Dæmispurningar um ritun afleiðna falla
Afleiða falls er grundvallarhugtak í stærðfræðireikningi, oft notað í ýmsum sviðum vísinda, svo sem eðlisfræði, hagfræði, líffræði og verkfræði. Afleiða falls mælir hversu hratt gildi þess breytist með tilliti til breytinga á óháðum breytum þess. Í þessari grein munum við ræða nokkur dæmi um vandamál sem fela í sér að skrifa afleiðu falls, ásamt skýringum.
Dæmispurning 1: Afleiða einfaldra falla
Spurning: Finndu fyrstu afleiðu fallsins \( f(x) = 3x^2 + 5x + 7 \).
Umræða:
Til að ákvarða fyrstu afleiðu fallsins \( f(x) \) notum við grunnreglur um diffrun, þ.e.:
\[
\frac{d}{dx}(ax^n) = anx^{n-1}
\]
Við getum því reiknað afleiðu hvers liðar í fallinu á eftirfarandi hátt:
\[
f'(x) = \frac{d}{dx}(3x^2) + \frac{d}{dx}(5x) + \frac{d}{dx}(7)
\]
\[
f'(x) = 3 ⋅ 2x^{2-1} + 5 ⋅ 1x^{1-1} + 0
\]
\[
f'(x) = 6x + 5
\]
Þannig að fyrsta afleiða fallsins \( f(x) = 3x^2 + 5x + 7 \) er \( f'(x) = 6x + 5 \).
Dæmispurning 2: Afleiður af þríhyrningsföllum
Spurning: Finndu fyrstu afleiðu fallsins \(g(x) = \sin(x) + \cos(x) \).
Umræða:
Við notum grunnreglur um afleiður fyrir þríhyrningsföll:
\[
\frac{d}{dx}(\sin(x)) = \cos(x)
\]
\[
\frac{d}{dx}(\cos(x)) = -\sin(x)
\]
Svo:
\[
g'(x) = \frac{d}{dx}(sin(x)) + \frac{d}{dx}(cos(x))
\]
\[
g'(x) = ∫cos(x) – ∫sin(x)
\]
Fyrsta afleiða fallsins g(x) = sin(x) + cos(x) er því g'(x) = cos(x) – sin(x)).
Dæmispurning 3: Afleiða margföldunarfalls
Spurning: Finndu fyrstu afleiðu fallsins \( h(x) = x^2 \sin(x) \).
Umræða:
Fyrir föll sem eru margfeldi tveggja falla notum við margföldunarregluna:
\[
\frac{d}{dx} [u(x)v(x)] = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)
\]
Gerum ráð fyrir að u(x) = x^2 og v(x) = sin(x)). Þá:
\[
u'(x) = \frac{d}{dx}(x^2) = 2x
\]
\[
v'(x) = \frac{d}{dx}(\sin(x)) = \cos(x)
\]
Með því að nota margföldunarregluna getum við skrifað:
\[
h'(x) = [x^2]' \sin(x) + x^2 [\sin(x)]'
\]
\[
h'(x) = 2x sin(x) + x^2 cos(x)
\]
Þannig að fyrsta afleiða fallsins (h(x) = x² sin(x)) er (h'(x) = 2x sin(x) + x² cos(x)).
Dæmispurning 4: Afleiða samsetningarfalls
Spurning: Finndu fyrstu afleiðu fallsins \(k(x) = \sin(x^2) \).
Umræða:
Fyrir föll sem eru samsetning tveggja falla notum við keðjuregluna:
\[
\frac{d}{dx}[f(g(x))] = f'(g(x)) \cdot g'(x)
\]
Látum f(u) = sin(u) og u = x². Þá er f'(u) = cos(u) og g'(x) = frac{d}{dx}(x²) = 2x.
Með því að nota keðjuregluna getum við skrifað:
\[
k'(x) = \frac{d}{dx}[\sin(x^2)] = \cos(x^2) \cdot 2x
\]
Fyrsta afleiða fallsins k(x) = sin(x²) er því k'(x) = 2x cos(x²)
Dæmispurning 5: Afleiða rökréttra falla
Dæmi: Finndu fyrstu afleiðu fallsins \( m(x) = \frac{2x}{x^2 + 1} \).
Umræða:
Fyrir föll sem eru kvóti tveggja falla notum við kvótaregluna:
\[
\frac{d}{dx}\left[\frac{u(x)}{v(x)}\right] = \frac{u'(x)v(x) – u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}
\]
Gerum ráð fyrir að u(x) = 2x og v(x) = x^2 + 1. Þá:
\[
u'(x) = 2
\]
\[
v'(x) = \frac{d}{dx}(x^2 + 1) = 2x
\]
Með því að nota kvótaregluna getum við skrifað:
\[
m'(x) = \frac{[2x]'(x^2 + 1) – 2x[x^2 + 1]'}{(x^2 + 1)^2}
\]
\[
m'(x) = \frac{2(x^2 + 1) – 2x \cdot 2x}{(x^2 + 1)^2}
\]
\[
m'(x) = \frac{2x^2 + 2 – 4x^2}{(x^2 + 1)^2}
\]
\[
m'(x) = \frac{-(2x^2 – 2)}{(x^2 + 1)^2}
\]
\[
m'(x) = \frac{2 – 2x^2}{(x^2 + 1)^2}
\]
Þannig að fyrsta afleiða fallsins \( m(x) = \frac{2x}{x^2 + 1} \) er \( m'(x) = \frac{2 – 2x^2}{(x^2 + 1)^2} \).
Niðurstaða
Í þessari grein höfum við rætt nokkur dæmi um vandamál sem fela í sér afleiður falla, allt frá einföldum föllum, hornafræðilegum föllum, margföldun, samsetningarföllum og rökföllum. Hvert dæmi sýnir fram á viðeigandi notkun afleiðuregla, svo sem grunnreglu, keðjureglu, margföldunarreglu og kvótareglu. Að skilja hvernig á að beita þessum reglum er mikilvægt til að leysa flóknari stærðfræðidæmi á ýmsum sviðum. Endurtekin æfing og þjálfun mun hjálpa til við að styrkja skilning þinn og færni í aðgreiningu falla.
