Efni samfellujöfnu
Reyndu að opna vatnskranann hægt og rólega á meðan þú fylgist með vatnsrennslinu. Þegar kraninn hættir að snúast skaltu loka honum að hluta með hendinni. Berðu nú saman hvor vatnsrennslið er meira. Þegar slöngan er að hluta stífluð eða ekki? Ef þú ert með slöngu sem venjulega er notuð til að vökva blóm skaltu láta vatnið renna í gegnum hana. Lokaðu slöngunni að hluta með hendinni eða fingri. Því stærri hluti slöngunnar sem er stíflaður, því hraðar mun vatnið renna út. Aftur á móti, ef slangan er ekki stífluð, mun vatnið renna hægar. Hvers vegna er þetta svona? Til að skilja þetta skaltu skoða samfelldnijöfnuna.
Straumlínur og flæðisrör
Fyrst skulum við skilja hugtökin straumlínur og flæðisrör. Þetta hugtak er mikilvægt því það mun hjálpa þér að skilja samfelldnijöfnuna.
Straumlína
Skoðið myndina hér fyrir neðan, bláa línan er Straumlínan.
Í stöðugum flæði helst hraði hverrar vökvaagnar á punkti, til dæmis punkti A, stöðugur. Þegar hún fer framhjá punkti B getur hraði vökvaagnanna breyst. Hins vegar, þegar hún kemur að punkti B, halda vökvaagnirnar sem fylgja á eftir áfram að flæða með sama hraða og vökvaagnirnar sem komu á undan þeim. Hið sama á við þegar komið er að punkti C, og svo framvegis. Straumlínan er ferillinn sem tengir punktana A, B og C.
Flæðisrör
Í meginatriðum getum við teiknað hverja straumlínu í gegnum hvern punkt í vökvaflæðinu. Ef við skoðum stöðugt vökvaflæði, þá mynda fjöldi straumlína sem fara í gegnum ákveðið horn á ímynduðu yfirborðsflatarmáli (ímynduðu yfirborðsflatarmáli) flæðisrör. Engar vökvaagnir skerast hver aðra heldur eru alltaf samsíða og flæðisrörið mun líkjast röri sem hefur alltaf sömu lögun. Vökvi sem kemur inn í annan endann á rörinu mun fara út úr rörinu í hinum endanum.
Skuldfærslu
Útrennsli gefur til kynna rúmmál vökva sem rennur í gegnum ákveðið þversnið á ákveðnu tímabili. Stærðfræðilega má tákna það á eftirfarandi hátt:
Til að auðvelda þér skilninginn skulum við taka dæmi. Segjum sem svo að vökvi flæði í gegnum pípu. Pípur eru venjulega sívalningslaga og hafa ákveðið þversniðsflatarmál. Pípan hefur einnig lengd.
Þegar vökvinn rennur í rörinu alla leið að L, þá er rúmmál vökvans í rörinu V = AL (V = rúmmál vökvans, A = þversniðsflatarmál og L = lengd rörsins). Þar sem vökvinn ferðast ákveðið tímabil meðan á flæði í rörinu stendur eftir L, þá getum við sagt að stærð vökvaútstreymisins sé:
Þar sem v = s/t = L/t —> L = vt, þá breytist jöfnan hér að ofan í:
Þannig, þegar vökvi rennur í gegnum pípu sem hefur ákveðið þversniðsflatarmál og lengd í ákveðið tímabil, er stærð vökvaútstreymisins (Q) jöfn þversniðsyfirborðsflatarmálinu (A) margfaldað með flæðihraða vökvans (v).
Samfelldnijafna
Skoðum vökvaflæðið í pípu með mismunandi þvermál, eins og sýnt er á myndinni hér að neðan.
Þessi mynd sýnir vökvaflæði frá vinstri til hægri (vökvi rennur úr pípu með stóru þvermáli yfir í pípu með litlu þvermáli). Punktalínurnar eru straumlínur.
Myndatexti: A1 = þversniðsflatarmál stórs pípuhluta, A2 = þversniðsflatarmál smærri pípuhluta, v1 = flæðishraði vökva í stórs pípuhluta, v2 = flæðishraði vökva í smærri pípuhluta, L = vegalengd vökvans.
Í inngangi að vökvafræði var útskýrt að í vökvafræði ræðum við um flæði vökva sem eru óþjappanlegir, seigfljótandi, óókyrrðar og stöðugir. Í stöðugum flæði er hraði vökvaagna á ákveðnum punkti sá sami og hraði annarra vökvaagna sem fara í gegnum þann punkt. Vökvastraumar skerast heldur ekki hvorn annan (straumlínurnar eru samsíða). Þess vegna verður massi vökvans sem fer inn í annan endann á rörinu að vera jafn massi vökvans sem fer út úr hinum endanum. Ef vökvi með ákveðinn massa fer inn í rör með stórum þvermál, þá mun vökvinn fara út úr rörinu með litlu þvermáli og fastan massa.
Skoðið nú myndina af pípunni hér að ofan. Skoðið þann hluta pípunnar sem er með stærra þvermál og þann hluta pípunnar sem er með minna þvermál.
Á ákveðnu tímabili rennur ákveðið magn af vökva í gegnum pípu með stóran þvermál (A).1) eins langt og L1 (L1 = v1 t). Rúmmál vökvans sem flæðir er V1 =A1 L1 =A1 v1 t. Á sama tímabili rennur annað magn af vökva í gegnum pípu með minni þvermál (A).2) eins langt og L2 (L2 = v2 t). Rúmmál vökvans sem flæðir er V2 =A2 L2 =A2 v2 t.
