I _B = (m _B )(r _B ² ) = (0.6)(8) ² = (0.6)(64) = 38.4 kg m ²

Il momento d'inerzia del sistema:

I = I _A + I _B = 3.2 + 38.4 = 41.6 kg ^m2

Dinamica rotazionale

5. Una forza di 6 N viene applicata a una corda avvolta attorno a una puleggia di massa M = 5 kg e raggio R = 20 cm. Qual è l'accelerazione angolare della puleggia? La puleggia è un cilindro pieno uniforme.

Conosciuto :

Forza (F) = 6 Newton

Massa (M) = 5 kg

Raggio (R) = 20 cm = 20/100 m = 0.2 m

Si richiede: accelerazione angolare (α)

soluzione:

Il momento della forza:

τ = FR = (6 Newton)(0.2 metri) = 1.2 N·m

Il momento d'inerzia di un cilindro pieno:

I = 1/2 MR ²

I = 1/2 (5 kg)(0.2 m) ²

I = 1/2 (5 kg)(0.04 m ² )

I = 1/2 (0.2)

I = 0.1 kg m ².

L'accelerazione angolare:

τ = I α

α = τ / I = 1.2 / 0.1 = 12 rad s ^-2

6. Un blocco di massa = 4 kg è appeso a una corda avvolta attorno a una puleggia di massa = 8 kg e raggio R = 10 cm. L'accelerazione di gravità è 10 ms⁻² ^. Qual è l'accelerazione lineare del blocco? La puleggia è un cilindro pieno uniforme.

Conosciuto :

Massa della puleggia (m) = 8 kg

Raggio della puleggia (r) = 10 cm = 0.1 m

Massa del blocco (m) = 4 kg

Accelerazione di gravità (g) = 10 m/ ^s²

Peso (w) = mg = (4 kg)(10 m/s² ⁾ = 40 kg m/s² ⁼ 40 Newton

Ricerca: l'accelerazione di caduta libera del blocco

soluzione:

Il momento d'inerzia del cilindro pieno:

I = 1/2 MR ² = 1/2 (8 kg)(0.1 m) ² = (4 kg)(0.01 m ² ) = 0.04 kg m ²

Il momento della forza:

τ = F r = (40 N)(0.1 m) = 4 Nm

L'accelerazione angolare:

Στ = I α

4 = 0.04 α

α = 4 / 0.04 = 100

L'accelerazione lineare:

a = rα = (0.1)(100) = 10 m/s ²

7. Un blocco di massa m è appeso a una corda avvolta attorno a una puleggia. Se l' accelerazione di gravità del blocco è am/s² ^, qual è il momento d'inerzia della puleggia?

Conosciuto :

peso = w = mg

Braccio della leva = R

L'accelerazione angolare = α

L'accelerazione di caduta libera del blocco = a ms ^-2

Ricercato: Il momento d'inerzia della puleggia (I)

soluzione:

La relazione tra accelerazione lineare e accelerazione angolare:

a = R α

α = a / R

Il momento d'inerzia:

τ = I α

I = τ : α = τ : a / R = τ (R / a) = τ R a ^-1

Il momento angolare

8. Una particella di 0.2 grammi si muove in cerchio a una velocità costante di 10 m/s. Il raggio del cerchio è di 3 cm. Qual è il momento angolare della particella?

Conosciuto :

Massa della particella (m) = 0.2 grammi = 2 x ^10⁻⁴ kg

Velocità angolare (ω) = 10 rad s ^-1

Raggio (r) = 3 cm = 3 x ^10⁻² metri

Ricercato: il momento angolare della particella

soluzione:

L'equazione del momento angolare:

L = I ω

I = momento angolare, I = momento d'inerzia, ω = velocità angolare

Il momento d'inerzia (per le particelle):

I = mr ² = (2 x 10 ^-4 )(3 x 10 ^-2 ) ² = (2 x 10 ^-4 )(9 x 10 ^-4 ) = 18 x 10 ^-8

Il momento angolare:

L = I ω = (18 x 10 ^-8 )(10 rad s ^-1 ) = 18 x 10 ^-7 kg m ² s ^-1

1. Che cos'è il moto rotatorio?
   • RispostaIl moto rotatorio si riferisce al movimento di un oggetto attorno a un asse fisso. È il tipo di moto in cui ogni punto dell'oggetto si muove in cerchio attorno all'asse.
2. Come si relaziona la velocità lineare alla velocità angolare nel moto rotatorio?
   • Risposta: Velocità lineare ($v$) di un punto in un oggetto rotante è direttamente proporzionale alla sua distanza ($r$) dall'asse di rotazione e dalla velocità angolare ($\omega$) dell'oggetto. La relazione è data da $v=r\cdot \omega$.
3. Che cos'è il momento d'inerzia e qual è la sua relazione con il moto rotatorio?
   • RispostaIl momento d'inerzia è l'analogo rotazionale della massa in moto lineare. Misura la resistenza di un oggetto alle variazioni del suo stato di rotazione. Il momento d'inerzia dipende sia dalla massa dell'oggetto che dalla sua distribuzione rispetto all'asse di rotazione.
4. In che modo la prima legge del moto di Newton si applica al moto rotatorio?
   • RispostaCosì come un oggetto in moto lineare rimane in movimento a meno che non agisca su di esso una forza esterna, un oggetto in moto rotatorio rimarrà in tale stato a meno che non agisca su di esso una coppia esterna.
5. Qual è il significato del raggio di girazione?
   • RispostaIl raggio di girazione fornisce una misura della distribuzione della massa di un oggetto rispetto al suo asse di rotazione. In sostanza, descrive a quale distanza dall'asse dovrebbe essere concentrata tutta la massa dell'oggetto per avere lo stesso momento d'inerzia della distribuzione originale.
6. Che cos'è il momento angolare e come si conserva?
   • RispostaIl momento angolare è l'equivalente rotazionale della quantità di moto lineare. È il prodotto del momento d'inerzia di un oggetto e della sua velocità angolare. In un sistema chiuso, il momento angolare totale rimane costante a meno che non agisca su di esso una coppia esterna, evidenziando la conservazione del momento angolare.
7. In che modo la coppia influisce sul moto rotatorio?
   • RispostaLa coppia è l'equivalente rotazionale della forza. Essa provoca cambiamenti nel moto rotatorio di un oggetto. La relazione è data dalla seconda legge di Newton per la rotazione: $\tau =I\cdot \alpha$Durante la serata, $\tau$ è la coppia, $I$ è il momento d'inerzia, e $\alpha$ è l'accelerazione angolare.
8. In che modo il centro di massa differisce dal centro di rotazione?
   • RispostaSebbene possano coincidere, il centro di massa è il punto in cui si può assumere che sia concentrata l'intera massa di un oggetto ai fini dei calcoli relativi al moto lineare, mentre il centro di rotazione è il punto (o asse) attorno al quale un oggetto ruota.
9. Qual è il ruolo della forza centripeta nel moto rotatorio?
   • RispostaLa forza centripeta è la forza netta che agisce su un oggetto che si muove lungo una traiettoria circolare, diretta verso il centro di rotazione. È responsabile del mantenimento della traiettoria curva dell'oggetto e impedisce che si muova in linea retta a causa dell'inerzia.

10. Come si relaziona l'energia cinetica rotazionale al momento d'inerzia e alla velocità angolare?

    • RispostaL'energia cinetica rotazionale è l'energia dovuta alla rotazione di un oggetto attorno a un asse. È data dalla formula: KE_{rotational​}=1/2 ​I ω²Durante la serata, $I$ è il momento d'inerzia e $\omega$ è la velocità angolare.