27 Moto dei proiettili: problemi e soluzioni
1. Un proiettile viene sparato con un angolo θ = 60 ° e una velocità di 20 m/s. L'accelerazione di gravità è di 10 m/s² . Qual è l'intervallo di tempo necessario per raggiungere l'altezza massima?
Conosciuto :
La velocità iniziale del proiettile (v o ) = 20 m/s
Angolo (θ) = 60 ° C
Accelerazione dovuta alla gravità (g) = 10 ms –2
Ricerca: l'intervallo di tempo per raggiungere l' altezza massima
soluzione:
La velocità iniziale in direzione orizzontale (asse x):
v ox = v o cos 60 o = (20)(0.5) = 10 m/s
La velocità iniziale in direzione verticale (asse y):
v oy = vo sin 60 o = (20)(0.5√3) = 10√3 m/s
L'intervallo di tempo necessario per raggiungere l'altezza massima, calcolato utilizzando questa equazione:
v ty = v oy + gt
v ty = velocità finale in direzione verticale = velocità finale nel punto più alto = 0 m/s
v oy = la velocità iniziale in direzione orizzontale = 10√3 m/s
g = accelerazione di gravità = 10 m/ s²
t = intervallo di tempo
L'intervallo di tempo:
v ty = v oy + gt
0 = 10√3 – 10 t
10√3 = 10 t
t = 10√3 / 10
t = √3 secondi
2. Un oggetto viene lanciato con un angolo. L'altezza dell'oggetto è la stessa quando l'intervallo di tempo è di 1 secondo e di 3 secondi. Qual è l'intervallo di tempo in cui l'oggetto è in aria?
soluzione:
L'oggetto rimane sospeso in aria per 4 secondi.
3. Un aereo si muove orizzontalmente con una velocità di 50 m/s. All'altezza di 2 km, un oggetto viene lasciato cadere dall'aereo. L'accelerazione di gravità è pari a 10 m/ s², qual è l'intervallo di tempo prima che l'oggetto tocchi terra?
Conosciuto :
Altezza = 2 km = 2000 metri
Accelerazione di gravità (g) = 10 m/ s²
Si cerca: l'intervallo di tempo (t)
soluzione:
h = 1/2 gt 2
2000 = 1/2 (10) t 2
2000 = 5 t 2
t 2 = 2000/5 = 400
t = √400 = 20 secondi
4. Un pallone da calcio calciato si alza da terra con un angolo θ = 45 ° rispetto all'orizzontale con una velocità iniziale di 25 m/s. Determinare la distanza X. L'accelerazione di gravità è 10 m/ s².
Conosciuto :
Velocità iniziale (v o ) = 25 m/s
Accelerazione di gravità (g) = 10 m/ s²
Angolo (θ) = 45 °
Ricercato: X
soluzione:
La componente orizzontale della velocità iniziale:
v ox = v o cos θ = (25 m/s)(cos 45 o ) = (25 m/s)(0.5√2) = 12.5√2 m/s
La componente verticale della velocità iniziale:
v oy = v o sin θ = (25 m/s)(sin 45 o ) = (25 m/s)(0.5√2) = 12.5√2 m/s
Il moto di un proiettile può essere compreso analizzando separatamente le componenti orizzontale e verticale del moto. Il moto sull'asse x avviene a velocità costante, mentre il moto sull'asse y avviene ad accelerazione di gravità costante.
Tempo di volo (t):
Il tempo di volo si calcola con l'equazione del moto verticale ascendente.
Scegli la direzione verso l'alto come positiva e la direzione verso il basso come negativa.
Conosciuto :
La velocità iniziale (v o ) = 12.5√2 m/s (direzione verso l'alto, positiva)
Accelerazione di gravità (g) = -10 m/s² ( direzione verso il basso, negativa)
Altezza (h) = 0
Si richiede: intervallo di tempo (t)
soluzione:
h = v o t + 1/2 gt 2
0 = (12.5√2) t + 1/2 (-10) t 2
0 = 12.5√2 t – 5 t 2
12.5√2 t = 5 t 2
12.5√2 = 5 t
t = 12.5√2 / 5
t = 2.5√2 secondi
La distanza orizzontale (X):
Calcolato utilizzando l'equazione del moto lineare uniforme a velocità costante.
