Dæmi um spurningar um þríhyrningshlutföll
Hringjafræði er grein stærðfræðinnar sem rannsakar tengslin milli hliða og horna þríhyrninga. Einn mikilvægur þáttur í hringjafræði er að skilja hringjahlutföll, þar á meðal sínus (sin), kósínus (cos) og snertil (tan). Í þessari grein verður fjallað um nokkur dæmi um hringjahlutföll og ítarlegar útskýringar á þeim til að auðvelda ítarlegan skilning á grunnhugtökum hringjafræðinnar.
Dæmispurning 1: Útreikningur á gildum Sin, Cos og Tan
Spurning:
Nemandi er beðinn um að finna gildi sins, cos og tans hornsins ₀₀ í rétthyrndum þríhyrningi, ef lengd gagnstæðrar hliðar (gagnstæðs horns ₀₀) er 3 cm, lengd aðliggjandi hliðar (grunnhliðar) er 4 cm og lengd lágslægðarinnar er 5 cm.
Umræða:
Fyrsta skrefið er að bera kennsl á hverja hlið sem tengist gefnu horni. Eins og vitað er, í rétthyrndum þríhyrningi með hliðum klassískrar þríhyrnings pýþagórasar (3, 4, 5), getum við notað einfaldar þríhyrningsformúlur beint.
– Sínus (sin) er hlutfallið milli lengdar gagnstæðrar hliðar og lágsúlunnar.
\[
\sin(\theta) = \frac{\text{framhlið}}{\text{síðahlið}} = \frac{3}{5}
\]
– Kósínus (cos) er hlutfallið milli lengdar aðliggjandi hliðar og lágsíðunnar.
\[
\cos(\theta) = \frac{\text{aðliggjandi hlið}}{\text{suðlæga hliðin}} = \frac{4}{5}
\]
– Snertill (tan) er hlutfallið milli lengdar framhliðar og hliðar.
\[
\tan(\theta) = \frac{\text{framhlið}}{\text{hlið}} = \frac{3}{4}
\]
Þannig eru gildi þríhyrningshlutfallanna fyrir hornið _(_theta_):
\[
sin(\heta) = \frac{3}{5}, cos(\heta) = \frac{4}{5}, tan(\heta) = \frac{3}{4}
\]
Dæmispurning 2: Að finna hliðar þríhyrnings með því að nota þríhyrningshlutföll
Spurning:
Gefið er rétthyrndur þríhyrningur með horninu α = 30°. Ef lengd gagnstæðrar hliðar hornsins α er 4 cm, ákvarðið þá lengd hinnar hliðarinnar.
Umræða:
Með því að nota þríhyrningshlutfallsgildi fyrir hornið 30°C:
– \(\sin(30^\circ) = \frac{1}{2} \)
\[
\sin(30^\circ) = \frac{\text{framhlið}}{\text{langhlið}} = \frac{4}{\text{langhlið}}
\]
\[
Lágmarksstuðull = \frac{4}{\sin(30^\circ)} = \frac{4}{\frac{1}{2}} = 8 \text{ cm}
\]
– \(\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
\[
\cos(30^\circ) = \frac{\text{aðliggjandi hlið}}{\text{síða}} = \frac{\text{aðliggjandi hlið}}{8}
\]
\[
Hliðarhlið = 8 \cos(30^\circ) = 8 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3} \text{ cm}
\]
Þannig er lengd hinnar hliðarinnar 4 cm og lágsuðan er 8 cm.
Dæmi 3: Notkun þríhyrningsfræði í kartesískum hnitum
Spurning:
Ákvarðið gildi sin, cos og tan fyrir punktinn \(P(3, 4) \) í kartesískum hnitum ef punkturinn myndar horn \(\heta\) við jákvæða x-ásinn í fjórðungi I.
Umræða:
Fyrst skal reikna út fjarlægð punktsins \(P(3, 4)\) frá upphafspunktinum (O), sem er langhlið þríhyrningsins sem myndast.
– Hægt er að reikna út lágslægðina (\(r\)) með reglu Pýþagórasar:
\[
r = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5
\]
Þá er hægt að reikna út þríhyrningsfræði punktsins P á eftirfarandi hátt:
– Sínus (sin) er hlutfallið milli lóðhnita (y) og lághliðs (r):
\[
\sin(\heta) = \frac{y}{r} = \frac{4}{5}
\]
– Kósínus (cos) er hlutfallið milli abscissu (x) og lágsléttu (r):
\[
\cos(\heta) = \frac{x}{r} = \frac{3}{5}
\]
– Snerillinn (tan) er hlutfallið milli lóðhnitunnar (y) og abscissunnar (x):
\[
\tan(\heta) = \frac{y}{x} = \frac{4}{3}
\]
Þannig eru þríhyrningsgildin fyrir punktinn P:
\[
sin(\heta) = \frac{4}{5}, cos(\heta) = \frac{3}{5}, tan(\heta) = \frac{4}{3}
\]
Dæmispurning 4: Notkun þríhyrningsauðkenna
Spurning:
Ef \( \sin(\heta) = \frac{3}{5} \), finndu þá gildi \( \cos(\heta) \) með því að nota hornrétta samsvörunina \( \sin^2(\heta) + \cos^2(\heta) = 1 \).
Umræða:
Við byrjum með grunn þríhyrningsauðkenni:
\[
sin^2(θ) + cos^2(θ) = 1
\]
Gefið að (sin(θ) = (3/5)) þá:
\[
\sin^2(\theta) = \left(\frac{3}{5}\right)^2 = \frac{9}{25}
\]
\[
sin^2(θ) + cos^2(θ) = 1
\]
\[
\frac{9}{25} + \cos^2(\heta) = 1
\]
\[
\cos^2(\heta) = 1 – \frac{9}{25} = \frac{25}{25} – \frac{9}{25} = \frac{16}{25}
\]
\[
\cos(\heta) = \pm \sqrt{\frac{16}{25}} = \pm \frac{4}{5}
\]
Gildi \(\cos(\heta) \) getur verið jákvætt eða neikvætt eftir því í hvaða fjórðungi hornið \(\heta\) er. En fyrir þetta vandamál, án skýrrar skilgreiningar á fjórðungi, notum við \(\cos(\heta) = \frac{4}{5}\) fyrir fjórðung I eða \(-\frac{4}{5}\) fyrir fjórðunga II, III eða IV.
Niðurstaða
Að skilja hlutföll þríhyrninga er lykilatriði til að leysa ýmis vandamál sem fela í sér horn og lengd í þríhyrningum. Með því að æfa þig í að leysa vandamál eins og það sem lýst er hér að ofan geturðu bætt hæfni þína til að reikna út og skilja tengslin milli hliða og horna í þríhyrningum. Þríhyrningsfræði er ekki aðeins notuð í hreinni stærðfræði heldur einnig á ýmsum sviðum vísinda eins og eðlisfræði, verkfræði og stjörnufræði. Góða æfingu!