Samfelldnijafna fyrir óþjappanlega vökva (óþjappanlegt)
Fyrst skulum við skoða tilvik óþjappanlegs vökva. Í óþjappanlegum vökva er eðlisþyngd, eða massi, vökvans alltaf sú sama á hverjum stað sem hann fer í gegnum. Massi vökvans sem rennur í pípu með þversniðsflatarmál A1 ( stórt þvermál pípunnar) á ákveðnu tímabili er:
Á sama hátt er massi vökvans sem rennur í pípu með þversniðsflatarmál A2 ( lítill pípuþvermál) á ákveðnu tímabili:
Þar sem miðað er við að í stöðugu flæði er massi vökvans sem kemur inn sá sami og massi vökvans sem fer út, þá:
m1 = m2
ρ A 1 v 1 t = ρ A 2 v 2 t (þéttleiki vökvans og tímabilið eru þau sömu svo þau jafna út)
A 1 á móti 1 = A 2 á móti 2
Þannig að í óþjappanlegum vökvum gildir samfelldnijafnan:
A 1 v 1 = A 2 v 2 — Jafna 1
Upplýsingar:
A1 = þversniðsflatarmál 1, A2 = þversniðsflatarmál 2, v1 = vökvaflæðishraði við þversnið 1, v2 = vökvaflæðishraði við þversnið 2, Av = rúmmálsflæði V/t þ.e. útrennsli
Jafna 1 sýnir að rúmmálsrennslið, einnig þekkt sem útrennsli, er alltaf það sama á hverjum stað meðfram pípu eða flæðisröri. Þegar þversnið pípunnar minnkar, eykst vökvarennslið; öfugt, þegar þversnið pípunnar eykst, minnkar vökvarennslið.
Þegar við stíflum kranann að hluta til verður vatnsrennslið hraðara en þegar hann er að hluta til lokaður. Þetta er vegna þess að þversniðsflatarmál kranans minnkar þegar hann er að hluta til lokaður, sem eykur vatnsrennslið (vökvinn rennur hraðar). Hið sama á við um slöngur. Hins vegar er mikilvægt að hafa í huga að útrennslis- eða rúmmálsrennslið helst það sama á öllum stöðum meðfram vatnsrennslinu, hvort sem kraninn er að hluta til lokaður eða ekki. Það sem breytist er því vökvarennslið.
Hvað með vatnsrennslið í ánni? Dýpri hlutar árinnar eru með stærra þversnið en grynnri hlutar, þannig að vatnsrennslið í dýpri hlutum er lægra en í grynnri hlutum. Ef þú sérð mjög rólegt rennsli þýðir það að áin er djúp. En ef áin verður skyndilega hraðrennandi er sá hluti örugglega grunnur. Hins vegar er vatnsrennslið alltaf það sama, hvort sem er í djúpum eða rólegum hlutum árinnar.
Samfelldnijafna fyrir þjappanlegar vökvar (þjappanlegt)
Í tilviki þjappanlegra vökva er eðlisþyngd vökvans ekki alltaf sú sama. Með öðrum orðum breytist eðlisþyngd vökvans við þjöppun. Í óþjappanlegum vökva er eðlisþyngd vökvans sleppt úr jöfnunni, en í þessu tilfelli er eðlisþyngd vökvans samt sem áður innifalin. Með vísan til fyrri útleiddrar jöfnu skulum við leiða út jöfnuna fyrir þjappanlega vökva.
Þar sem miðað er við að í stöðugu flæði er massi vökvans sem kemur inn sá sami og massi vökvans sem fer út, þá:
m1 = m2
ρ A 1 v 1 t = ρ A 2 v 2 t
Tímabil vökvaflæðisins er það sama svo hægt er að útiloka það. Jafnan breytist í:
ρ A 1 v 1 = ρ A 2 v 2 → Jafna 2
Þetta er jafnan fyrir þjappanlegan vökva. Eini munurinn liggur í eðlisþyngd vökvans. Þegar vökvi er þjappaður breytist eðlisþyngd hans. Aftur á móti, þegar vökvi er óþjappanlegur, helst eðlisþyngd hans stöðug og hægt er að jafna hann út.
Dæmi um spurningu 1:
Vatn rennur í gegnum rör með 10 cm þvermál á hraðanum 2 m/s. Hver er vatnsrennslið?
Umræða
Það er vitað að:
Þvermál pípunnar = 10 cm (þetta er innra þvermál pípunnar)
Radíus pípunnar (r) = 5 cm = 0,05 m
v vatn = 2 m/s
Spurt: Debet
Svar:
Q = A v
Q = (πr² ) (2 m/s)
Q = (3,14)(0,05 m) ² (2 m/s)
Q = (3,14)(0,0025 m² ) (2 m/s)
Q = 0,0157 m³ / s
Dæmi um spurningu 2:
Vatnsrör með 20 cm þvermál er tengt við annað rör með 10 cm þvermál. Ef vatnsrennslishraðinn í rörinu sem er 20 cm þvermál = 4 m/s, hver er þá vatnsrennslishraðinn í rörinu sem er 10 cm þvermál?
Umræða
Það er vitað að:
Þvermál 1 = 20 cm (r1 = 10 cm = 0,1 m)
v² = 4 m/ s
Þvermál 2 = 10 cm (r2 = 5 cm = 0,05 m)
Spurt: útg . 1
Svar:
Q 1 = Q 2
A 1 á móti 1 = A 2 á móti 2
( π r 12 ) (4 m/s) = (π r 22 ) (v 2 )
(0,1 m) ² (4 m/s) = (0,05 m) ² ( v² )
(0,01 m² ) (4 m/s) = (0,0025 m² ) ( v² )
(0,04 m³ / s) = (0,0025 m² ) ( v² )
v² = 16 m/ s
