Dæmi um umræðuspurningu um afleiðu algebrufalls
Afleiðan í stærðfræðigreiningu er grundvallarhugtak sem notað er til að lýsa því hvernig fall breytist, eða hallatölu falls í punkti. Afleiður eru gagnlegar á ýmsum sviðum eins og eðlisfræði, hagfræði og verkfræði þar sem þær veita upplýsingar um breytingarhraða. Í þessari grein munum við ræða nokkur dæmi um afleiður algebrulegra falla og hvernig á að leysa þær.
Dæmi 1: Afleiða margliðufalls
Spurning: Gefið fallið \( f(x) = 3x^3 – 5x^2 + 2x – 7 \). Ákvarðið afleiðu fallsins!
Lausn:
Með því að nota grunnregluna um afleiður fyrir margliðuföll, þ.e. \(\frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1} \), reiknum við afleiðu hvers liðar fallsins, einn af öðrum.
\[
\begin{samræma}
f(x) &= 3x^3 – 5x^2 + 2x – 7 \\
f'(x) & = \frac{d}{dx}(3x^3) – \frac{d}{dx}(5x^2) + \frac{d}{dx}(2x) – \frac{d}{dx}(7) \\
f'(x) & = 3 ⋅ 3x^{3-1} – 5 ⋅ 2x^{2-1} + 2 ⋅ 1x^{1-1} – 0
f'(x) & = 9x^2 – 10x + 2.
\end{align}
\]
Þannig að afleiðan af \(f(x) = 3x^3 – 5x^2 + 2x – 7 \) er \(f'(x) = 9x^2 – 10x + 2 \).
Dæmi 2: Afleiða falls með brotaveldisvísum
Spurning: Ákvarðið afleiðu fallsins \( g(x) = x^{3/2} + x^{1/2} \).
Lausn:
Með því að nota sömu útleiðslureglu, þ.e. \(\frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1} \):
\[
\begin{samræma}
g(x) & = x^{3/2} + x^{1/2} \\
g'(x) & = \frac{d}{dx}(x^{3/2}) + \frac{d}{dx}(x^{1/2}) \\
g'(x) & = \frac{3}{2}x^{(3/2)-1} + \frac{1}{2}x^{(1/2)-1} \\
g'(x) & = ∫3/2x^{1/2} + ∫1/2}.
\end{align}
\]
Þannig að afleiðan af \(g(x) = x^{3/2} + x^{1/2} \) er \(g'(x) = \frac{3}{2}x^{1/2} + \frac{1}{2}x^{-1/2} \).
Dæmi 3: Afleiður veldisvísis- og þríhyrningsfalla
Spurning: Ákvarðið afleiðu fallsins \( h(x) = e^x \cdot \sin(x) \).
Lausn:
Til að leysa þessa afleiðu þurfum við margfeldisregluna, sem segir \((uv)' = u'v + uv'\). Segjum sem svo að \(u(x) = e^x \) og \(v(x) = \sin(x) \), þá:
\[
\begin{samræma}
u'(x) &= e^x, & \text{því afleiðan af } e^x \text{ er } e^x \\
v'(x) & = ∫cos(x), & því afleiðan af sin(x) er ∫cos(x).
\end{align}
\]
Að nota afleidda regluna fyrir vörur:
\[
\begin{samræma}
h'(x) & = (e^x ⋅sin(x))'
&= e^x ⋅(sin(x))' + ⋅sin(x) ⋅(e^x)'
& = e^x ⋅cos(x) + sin(x) ⋅e^x
& = e^x (cos(x) + sin(x)).
\end{align}
\]
Þannig að afleiðan af \(h(x) = e^x \sin(x) \) er \(h'(x) = e^x (cos(x) + \sin(x)) \).
Dæmi 4: Afleiða falls með keðjureglunni
Spurning: Ákvarðið afleiðu fallsins \( k(x) = (3x^2 – x + 4)^5 \).
Lausn:
Til að leysa þessa afleiðu þurfum við keðjuregluna, þ.e. \(\frac{d}{dx}[f(g(x))] = f'(g(x)) \cdot g'(x)\). Segjum sem svo að \( u(x) = 3x^2 – x + 4 \) og \( f(u) = u^5 \), þá:
\[
\begin{samræma}
k(x) & = (3x^2 – x + 4)^5 \\
u(x) & = 3x^2 – x + 4, & \text{svo} \\
k(x) & = f(u(x)) = u^5 \\
k'(x) & = 5u^4 ⋅ u'(x) \\
u'(x) & = \frac{d}{dx}(3x^2 – x + 4) \\
&= 6x – 1.
\end{align}
\]
Með því að nota keðjuregluna:
\[
\begin{samræma}
k'(x) & = 5(3x^2 – x + 4)^4 ⋅ (6x – 1)
&= 5(3x^2 – x + 4)^4 (6x – 1).
\end{align}
\]
Þannig að afleiðan af \(k(x) = (3x^2 – x + 4)^5 \) er \(k'(x) = 5 (3x^2 – x + 4)^4 (6x – 1) \).
Dæmi 5: Afleiða falls með þríhyrningsauðkennum
Spurning: Ákvarðið afleiðu fallsins \(m(x) = \sin(x) \cdot \cos(x) \).
Lausn:
Við munum nota afleiðuregluna fyrir margfeldi. Segjum sem svo að u(x) = sin(x) og v(x) = cos(x) þá:
\[
\begin{samræma}
u'(x) & = ∫cos(x), ∫
v'(x) & = -\sin(x).
\end{align}
\]
Að nota afleidda regluna fyrir vörur:
\[
\begin{samræma}
m'(x) & = (sin(x) ⋅ cos(x))'
&= (\sin(x))' ⋅cos(x) + \sin(x) ⋅(\cos(x))'
& = ∫cos(x)∫cos(x) + ∫sin(x)∫(-sin(x))
& = ∫cos^2(x) – ∫sin^2(x).
\end{align}
\]
Með því að nota þríhyrningsauðkennið \(\cos(2x) = \cos^2(x) – \sin^2(x)\):
\[
m'(x) = ∫cos(2x).
\]
Þannig að afleiðan af \(m(x) = \sin(x) \cdot \cos(x) \) er \(m'(x) = \cos(2x) \).
Niðurstaða
Afleiða algebrulegra falla er grundvallarhugtak í stærðfræðireikningi sem er mjög mikilvægt og gagnlegt í ýmsum tilgangi. Ýmsar afleiðureglur, svo sem grunnafleiðureglan, margfeldisreglan, keðjureglan og reglur fyrir hornafleiður, hjálpa allar við að reikna afleiður flóknari falla. Með því að skilja dæmin hér að ofan og æfa okkur í dæmum getum við bætt skilning okkar og færni í að reikna afleiður algebrulegra falla.
