Dæmi um umræðuspurningu um normaldreifingu
Normaldreifingin, einnig þekkt sem Gauss-dreifing, er algengasta líkindadreifingin í tölfræði. Þessi dreifing hefur samhverfa bjöllulögun, sem gefur til kynna að gögnin eru raðað í kringum meðaltalið og líkurnar á öfgum (gildum langt frá meðaltalinu) eru litlar.
Í þessari grein munum við ræða ýmis dæmi um vandamál sem tengjast normaldreifingu og hvernig á að leysa þau. Við byrjum á að kynna nokkur grunnhugtök og förum síðan yfir í flóknari dæmi.
Grunnatriði normaldreifingar
Normaldreifingin er samfelld dreifing með tveimur breytum: meðaltali og staðalfráviki (SD). Meðaltalið ákvarðar miðju dreifingarinnar en staðalfrávikið ákvarðar breidd hennar.
Mikilvæg einkenni normaldreifingarinnar:
1. Samhverfa: Normaldreifingin er samhverf um meðaltalið.
2. Reynsluregla (Reynsluregla):
– Um 68% gagnanna eru innan eins staðalfráviks frá meðaltali.
– Um það bil 95% gagnanna eru innan tveggja staðalfrávika frá meðaltali.
– Um það bil 99.7% gagnanna eru innan þriggja staðalfrávika frá meðaltali.
Dæmi um spurningar og umræður
Dæmi um spurningu 1: Útreikningur á Z-stigi
Spurning: Próf hefur meðaleinkunn upp á 70 með staðalfráviki upp á 10. Nemandi fær einkunnina 80. Hver er Z-einkunn nemandans?
Lausn:
Z-stigið er mælikvarði á hversu mörg staðalfrávik gildi er frá meðaltali.
Z-stigaformúla:
\[ Z = \frac{X – \mu}{\sigma} \]
Hvar:
– \(X \) er mælda gildið.
– \( \mu \) er meðaltalið.
– \( \sigma \) er staðalfrávikið.
Það er vitað:
– \(X = 80 \)
– \( \mu = 70 \)
– \( \sigma = 10 \)
Beiting formúlunnar:
\[ Z = \frac{80 – 70}{10} = 1 \]
Þannig að Z-stig nemandans er 1, sem þýðir að stig 80 er einu staðalfráviki fyrir ofan meðaltalið.
Dæmispurning 2: Líkur á ákveðnu gildi
Spurning: Hverjar eru líkurnar á að finna gildi undir 85 í normaldreifingu með meðaltal 100 og staðalfrávik 15?
Lausn:
Skrefin:
1. Reiknaðu Z-stigið fyrir gildið \( X = 85 \):
\[ Z = \frac{85 – 100}{15} = \frac{-15}{15} = -1 \]
2. Notið Z-töflu eða tölfræðilega reiknivél til að finna líkurnar sem samsvara Z-stigi upp á -1. Í Z-töflu eru líkurnar á Z-stigi upp á -1 um það bil 0.1587.
Þannig að líkurnar á að finna gildi undir 85 eru 0.1587 eða 15.87%.
Dæmispurning 3: Notkun raunlegra reglna
Spurning: Það er vitað að dreifing stærðfræðiprófskora í skólum fylgir normaldreifingu með meðaltali 75 og staðalfráviki 8. Hversu hlutfall nemenda skoraði á bilinu 67 til 83?
Lausn:
Langkah-langkah:
1. Reiknaðu Z-stigið fyrir gildin 67 og 83:
\[ Z_{67} = \frac{67 – 75}{8} = \frac{-8}{8} = -1 \]
\[ Z_{83} = \frac{83 – 75}{8} = \frac{8}{8} = 1 \]
2. Samkvæmt empirískum reglum ná gildi á milli -1 staðalfráviks og +1 staðalfráviks frá meðaltali yfir um 68% af þýðinu.
Þannig að hlutfall nemenda sem fengu einkunn á bilinu 67 til 83 var um 68%.
Dæmispurning 4: Að reikna gildi út frá prósentum
Spurning: Ef meðalhæð fullorðinna karla í landi er 175 cm með staðalfráviki upp á 7 cm, hver er þá hæðin í 90. hundraðshlutanum?
Lausn:
Langkah-langkah:
1. Finndu Z-stigið sem samsvarar 90. hundraðshlutanum. Samkvæmt Z-töflunni er Z-stigið sem er næst 0.9000 um það bil 1.28.
2. Notaðu formúluna til að reikna út gildið á \(X \):
[X = µ + Z × sigma]
\[ X = 175 + 1.28 \times 7 \]
\[X = 175 + 8.96 \]
\[X = 183.96 \]
Þannig að hæðin í 90. hundraðshlutanum er um 183.96 cm.
Dæmispurning 5: Líkur á ákveðnu bili
Spurning: Miðað við að dreifing þyngdar nýbura fylgir normaldreifingu með meðaltali 3.5 kg og staðalfráviki 0.5 kg, hverjar eru þá líkurnar á að barn vegi á milli 3 kg og 4 kg?
Lausn:
Langkah-langkah:
1. Reiknaðu Z-stigið fyrir gildin 3 kg og 4 kg:
\[ Z_{3} = \frac{3 – 3.5}{0.5} = \frac{-0.5}{0.5} = -1 \]
\[ Z_{4} = \frac{4 – 3.5}{0.5} = \frac{0.5}{0.5} = 1 \]
2. Líkur á Z-stigi á milli -1 og 1 byggt á Z-töflunni eru um það bil 0.6826 eða 68.26%.
Þannig að líkurnar á að barn vegi á milli 3 kg og 4 kg eru um 68.26%.
Niðurstaða
Normaldreifing er grundvallarhugtak í tölfræði sem er mikilvægt og hefur marga raunverulega notkunarmöguleika. Í þessari grein höfum við útskýrt grunnhugtök normaldreifingarinnar og leyst nokkur dæmi til að dýpka skilning okkar.
Að skilja normaldreifingu er ekki aðeins mikilvægt fyrir tölfræði heldur einnig fyrir ýmis hagnýt svið eins og sálfræði, hagfræði og aðrar félagsvísindi. Með nægri æfingu getur lausn normaldreifingarvandamála orðið innsæi og auðveldað gagnadrifna ákvarðanatöku.
