Dæmi um þríhyrningsfræði og umræður
Hornafræði er grein stærðfræðinnar sem rannsakar samband horna og hliðarlengda í þríhyrningum. Að skilja grunnhugtök hornafræðinnar er mikilvægt í ýmsum tilgangi, allt frá eðlisfræði og verkfræði til stjörnufræði og landafræði. Í þessari grein munum við útskýra nokkur dæmi og útskýra þau ítarlega til að auðvelda skilning.
Dæmispurning 1: Að reikna út hliðar þríhyrnings með sínusaðferðinni
Spurning:
Gefið þríhyrning ABC, með hornið A = 30°, hornið B = 45° og hliðina b = 10 cm. Reiknið lengd hliðarinnar a.
Umræða:
Notaðu sinuslögmálið:
[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} \]
Sláðu inn þekkt gildi:
[\frac{a}{\sin 30°} = \frac{10}{\sin 45°} \]
Við vitum að:
\[ \sin 30° = \frac{1}{2} \]
[ \sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2} \]
Nú skaltu setja þessi gildi inn í jöfnuna:
\[ \frac{a}{\frac{1}{2}} = \frac{10}{\frac{\sqrt{2}}{2}} \]
Einfaldaðu jöfnuna:
\[ 2a = \frac{10 \cdot 2}{\sqrt{2}} \]
\[ 2a = \frac{20}{\sqrt{2}} \]
Rökstuddu nefnarann:
\[ 2a = \frac{20 \cdot \sqrt{2}}{2} \]
\[2a = 10\sqrt{2} \]
\[ a = 5\sqrt{2} \]
Þannig að lengd hliðarinnar a er 5 cm.
Dæmispurning 2: Útreikningur á hornum með kósínusaðferðinni
Spurning:
Þríhyrningur hefur hliðar a = 7 cm, b = 10 cm og c = 5 cm. Ákvarðið stærð hornsins C.
Umræða:
Notaðu kósínuslögmálið:
[c² = a² + b² – 2ab − C]
Sláðu inn þekkt gildi:
\[ 5^2 = 7^2 + 10^2 – 2 ⋅ 7 ⋅ 10 \cos C \]
Einfaldaðu jöfnuna:
\[ 25 = 49 + 100 – 140 \cos C \]
\[ 25 = 149 – 140 \cos C \]
Færðu 149 til vinstri:
\[ 25 – 149 = -140 \cos C \]
[-124 = -140 \cos C]
\[ \cos C = \frac{124}{140} \]
\[ \cos C = \frac{62}{70} \]
\[ \cos C = \frac{31}{35} \]
Notaðu reiknivél til að finna \( \cos^{-1} \) (öfuga kósínus):
\[ C \u.þ.b. \cos^{-1}\vinstri(\frac{31}{35}\hægri) \]
[C \u.þ.b. 25.84° \]
Þannig að stærð hornsins C er um 25.84°.
Dæmispurning 3: Að reikna út hæð og flatarmál þríhyrnings
Spurning:
Þríhyrningur hefur tvær hliðar sem eru a = 6 cm og b = 8 cm að lengd og hornið á milli þeirra er −₀ = 60°. Reiknið hæð og flatarmál þríhyrningsins.
Umræða:
1. Útreikningur á flatarmáli þríhyrnings:
Notaðu formúluna fyrir flatarmál þríhyrnings:
\[ \text{Flatarmál} = \frac{1}{2} ab \sin \theta \]
Sláðu inn þekkt gildi:
\[ \text{Flatarmál} = \frac{1}{2} 6 \cdot 8 \cdot \sin 60° \]
Við vitum að:
[ \sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2} \]
Svo:
\[ \text{Flatarmál} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \]
\[ \text{Flatarmál} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \]
\[ \text{Flatarmál} = 24 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \]
\[ \text{Flatarmál} = 12\sqrt{3} \]
Þannig að flatarmál þríhyrningsins er \( 12\sqrt{3} \) cm².
2. Að reikna út hæð þríhyrnings frá grunnpunkti a:
Til að reikna út hæð þríhyrnings, táknaðu hæðina sem h og notaðu flatarmálsformúluna:
\[ \text{Flatarmál} = \frac{1}{2} \times a \times h \]
\[ 12\sqrt{3} = \frac{1}{2} \times 6 \times h \]
\[ 12\sqrt{3} = 3 klst \]
\[h = \frac{12\sqrt{3}}{3} \]
\[h = 4\sqrt{3} \]
Þannig að hæð þríhyrningsins er 4 cm.
Dæmispurning 4: Að ákvarða hliðar rétthyrnds þríhyrnings
Spurning:
Í rétthyrndum þríhyrningi, með hornið _(\heta\) = 30° og samsíða hlið hornsins _(\heta\) er 5 cm, skal ákvarða lengd lágslæðunnar.
Umræða:
Notaðu þríhyrningshlutföllin fyrir 30° horn í rétthyrndum þríhyrningi:
\[ \sin \theta = \frac{\text{front}}{\text{hypotenuse}} \]
\[ \sin 30° = \frac{framhlið}{langhlið} = \frac{5}{langhlið} \]
Við vitum að:
\[ \sin 30° = \frac{1}{2} \]
Svo:
\[ \frac{1}{2} = \frac{5}{\text{suðlægur hliðlægur}} \]
\[ \text{hliðlægur} = 10 \]
Þannig að lengd lágslóðarinnar er 10 cm.
Dæmispurning 5: Útreikningur á hornum með þríhyrningsföllum
Spurning:
Ef \(\tan \theta = \frac{3}{4} \), reiknaðu þá stærð hornsins \(\theta\).
Umræða:
Með því að nota formúluna fyrir öfuga snertingu:
\[ \theta = \tan^{-1} \left(\frac{3}{4}\right) \]
Með hjálp reiknivélar:
[ θ \u.þ.b. 36.87° \]
Þannig að stærð hornsins \(\theta\) er um 36.87°.
Niðurstaða
Hríningafræði er víðtækt stærðfræðilegt hugtak sem hefur víðtæka notkun á ýmsum sviðum. Að skilja hvernig á að nota lögmál sínusar, kósínusar og annarra grunnfalla gerir okkur kleift að leysa fjölbreytt vandamál sem fela í sér þríhyrninga og horn. Með dæmunum hér að ofan er vonast til að lesendur öðlist dýpri skilning og geti beitt því í ýmsum aðstæðum sem krefjast skilnings á hríningafræði.