Conosciuto :
Velocità (v) = 12.5√2 m/s
Intervallo di tempo (t) = 2.5√2 secondi
Ricercato: Distanza
soluzione:
d = vt = (12.5√2)(2.5√2) = (12.5)(2.5)(2) = 62.5 metri
5. Un oggetto lanciato verso l'alto con un angolo θ = 30 ° rispetto all'orizzontale ha una velocità iniziale di 20 m/s. L'accelerazione di gravità è di 10 m/s² . Determinare l'altezza massima.
Conosciuto :
La velocità iniziale (vo) = 20 m/s
Accelerazione di gravità (g) = 10 m/ s²
Angolo (θ) = 30 °
Cercasi : l'altezza massima
soluzione:
Innanzitutto, troviamo la componente verticale della velocità iniziale (v oy ):
v oy = v o sin 30 o = (20)(sin 30 o ) = (20)(0.5) = 10 m/s
Calcola l'altezza massima. Considera la direzione verso l'alto come positiva e quella verso il basso come negativa.
Conosciuto :
Accelerazione di gravità (g) = -10 m/s² ( direzione verso il basso , negativa )
La componente verticale della velocità iniziale (v oy ) = 10 m/s ( direzione verso l'alto, positiva )
Velocità all'altezza massima (v ty ) = 0
Si richiede: l'altezza massima (h)
soluzione:
v t 2 = v o 2 + 2 gh
0 2 = 10 2 + 2 (-10) h
0 = 100 – 20 h
100 = 20 ore
h = 100/20
h = 5 metri
L'altezza massima è di 5 metri.
6. Un oggetto viene lanciato con un certo angolo di elevazione. L'altezza dell'oggetto è la stessa dopo 1 secondo e dopo 3 secondi. Determinare il tempo di volo.
A. 3.6 s
B. 4.0 s
C. 5.6 s
D. 6.4 s
Soluzione
Tempo di volo = 4 secondi.
La risposta corretta è b.
7. Un aereo si muove orizzontalmente con una velocità di 50 m/s. Quando l'aereo si trova a un'altezza di 2 km, un oggetto può cadere liberamente dall'aereo. Determinare il tipo di moto.
A. Moto di caduta libera
B. Moto di galleggiamento
C. Movimento orizzontale
D. Moto dei proiettili
soluzione:
L'oggetto viene lasciato cadere dall'aereo in movimento perché ha la stessa velocità dell'aereo, ovvero 50 m/s. Il movimento degli oggetti non è come la caduta libera, ma un moto parabolico. Il caso è analogo a quello in cui si lasciano cadere oggetti dall'interno di un'auto in movimento.
La risposta corretta è d.
8. Una palla viene lanciata orizzontalmente a 15 m/s da una scogliera alta 60 metri. Quanto tempo impiega a toccare terra?
Soluzione: Utilizzando \( h = \frac{1}{2} gt^2 \), troviamo che il tempo è \( t = \sqrt{\frac{2h}{g}} \approx 3.5\ \text{s} \).
9. Un proiettile viene sparato con un angolo di 30° rispetto all'orizzontale e una velocità iniziale di 20 m/s. Qual è l'altezza massima raggiunta?
Soluzione: Utilizzando \( h = \frac{v^2 \sin^2 \theta}{2g} \), l'altezza massima è \( h \approx 10.2\ \text{m} \).
10. Una pietra viene lanciata orizzontalmente a 10 m/s da una torre alta 80 metri. Trova la distanza orizzontale percorsa prima di toccare terra.
Soluzione: Utilizzando il tempo trovato in modo simile al Problema 1, la distanza orizzontale è \( d = vt \approx 40\ \text{m} \).
11. Una palla di cannone viene sparata a 40 m/s con un angolo di 45°. Calcola il tempo di volo.
Soluzione: Utilizzando \( t = \frac{2v \sin \theta}{g} \), il tempo di volo è \( t \approx 5.8\ \text{s} \).
12. Una palla da baseball viene lanciata con un angolo di 60° e una velocità di 12 m/s. Calcola la gittata orizzontale.
Soluzione: Utilizzando \( R = \frac{v^2 \sin 2\theta}{g} \), la gittata è \( R \approx 14.0\ \text{m} \).
13. Un proiettile viene lanciato con una velocità iniziale di 50 m/s con un angolo di 37° rispetto all'orizzontale. Qual è la componente verticale della velocità?
