Dæmispurningar um væntanlegt gildi tvíliðadreifingarinnar
Tvíliðadreifing er stakræn dreifing sem oft er notuð í tölfræði til að lýsa líkum á gefnum fjölda árangurs í fjölda sjálfstætt framkvæmdra tilrauna. Þessi dreifing er mjög gagnleg á ýmsum sviðum, svo sem hagfræði, líffræði og félagsvísindum. Eitt mikilvægt hugtak sem þarf að skilja í tvíliðadreifingu er væntanlegt gildi. Þessi grein fjallar um hugtakið væntanlegt gildi í tvíliðadreifingu með nokkrum dæmum og umfjöllun um þau.
Skilgreining á tvíliðadreifingu
Tvíliðudreifingin lýsir fjölda árangurs í \(n \) tilraunum sem hafa tvær mögulegar útkomur: árangur eða mistök. Þessi dreifing einkennist af tveimur meginþáttum:
– \(n \): fjöldi tilrauna
– \(p \): líkur á árangri í einni tilraun
Þessi dreifing er oft táknuð sem B(n, p). Líkindamassafallið (PMF) tvíliðudreifingarinnar er:
\[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{nk} \]
þar sem \( \binom{n}{k} \) er tvíliðastuðullinn, sem er reiknaður sem:
\[ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(nk)!} \]
Vænt gildi í tvíliðadreifingu
Vænt gildi tvíliðudreifingar er meðalfjöldi árangurs í \(n \) tilraunum og er sett fram sem:
\[ E(X) = n \times p \]
Dæmi um spurningar og umræður
Dæmi um spurningu 1
Spurning:
Segjum sem svo að rannsakandi framkvæmi tilraun þar sem hann plantar 10 plöntum, hverri með 0.7 líkum á vexti. Hver er væntanlegur fjöldi plöntum sem munu vaxa?
Umræða:
Það er vitað:
– \(n = 10 \)
– \(p = 0.7 \)
Vænt gildi, \(E(X) \), er reiknað sem:
\[ E(X) = n \times p \]
\[ E(X) = 10 \times 0.7 \]
\[ E(X) = 7 \]
Þannig að væntanlegt gildi fjölda fræja sem vaxa er 7 fræ.
Dæmi um spurningu 2
Spurning:
Í prófi eru líkurnar á að nemandi svari öllum spurningum rétt 0.8. Ef það eru 15 spurningar í prófinu, hver er þá væntanlegur fjöldi réttra svara?
Umræða:
Það er vitað:
– \(n = 15 \)
– \(p = 0.8 \)
Vænt gildi, \(E(X) \), er reiknað sem:
\[ E(X) = n \times p \]
\[ E(X) = 15 \times 0.8 \]
\[ E(X) = 12 \]
Þannig að væntanlegt gildi fjölda réttra svara er 12 spurningar.
Dæmi um spurningu 3
Spurning:
Prentsmiðja framleiðir pappírsblöð með líkum á 0.02 göllum. Á einum virkum degi framleiðir verksmiðjan 500 blöð. Hver er væntanlegur fjöldi gallaðra blaða á einum degi?
Umræða:
Það er vitað:
– \(n = 500 \)
– \(p = 0.02 \)
Vænt gildi, \(E(X) \), er reiknað sem:
\[ E(X) = n \times p \]
\[ E(X) = 500 \times 0.02 \]
\[ E(X) = 10 \]
Þannig að væntanlegt gildi fjölda gallaðra arka á einum degi er 10 blöð.
Útvíkkun hugtaka í skilningi
1. Dreifni og staðalfrávik:
Auk væntanlegs gildis er einnig mikilvægt að skilja dreifni og staðalfrávik tvíliðadreifingarinnar. Dreifni tvíliðadreifingarinnar er formúluð sem:
\[ \text{Varu}(X) = n \times p \times (1 – p) \]
Staðalfrávikið er kvaðratrótin af dreifninni:
\[ \text{SD}(X) = \sqrt{n \times p \times (1 – p)} \]
2. Umsókn í tölfræðiprófum:
Í fræðilegum prófum eða prófum er hægt að nota væntanlegar einkunnir til að mæla væntanlega meðaleinkunn nemanda eða hóps nemenda, sem aðstoðar við greiningu á námskrám og mat á kennsluáranguri.
3. Dæmisögur í faraldsfræði:
Til dæmis, í rannsókn á smitdreifingu sjúkdóma, er hægt að líkja líkum á bata sjúklings með tvíliðudreifingu. Þekking á væntanlegu gildi gerir heilbrigðisstarfsfólki kleift að skipuleggja nauðsynleg læknisfræðileg úrræði út frá spáðum fjölda bata sjúklinga.
Niðurstaða
Tvíliðudreifing er mikilvægt verkfæri í tölfræði sem hjálpar til við að lýsa líkum á árangri í röð tilrauna. Vænt gildi tvíliðudreifingarinnar er lykilhugtak sem lýsir meðalfjölda væntanlegra árangurs. Með dæmunum sem rædd eru getum við séð hvernig vænt gildi er reiknað og notað í ýmsum samhengjum. Góð skilningur á þessu hugtaki gerir vísindamönnum og sérfræðingum kleift að gera betri áætlanir og taka upplýstari ákvarðanir byggðar á líkindafræðilegum gögnum.
Tvíliðudreifingin er ekki aðeins mikilvæg í líkindafræði og tölfræði heldur einnig mjög viðeigandi í ýmsum hagnýtum tilgangi. Þess vegna veitir nám í þessari dreifingu og hugtakinu væntanlegt gildi traustan grunn í gagnagreiningu og ákvarðanatöku.
