Dæmi um spurningar um framkallað segulsvið
Segulsvið sem framkallað er eru mikilvægt efni í eðlisfræði, sérstaklega í samhengi við rafsegulfræði. Þetta fyrirbæri á sér stað þegar breytilegt segulsvið framkallar rafhreyfikraft (EMF) eða spennu í leiðara. Þessi grein mun fara yfir nokkur dæmi um vandamál og veita ítarlega umfjöllun um framkallað segulsvið til að dýpka skilning okkar á þessu hugtaki.
Að skilja framkallaða segulsviði
Áður en við förum ofan í dæmið er gagnlegt að skilja fyrst grunnhugtakið um framkallaða segulsviði. Lögmál Faradays um rafsegulvirkni er grundvöllur þessa fyrirbæris. Þetta lögmál segir að breyting á segulflæði yfir leiðandi lykkju muni framleiða rafsegulmögnun (EMF). Stærðfræðiformúlan fyrir lögmál Faradays er:
\[ \mathcal{E} = -\frac{d\Phi_B}{dt} \]
Hvar:
– \( \mathcal{E} \) er örvaður rafhreyfikraftur (EMF).
– \( \Phi_B \) er segulflæðið.
– \(t \) er tími.
Neikvæða talan í jöfnunni hér að ofan gefur til kynna stefnu örvuðu rafsegulsviðsins samkvæmt lögmáli Lenz, sem segir að örvuð rafsegulsvið hafi tilhneigingu til að vinna gegn breytingunni á segulflæði sem veldur henni.
Dæmi um spurningar og umræður
Dæmi 1: Straumleiðandi rafsegulrofi
Spurning:
Langur rafsegulrofi hefur 500 snúninga og er 0,5 metra langur. Ef straumurinn í gegnum rafsegulrofann breytist úr 0 A í 2 A á 0,2 sekúndum og þversniðsflatarmál rafsegulrofans er (2 x 10⁻⁴ m²), reiknaðu þá rafsegulkraftinn sem myndast.
Umræða:
Til að leysa þetta vandamál þurfum við segulflæðisformúluna fyrir rafsegulrofa og lögmál Faradays.
Segulflæðið \( \Phi_B \) í gegnum rafsegul er:
\[ \Phi_B = B \cdot A \]
Hvar:
– \(B \) er segulsviðið í rafsegulrofanum.
– \(A \) er þversniðsflatarmál rafsegulsins.
Segulsviðið \(B \) í rafsegul er skilgreint með:
[B = μ₀ n I]
Hvar:
– \( \mu_0 \) er lofttæmisgegndræpi \( (4\pi \times 10^{-7} \ \text{T}\cdot \text{m} / \text{A} \) \).
– \(n \) er fjöldi snúninga á lengdareiningu, \(n = \frac{N}{l} \), þar sem \(N \) er fjöldi snúninga og \(l \) er lengd rafsegulsins.
– \(I \) er straumurinn í gegnum rafsegulrásina.
Úr spurningunni:
– \(N = 500 \)
– \( l = 0,5 \ \text{m} \)
– \( A = 2 × 10^{-4} \ \text{m}^2 \)
– \( \DeltaI = 2 \ \text{A} \)
– \( \Δt = 0,2 \ \text{s} \)
Fyrst skaltu reikna út \(n \):
\[ n = \frac{N}{l} = \frac{500}{0,5} = 1000 \ \text{beygjur/m} \]
Reiknið síðan út breytinguna á segulsviðinu \(B \):
[ΔB = μ₀ n ΔI = (4π x 10⁻⁷) 1000 2 = 8π x 10⁻⁷ 4 T = 2,512 x 10⁻⁷ 3 T]
Breyting á segulflæði \(ΔPhi_B \):
[ΔPhiB = ΔB ΔA = 2,512 × 10⁻³ 2 × 10⁻³ = 5,024 × 10⁻³ Wb]
Notaðu nú lögmál Faradays til að ákvarða örvuðu rafsegulbylgjuna:
\[ \mathcal{E} = -\frac{\Delta \Phi_B}{\Delta} = -\frac{5,024 \times 10^{-7}}{0,2} = -2,512 \times 10^{-6} \ \text{V} = -2,512 \mu\text{V} \]
Þannig að framkallaða rafsegultaflið sem myndast er \(-2,512 \ \mu\text{V}\).
Dæmi um vandamál 2: Lykkjurás í breytilegu segulsviði
Spurning:
Hringlaga lykkja með 0,1 metra radíus er sett í einsleitt segulsvið sem breytist úr 0,5 T í 0 á 0,1 sekúndu. Reiknið út örvuðu rafsegulmáttarkraftinn í lykkjunni.
Umræða:
Líkt og í fyrri dæminu munum við nota lögmál Faradays. Fyrst munum við reikna út breytinguna á segulflæðinu.
Flatarmál hrings \(A \):
[A = π r^2 = π (0,1)^2 = π × 10^{-2} \ m^2 = π × 10^{-2} \u.þ.b. 3,14 × 10^{-2} \ m^2 \]
Breyting á segulflæði \(ΔPhi_B \):
[ΔPhiB = ΔB ΔA = (0 – 0,5) 3,14 × 10⁻² = -0,5 3,14 × 10⁻² = -1,57 × 10⁻² Wb]
Innleidd rafsegult veldur (e. EMF):
[E = -ΔπΔπB/Δt = -Δπ ...
Dæmi 3: Snúningsdiskur í segulsviði
Spurning:
Diskur með radíus 0,2 metra snýst í lóðréttu plani með hornhraða 10 rad/s í láréttu segulsviði 0,3 T. Reiknið út örvuðu rafsegulsviði (e. rafsegulmögnun) milli miðju og brúnar disksins.
Umræða:
Í þessu tilviki notum við hugtakið rafsegulfræðileg innleiðsla á snúningsdiski, þekkt sem Faraday-örvuð rafsegulmáttur.
Innleidd rafsegultruflanir (EMF) á snúningsdiski eru gefnar með:
\[ \mathcal{E} = \frac{1}{2} B \omega r^2 \]
Hvar:
– \(B \) er segulsviðið.
– \( \omega \) er hornhraðinn.
– \(r \) er radíus disksins.
Settu gildin úr dæminu inn í staðinn:
\[ B = 0,3 \ \text{T} \]
[ómega = 10 rad/s]
\[ r = 0,2 \ \text{m} \]
Reiknaðu út örvuðu rafsegulsviðinu (e. electrical power):
[\mathcal{E} = \frac{1}{2} \cdot 0,3 \cdot 10 \cdot (0,2)^2 = \frac{1}{2} \cdot 0,3 \cdot 10 \cdot 0,04 = 0,6 × 0,04 = 0,024 \\text{V} \]
Þannig er örvuð rafsegulmáttur (EMF) milli miðju og brúnar disksins 0,024 V eða 24 mV.
Niðurstaða
Segulsvið eru viðamikið efni sem krefst skilnings á bæði grundvallarhugtökum eðlisfræðinnar og stærðfræðilegri notkun þeirra. Með dæmi eins og því sem hér að ofan er hægt að sjá hvernig lögmál eins og lögmál Faradays og lögmál Lenz eiga við í mismunandi aðstæðum. Að skilja hugtökin og æfa sig í dæmum hjálpar til við að styrkja vald á þessu efni og auka notkun þess í ýmsum samhengjum.
