Dæmispurningar um skammtafræði Plancks
Skammtakenning Plancks markaði tímamót í nútíma eðlisfræði og gjörbylti skilningi okkar á svarthlutageislun og skammtafræði. Þessi kenning, sem Max Planck kynnti árið 1900, hjálpar til við að útskýra fyrirbæri sem klassísk eðlisfræði gat ekki útskýrt. Þessi grein fjallar um skammtakenningu Plancks með því að ræða dæmi um vandamál, allt frá grunnhugtökum til notkunar.
Bakgrunnur skammtafræði Plancks
Áður en rætt er um dæmið er mikilvægt að skilja bakgrunn skammtafræði Plancks. Seint á 19. öld stóð klassísk eðlisfræði frammi fyrir mikilli áskorun við að útskýra litróf svartholsgeislunar. Svartholsgeislun er rafsegulgeislun sem geislar frá hlutum við ákveðið hitastig.
Klassísk eðlisfræði, sem byggði lögmál Rayleigh-Jeans, spáði því að geislunarorka myndi aukast óendanlega við háar tíðnir, þekkt sem „útfjólubláa hörmungin“. Þetta var þar sem Max Planck kom með byltingarkennda lausn: hann lagði til að orka væri gefin út eða frásoguð í stakkreiddum pökkum sem kallast „kvanta“.
Grunnformúla skammtafræði Plancks
Grunnformúlan fyrir skammtaorku samkvæmt kenningu Plancks er:
\[ E = h \nu \]
Hvar:
– \(E \) er orka skammtapakkans (einnig kallað skammtafræði),
– \(h \) er Plancks fasti (\(6.626 \times 10^{-34} \, \text{Js}\)),
– \( \nu \) er geislunartíðnin.
Dæmi um spurningar og umræður
Spurning 1: Útreikningur á skammtaorku
Spurning:
Ljóseindin hefur tíðnina 5 x 10^{14}, Hz). Reiknið orku ljóseindarinnar samkvæmt kenningu Plancks.
Umræða:
Það er vitað:
– Tíðni (\nu = 5 × 10^14, \text{Hz})
– Plancks fasti (h = 6.626 × 10⁻⁴, Js)
Með því að nota skammtaorkuformúlu Plancks:
\[ E = h \nu \]
[E = (6.626 × 10⁻⁴, Js) × (5 × 10⁻⁴, Hz)]
\[ E = 3.313 \times 10^{-19} \, \text{J} \]
Þannig að orka ljóseindarinnar er (3.313 × 10⁻⁹, J).
Spurning 2: Tengslin milli bylgjulengdar og orku
Spurning:
Ákvarðið orku ljóseinda sem hefur bylgjulengdina 600, nm.
Umræða:
Það er vitað:
– Bylgjulengd (lambda = 600, nm = 600 x 10⁻⁹, m)
– Ljóshraði (c = 3 x 10⁻⁶, m/s)
– Plancks fasti (h = 6.626 × 10⁻⁴, Js)
Fyrst þurfum við að finna tíðnina \( \nu \) með því að nota sambandið milli bylgjulengdar og tíðni:
\[ \nu = \frac{c}{\lambda} \]
[\nu = \frac{3 \times 10^{8} \, \text{m/s}}{600 \times 10^{-9} \, \text{m}}]
\[ \nu = 5 \times 10^{14} \, \text{Hz} \]
Nú getum við notað skammtaorkuformúlu Plancks:
\[ E = h \nu \]
[E = (6.626 × 10⁻⁴, Js) × (5 × 10⁻⁴, Hz)]
\[ E = 3.313 \times 10^{-19} \, \text{J} \]
Þannig að orka ljóseinda með bylgjulengdina 600 nm er (3.313 x 10⁻⁹ J).
Spurning 3: Orka tengd geislun svartra hluta
Spurning:
Svartur hlutur er við hitastig upp á 3000 K. Hver er hámarkstíðni geislunar sem hluturinn gefur frá sér?
Umræða:
Það er vitað:
– Hitastig (T = 3000, K)
– Fasti Boltzmanns (k = 1.38 × 10⁻⁴, J/K)
Samkvæmt lögmáli Wiens er hámarksbylgjulengd \( \lambda_{\text{max}} \) svartholsgeislunar gefin með:
\[ \lambda_{\text{max}} T = 2.898 \times 10^{-3} \, \text{mK} \]
Þannig að:
[\lambda_{\text{max}} = \frac{2.898 \times 10^{-3} \text{m K}}{3000 \text{K}} \]
[\lambda_{\text{max}} = 9.66 × 10^{-7} \, \text{m} \]
Til að finna hámarkstíðnina \( \nu_{\text{max}} \) notum við:
\[ \nu_{\text{max}} = \frac{c}{\lambda_{\text{max}}} \]
[\nu_{\text{max}} = \frac{3 \times 10^{8} \text{m/s}}{9.66 \times 10^{-7} \text{m}}]
\[ \nu_{\text{max}} \u.þ.b. 3.10 \times 10^{14} \, \text{Hz} \]
Þannig er hámarkstíðni geislunarinnar sem svartur hlutur framleiðir við hitastigið 3000 K um það bil 3.10 x 10⁻⁴, Hz).
Spurning 4: Dreifing geislunarorku
Spurning:
Reiknið heildargeislunarorkuna sem svartur hlutur gefur frá sér á hverja yfirborðseiningu við hitastigið 5000 K.
Umræða:
Það er vitað:
– Hitastig (T = 5000, K)
– Stefan-Boltzmann fasti (sigma = 5.67 × 10⁻⁶, W/m² K⁻⁴)
Formúlan fyrir dreifingu heildargeislunarorku sem svartur hlutur gefur frá sér er:
\[ E = \sigma T^4 \]
[E = (5.67 × 10⁻⁶, W/m² K⁻⁴) × (5000, K)⁻⁴]
[E = 5.67 × 10⁻⁶ × 625 × 10⁻⁶]
[E \u.þ.b. 3.54375 \times 10^7 \, \text{W/m}^2 \]
Þannig er heildargeislunarorkan sem svartur hlutur gefur frá sér við hitastigið 5000 K \( 3.54375 \times 10^{7} \, \text{W/m}^2 \).
Niðurstaða
Skammtafræði Plancks leggur mikilvægan grunn að nútíma eðlisfræði, þar sem við skiljum hvernig orka losnar og frásogast í formi skammta. Með því að nota grunnformúluna (E = h) getum við reiknað út ýmsar mikilvægar upplýsingar, þar á meðal orku ljóseinda, tíðni og bylgjulengd rafsegulgeislunar og orkudreifingu geislunar frá svörtum hlut. Þessi rannsókn braut ekki aðeins mörk klassískrar eðlisfræði heldur ruddi einnig brautina fyrir þróun skammtafræði og ýmissa tækninýjunga.
