Dæmi um umræðuspurningu um hringjöfnu
Hringjöfnur eru mikilvægt efni í greiningarrúmfræði. Góð skilningur á hringjöfnum er afar gagnlegur, ekki aðeins í stærðfræði heldur einnig í ýmsum verkfræði- og vísindalegum tilgangi. Í þessari grein munum við ræða nokkur dæmi um hringjöfnur og lausnir þeirra. Markmiðið er að veita skýra og ítarlega yfirsýn yfir hvernig á að leysa vandamál sem fela í sér hringjöfnur.
Almenn jafna hrings
Algengasta jafna hrings í kartesískum hnitum er:
\[ (x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2 \]
Hvar:
– \( (a, b) \) eru hnit miðju hringsins.
– \(r \) er radíus hringsins.
Ef miðja hringsins er í punktinum \( (0, 0) \), þá verður jafna hringsins:
\[ x^2 + y^2 = r^2 \]
Nú skulum við ræða nokkur dæmi um spurningar og lausnir þeirra.
Dæmi um spurningu 1
Spurning: Ákvarðið jöfnu hrings sem hefur miðpunkt í punktinum (3, -2) og radíus 5.
Lausn:
Notaðu almennu formúluna fyrir jöfnu hrings:
\[ (x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2 \]
Setjið inn gildin \(a = 3 \), \(b = -2 \) og \(r = 5 \):
\[ (x – 3)^2 + (y + 2)^2 = 5^2 \]
\[ (x – 3)^2 + (y + 2)^2 = 25 \]
Þannig að jafna hringsins er:
\[ (x – 3)^2 + (y + 2)^2 = 25 \]
Dæmi um spurningu 2
Spurning: Ákvarðið jöfnu hrings þar sem miðjan er í upphafi (0, 0) og radíusinn er 7.
Lausn:
Þar sem miðja hringsins er í upphafspunktinum getum við notað einföldu jöfnuna:
\[ x^2 + y^2 = r^2 \]
Settu gildið \(r = 7 \) inn:
\[ x^2 + y^2 = 7^2 \]
\[x^2 + y^2 = 49 \]
Þannig að jafna hringsins er:
\[x^2 + y^2 = 49 \]
Dæmi um spurningu 3
Spurning: Ákvarðið jöfnu hrings þar sem miðpunkturinn er í punktinum (4, -5) og snertir Y-ásinn.
Lausn:
Hringur sem snertir Y-ásinn þýðir að fjarlægðin frá miðju hringsins að Y-ásnum er jöfn radíus hans. Þessi fjarlægð er algildi X-hnitsins fyrir miðju hringsins. Þannig er radíusinn 4.
Notaðu almennu formúluna fyrir jöfnu hrings:
\[ (x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2 \]
Setjið inn gildin \(a = 4 \), \(b = -5 \) og \(r = 4 \):
\[ (x – 4)^2 + (y + 5)^2 = 4^2 \]
\[ (x – 4)^2 + (y + 5)^2 = 16 \]
Þannig að jafna hringsins er:
\[ (x – 4)^2 + (y + 5)^2 = 16 \]
Dæmi um spurningu 4
Spurning: Hringur hefur jöfnuna \(x^2 + y^2 – 6x + 4y – 12 = 0 \). Ákvarðið miðju og radíus hringsins.
Lausn:
Til að leysa þessa jöfnu þurfum við að breyta henni í staðlað form \( (x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2 \). Skrefin til að klára hana eru eftirfarandi:
1. Flokkun og lausn fullkominna ferninga:
Upphafsjafnan er:
\[ x^2 + y^2 – 6x + 4y – 12 = 0 \]
Hópurinn \(x \) og \(y \):
\[ (x^2 – 6x) + (y^2 + 4y) = 12 \]
2. Leysið fullkomna ferhyrninginn:
Fyrir \(x^2 – 6x \):
\[ x^2 – 6x + 9 \]
Fyrir (y² + 4y):
\[ y^2 + 4y + 4 \]
Leggjum 9 og 4 saman við báðar hliðar jöfnunnar:
\[ (x^2 – 6x + 9) + (y^2 + 4y + 4) = 12 + 9 + 4 \]
\[ (x – 3)^2 + (y + 2)^2 = 25 \]
Þannig að jafna hringsins á staðalformi er:
\[ (x – 3)^2 + (y + 2)^2 = 25 \]
Héðan sjáum við að miðja hringsins er \( (3, -2) \) og radíusinn er \( r = \sqrt{25} = 5 \).
Dæmi um spurningu 5
Spurning: Ákvarðið jöfnu hringsins sem fer í gegnum punktana (2, 3) og (4, 5) og hefur miðpunktinn x = 3.
Lausn:
Af spurningunni vitum við að miðja hringsins er (3, b). Hringurinn fer einnig í gegnum tvo þekkta punkta. Þar sem hringurinn fer í gegnum (2, 3) er fjarlægðin frá miðjunni að þessum punkti radíusinn.
Jafna hrings er:
\[ (x – 3)^2 + (y – b)^2 = r^2 \]
Skiptipunktur (2, 3):
\[ (2 – 3)^2 + (3 – b)^2 = r^2 \]
\[ 1 + (3 – b)^2 = r^2 \]
\[ (3 – b)^2 = r^2 – 1 \]
Skiptipunktur (4, 5):
\[ (4 – 3)^2 + (5 – b)^2 = r^2 \]
\[ 1 + (5 – b)^2 = r^2 \]
\[ (5 – b)^2 = r^2 – 1 \]
Af jöfnunum tveimur vitum við að (3 – b)^2 = (5 – b)^2. Þannig að:
\[3 – b = \pm(5 – b) \]
Ef \(3 – b = 5 – b \), þá getur niðurstaðan ekki verið sönn. Þannig að:
\[ 3 – b = -(5 – b) \]
\[b = 4 \]
Með b = 4 er jafna hringsins:
\[ (x – 3)^2 + (y – 4)^2 = 2 \]
Hins vegar getum við reiknað radíusinn r út frá fjarlægðinni milli miðjunnar og punktsins (2, 3) = \(\sqrt{(2 – 3)^2 + (3 – 4)^2} \) = \(\sqrt{1+1}\) = \(\sqrt {2}\)
Jafna hringsins er:
\[ (x – 3)^2 + (y – 4)^2 = 2 \]
Niðurstaða
Að skilja jöfnu hrings getur einfaldað lausn margra stærðfræðidæma. Í hverju tilviki er mikilvægt að bera kennsl á miðju og radíus. Vonandi veita þessi dæmi og útskýringar á þeim skýringar og hjálpa þér að læra jöfnu hrings. Æfingin skapar meistarann í stærðfræði, svo ekki hika við að prófa ýmis dæmi til að bæta færni þína.
