Dæmi um umræðuspurningu um væntanlegt gildi normaldreifingar
Normaldreifingin, einnig þekkt sem Gauss-dreifing, er ein algengasta samfellda líkindadreifingin í tölfræði og líkindafræði. Þessi dreifing er oft notuð sem grunnforsenda í ýmsum tölfræðilegum ályktunum vegna hagstæðra stærðfræðilegra eiginleika hennar, svo sem samhverfu og einstakrar stærðfræðilegrar eiginleika hennar í stikun með meðaltali (µ) og staðalfráviki (σ). Í þessari grein verða dæm og væntanleg gildi normaldreifingarinnar rædd til að veita dýpri skilning á þessu hugtaki.
Að skilja normaldreifingu
Normaldreifingin er sýnd með samhverfri bjöllukúrfu, þar sem flest gildi eru einbeitt í kringum miðgildið, eða meðaltalið. Innan þessarar dreifingar eru meðaltalið (µ) og staðalfrávikið (σ) tveir mikilvægir þættir sem ákvarða staðsetningu og magn dreifingar í gögnunum.
Líkindaþéttleikafallið (PDF) fyrir normaldreifinguna er:
\[f(x) = \frac{1}{\sqrt{2π\sigma^2}} e^{-\frac{(x – μ)^2}{2π\sigma^2}}\]
Hvar:
– \( \mu \) er meðaltal eða meðaltal
– \( \sigma \) er staðalfrávikið
– \(x \) er handahófsbreyta
Vænt gildi í normaldreifingu
Vænt gildi handahófsbreytu með normaldreifingu er jafnt meðaltali dreifingarinnar. Ef \( X \sim N(\mu, \sigma^2) \), þá er vænt gildi \( E(X) \):
[E(X) = μ]
Við skulum halda áfram með nokkur dæmi um vandamál varðandi væntanleg gildi í normaldreifingum til að styrkja skilning okkar.
Dæmi um spurningar og umræður
Dæmi um spurningu 1:
Gerum ráð fyrir að \(X \) sé normaldreifð slembibreyta með \(\mu = 50 \) og \(\sigma = 10 \). Reiknið út væntigildi \(X \).
Umræða:
Eins og áður hefur komið fram, í normaldreifingu er væntigildið \(E(X) \) jafnt \(\mu \). Þannig,
\[ E(X) = μ = 50 \]
Dæmi um spurningu 2:
Gefin er að slembibreytan Y sé normaldreifð með (μ = 120) og (sigma = 15). Finnið væntigildi Y.
Umræða:
Líkt og í fyrra dæminu er væntanlegt gildi \(Y \) miðgildið eða meðaltal normaldreifingarinnar, þ.e.:
\[ E(Y) = μ = 120 \]
Dæmi um spurningu 3:
Ef slembibreytan \(Z \) fylgir normaldreifingu með \(\mu = 0 \) og \(\sigma = 1 \) (staðlað normaldreifing), hvert er væntigildi \(Z \)?
Umræða:
Staðlaða normaldreifingin hefur meðaltal \( \mu = 0 \), þannig að væntanlegt gildi \( E(Z) \) er:
\[ E(Z) = μ = 0 \]
Dæmi um spurningu 4:
Segjum sem svo að \(W \) sé normaldreifð slembibreyta með meðaltal \(\mu = 75 \) og staðalfrávik \(\sigma = 20 \). Ef við skilgreinum nýja slembibreytu \(V = 2W + 3 \), hvert er væntigildi \(V \)?
Umræða:
Til að finna væntanlegt gildi V þurfum við að nota línuleikaeiginleika væntanlegs gildis. Gefið að V = 2W + 3 þá:
\[ E(V) = E(2W + 3) \]
Byggt á línuleikaeiginleika væntanlegs gildis getum við aðskilið fastann frá handahófsbreytunni:
\[ E(V) = 2E(W) + E(3) \]
Vitandi að væntanlegt gildi fastans er fastinn sjálfur:
\[ E(3) = 3 \]
Og væntanlegt gildi \( W \) er meðaltal normaldreifingarinnar \( W \):
\[ E(W) = μ = 75 \]
Svo,
\[ E(V) = 2 \times 75 + 3 \]
\[ E(V) = 150 + 3 \]
\[ E(V) = 153 \]
Dæmi um spurningu 5:
Slembibreytan Q fylgir normaldreifingu með meðaltali (μ = 40) og staðalfráviki (ρ = 5). Hvert er væntanlegt gildi Q ef U = Q/2?
Umræða:
Við notum sömu meginreglu og í dæmi 4, þ.e. línuleikaeiginleikann fyrir væntanlegt gildi. Miðað við að \( U = Q/2 \), þá:
[E(U) = E(Q/2)]
Byggt á línuleikaeiginleika væntanlegs gildis:
[E(U) = \frac{1}{2} E(Q) \]
Við vitum að væntanlegt gildi \(Q \) er meðaltal normaldreifingarinnar \(Q \):
\[ E(Q) = μ = 40 \]
Svo,
[E(U) = \frac{1}{2} \times 40 \]
\[ E(U) = 20 \]
Niðurstaða
Í normaldreifingu er væntanlegt gildi handahófsbreytu alltaf jafnt meðaltali (µ) dreifingarinnar. Dæmin hér að ofan sýna fram á ýmsar aðstæður til að reikna væntanlegt gildi með línuleikaeiginleikum. Að skilja þetta grunnhugtak auðveldar að takast á við normaldreifingarvandamál í tölfræði og líkindum.
Normaldreifingin er mikilvæg í tölfræði því hún er notuð í fjölbreyttum hagnýtum tilgangi, þar á meðal tilgátuprófunum, mati á breytum og ýmsum öðrum tölfræðilegum ályktunum. Góð skilningur á væntanlegu gildi þessarar dreifingar er mikilvægt fyrsta skref í gagnagreiningu.
Vonandi veitir þessi grein skýra og gagnlega útskýringu á væntanlegu gildi í normaldreifingu ásamt viðeigandi dæmispurningum og umræðum.
