Dæmispurningar um tvíliðadreifingarfallið
Tvíliðadreifing er stakræn líkindadreifing sem lýsir fjölda velgengni í tilraun sem samanstendur af fjölda óháðra tilrauna með tveimur mögulegum útkomum: velgengni og mistökum. Hver tilraun er kölluð tilraun og tvíliðadreifingin er oft notuð í aðstæðum þar sem fjöldi velgengni í fjölda óháðra tilrauna skiptir máli. Í þessari grein munum við ræða grunnhugtök tvíliðadreifingarinnar og gefa dæmi og lausnir.
Grunnhugtök tvíliðadreifingarfallsins
Áður en við förum í dæmisspurningarnar og umræðuna skulum við ræða nokkur grunnhugtök sem tengjast tvíliðadreifingu.
1. Skilgreining: Tvíliðudreifing er skilgreind sem summa af árangri í 'n' óháðum tilraunum, þar sem hver tilraun hefur tvær mögulegar útkomur: árangur (með líkindum p) eða mistök (með líkindum q = 1 – p).
2. Líkindafall: Líkindafall tvíliðudreifingarinnar er:
\[
P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{nk}
\]
Hvar:
– \( P(X = k) \) er líkurnar á að ná k árangri í n tilraunum.
– \( \binom{n}{k} \) er samsetning af n take k, sem er skilgreint sem \( \frac{n!}{k!(nk)!} \).
– \(p \) er líkurnar á árangri í hverri tilraun.
– \( (1-p) \) er líkurnar á að tilraunin mistakist.
3. Vænt gildi og frávik:
– Vænt gildi (meðaltal) tvíliðudreifingarinnar er ∫( ∫mu = np ∫).
– Dreifigildi tvíliðudreifingarinnar er ∫( ≥ 2 = np(1-p)).
Við skulum nú beita þessum hugtökum í dæmi til að fá dýpri skilning.
Dæmispurning 1: Grunnútreikningar á tvíliðadreifingu
Spurning:
Fyrirtæki framleiðir rafeindabúnað með 0.95 líkum á að hver búnaður standist gæðapróf. Ef 10 búnaðir eru framleiddir, reiknaðu út líkurnar á að nákvæmlega 8 búnaðir standist gæðaprófið.
Umræða:
Við getum notað tvíliðadreifingarformúluna til að leysa þetta vandamál. Fyrst greinum við eftirfarandi breytur:
– \(n \) (heildarfjöldi tilrauna) = 10
– \(k \) (fjöldi árangurs) = 8
– \(p \) (líkur á árangri) = 0.95
– \(q \) (líkur á bilun) = 1 – 0.95 = 0.05
Settu síðan þessi gildi inn í tvíliðudreifingarformúluna:
\[
P(X = 8) = ∫(10/8) (0.95)^8 (0.05)^2
\]
Fyrst skaltu reikna út samsetninguna \( \binom{10}{8} \):
\[
\binom{10}{8} = \frac{10!}{8!(10-8)!} = \frac{10!}{8!2!} = \frac{10 × 9 × 8!}{8! × 2!} = \frac{10 × 9}{2 × 1} = 45
\]
Reiknið síðan út líkurnar \( (0.95)^8 \) og \( (0.05)^2 \):
\[
(0.95)^8 \u.þ.b. 0.6634
\]
\[
(0.05)^2 = 0.0025
\]
Að lokum, margfaldaðu öll þessi gildi til að fá:
\[
P(X = 8) = 45 × 0.6634 × 0.0025 × 0.0744
\]
Þannig að líkurnar á því að nákvæmlega 8 af 10 íhlutum standist gæðaprófið eru um 0.0744 eða 7.44%.
Dæmispurning 2: Uppsafnaðar líkur
Spurning:
Reiknið út líkurnar á því að að minnsta kosti 9 af 10 íhlutum standist gæðaprófið, enn hjá sama fyrirtæki.
Umræða:
Til að leysa þetta vandamál þurfum við að reikna út uppsafnaða líkindi. Líkurnar á að að minnsta kosti 9 af 10 þáttum standist prófið þýða að við reiknum \( P(X ≤ 9) \), sem má rita sem:
\[
P(X \geq 9) = P(X = 9) + P(X = 10)
\]
Með því að nota tvíliðudreifingarformúluna:
\[
P(X = 9) = ∫(10/9) (0.95)^9 (0.05)^1
\]
\[
P(X = 10) = \binom{10}{10} (0.95)^{10} (0.05)^0
\]
Fyrst skal reikna út samsetninguna fyrir hvert tilfelli:
\[
\binom{10}{9} = \frac{10!}{9!(10-9)!} = 10
\]
\[
\binom{10}{10} = 1
\]
Reiknið síðan út líkurnar fyrir \(P(X = 9) \) og \(P(X = 10) \):
\[
P(X = 9) = 10 × (0.95)^9 × 0.05
\]
\[
(0.95)^9 \u.þ.b. 0.6302
\]
\[
P(X = 9) = 10 × 0.6302 × 0.05 × 0.3151
\]
\[
P(X = 10) = 1 × (0.95)^{10} × 1
\]
\[
(0.95)^{10} \u.þ.b. 0.5987
\]
\[
P(X = 10) = 0.5987
\]
Heildarlíkur fyrir \( P(X ≤ 9) \):
\[
P(X ≤ 9) = 0.3151 + 0.5987 ≥ 0.9138
\]
Þannig að líkurnar á að að minnsta kosti 9 af 10 íhlutum standist gæðaprófið eru um 0.9138 eða 91.38%.
Dæmispurning 3: Vænt gildi og dreifni
Spurning:
Reiknið út væntanlegt gildi og dreifni fjölda íhluta sem standast gæðaprófið af þeim 10 íhlutum sem framleiddir eru, með líkum upp á 0.95.
Umræða:
Notaðu eftirfarandi formúlu:
– Vænt gildi (meðaltal) \( \mu = np \)
– Dreifni ( \sigma^2 = np(1-p) \)
Með \(n = 10 \) og \(p = 0.95 \):
\[
\mu = 10 \times 0.95 = 9.5
\]
\[
\sigma^2 = 10 \times 0.95 \times 0.05 = 0.475
\]
Þannig að væntanlegt gildi fjölda íhluta sem standast gæðaprófið er 9.5 og dreifnin er 0.475.
Niðurstaða
Í gegnum þrjú dæmin hér að ofan höfum við rætt hvernig á að reikna líkur með tvíliðadreifingu fyrir ýmsar aðstæður: útreikning á nákvæmum líkum, uppsafnaðri líkindum og útreikning á væntanlegu gildi og dreifni. Þekking á tvíliðadreifingu er gagnleg á ýmsum sviðum, svo sem í framleiðslu, læknisfræðilegum rannsóknum og félagstölfræði, þar sem niðurstöður endurtekinna tilrauna með tveimur mögulegum útkomum er hægt að greina til að aðstoða við ákvarðanatöku. Vonandi munu dæmin og umræðurnar sem gefnar eru hjálpa þér að skilja tvíliðadreifinguna betur.