Soluzione: La componente verticale è \( v_y = v \sin \theta \approx 30\ \text{m/s} \).
14. Un proiettile viene lanciato orizzontalmente a 20 m/s da un'altezza di 100 metri. Qual è la velocità verticale appena prima che colpisca il suolo?
Soluzione: Utilizzando \( v_y = \sqrt{2gh} \), la velocità verticale è \( v_y \approx 44.7\ \text{m/s} \).
15. Un sasso viene lanciato con un angolo di 25° rispetto all'orizzontale con una velocità iniziale di 15 m/s. Quali sono le componenti orizzontale e verticale della velocità?
Soluzione: La componente orizzontale è \( v_x = v \cos \theta \approx 13.4\ \text{m/s} \), e la componente verticale è \( v_y \approx 6.4\ \text{m/s} \).
16. Un pallone da calcio viene calciato con una velocità iniziale di 30 m/s con un angolo di 40° rispetto all'orizzontale. Qual è la sua componente orizzontale della velocità?
Soluzione: La componente orizzontale è \( v_x = v \cos \theta \approx 22.9\ \text{m/s} \).
17. Una pallina da golf viene colpita con una velocità iniziale di 70 m/s con un angolo di 20°. Qual è il tempo di volo?
Soluzione: Utilizzando l'equazione del tempo di volo, il tempo è \( t \approx 4.9\ \text{s} \).
18. Un proiettile viene sparato da terra con una velocità di 25 m/s con un angolo di 53° rispetto all'orizzontale. Qual è la sua componente verticale iniziale della velocità?
Soluzione: La componente verticale è \( v_y = v \sin \theta \approx 20\ \text{m/s} \).
19. Una palla da baseball viene lanciata con una velocità iniziale di 20 m/s con un angolo di 50°. Qual è l'altezza massima raggiunta?
Soluzione: Utilizzando l'equazione per l'altezza massima, l'altezza è \( h \approx 15.3\ \text{m} \).
20. Un proiettile viene sparato orizzontalmente con una velocità di 200 m/s da un'altezza di 10 metri. Quanto tempo impiega a toccare terra?
Soluzione: Utilizzando l'equazione del tempo, il tempo è \( t \approx 1.4\ \text{s} \).
21. Una palla di cannone viene sparata a 45 m/s con un angolo di 30°. Trova la gittata.
Soluzione: Utilizzando l'equazione della gittata, la gittata è \( R \approx 88.2\ \text{m} \).
22. Un pallone da basket viene lanciato con un angolo di 75° e una velocità di 10 m/s. Calcola la gittata orizzontale.
Soluzione: Utilizzando l'equazione della gittata, la gittata è \( R \approx 5.3\ \text{m} \).
23. Un proiettile viene lanciato con una velocità iniziale di 30 m/s con un angolo di 22° rispetto all'orizzontale. Qual è la velocità verticale appena prima che colpisca il suolo?
Soluzione: Utilizzando l'equazione della velocità verticale, la velocità verticale è \( v_y \approx 11.4\ \text{m/s} \).
24. Un sasso viene lanciato orizzontalmente a 8 m/s da una torre alta 40 metri. Qual è la distanza orizzontale percorsa?
Soluzione: Utilizzando l'equazione della distanza orizzontale, la distanza è \( d \approx 16\ \text{m} \).
25. Un pallone da calcio viene calciato con una velocità iniziale di 12 m/s con un angolo di 30° rispetto all'orizzontale. Quali sono le componenti orizzontale e verticale della velocità?
Soluzione: La componente orizzontale è \( v_x \approx 10.4\ \text{m/s} \), e la componente verticale è \( v_y \approx 6\ \text{m/s} \).
26. Una pallina da golf viene colpita con una velocità iniziale di 50 m/s con un angolo di 15°. Qual è il tempo di volo?
Soluzione: Utilizzando l'equazione del tempo di volo, il tempo è \( t \approx 2.6\ \text{s} \).
27. Un proiettile viene sparato da terra con una velocità di 40 m/s a 60° rispetto all'orizzontale. Qual è la sua componente orizzontale iniziale della velocità?
Soluzione: La componente orizzontale è \( v_x = v \cos \theta \approx 20\ \text{m/s} \).
