Dæmispurningar um reikniraðir
Reikniraðir eru grundvallarhugtak í stærðfræði sem kemur oft fyrir í ýmsum dæmum, bæði í framhaldsskólum og háskólanámi. Þetta hugtak felur í sér talnaröð þar sem hver liður er niðurstaða þess að leggja saman eða draga frá fasta tölu frá fyrri liðnum. Í þessari grein munum við ræða nokkur dæmi um dæmi og lausnir þeirra til að skilja betur hugtakið reikniraðir.
Að skilja reiknirit
Reikningaröð er röð sem hefur fastan mismun (mismun) milli tveggja samliggjandi liða. Til dæmis, ef reikniröð hefur fyrsta liðinn _(a) og mismuninn _(d) þá má rita liðina á eftirfarandi hátt:
\[ a, a + d, a + 2d, a + 3d, \ldots \]
Ef við viljum finna n-ta liðinn í þessari röð, þá er formúlan fyrir n-ta liðinn (\(U_n\)):
\[U_n = a + (n-1)d \]
Á sama tíma er hægt að reikna summu fyrstu n liða í reikniritaröð (\(S_n\)) með formúlunni:
[S_n = \frac{n}{2} (2a + (n-1)d)]
Dæmi um spurningar og umræður
Dæmi um spurningu 1
Spurning: Gefin er reiknirit með fyrsta liðinn _(a = 5)_ og sameiginlega mismuninn _(d = 3)_. Finndu tíunda liðinn í röðinni.
Umræða:
Til að finna tíunda liðinn (\(U_{10}\)) getum við notað formúluna fyrir n-ta liðinn:
[U_{10} = a + (10-1)d]
\[ U_{10} = 5 + (9 µcdot 3) \]
\[U_{10} = 5 + 27 \]
\[ U_{10} = 32 \]
Þannig að tíundi liðurinn í röðinni er 32.
Dæmi um spurningu 2
Spurning: Finndu summu fyrstu 15 liðanna í reikniröðinni þar sem fyrsti liðurinn er _(a = 4)_ og sameiginlegi mismunurinn er _(d = 7)_.
Umræða:
Til að finna summu fyrstu 15 liðanna (\(S_{15}\)) getum við notað formúluna fyrir summu fyrstu n liðanna:
\[ S_{15} = \frac{15}{2} (2a + (15-1)d) \]
[S_{15} = \frac{15}{2} (2 ⋅ 4 + 14 ⋅ 7)]
\[ S_{15} = \frac{15}{2} (8 + 98) \]
\[ S_{15} = \frac{15}{2} \cdot 106 \]
\[S_{15} = 15 ⋅ 53 \]
\[ S_{15} = 795 \]
Þannig að summa fyrstu 15 liða raðarinnar er 795.
Dæmi um spurningu 3
Spurning: Það er vitað að fimmti liðurinn í reikniröð er 20 og tólfti liðurinn er 48. Finndu fyrsta liðinn (\(a\)) og sameiginlega mismuninn (\(d\)) í röðinni.
Umræða:
Frá gefnum skilyrðum:
\[U_5 = a + 4d = 20 \]
\[ U_{12} = a + 11d = 48 \]
Við höfum tvær línulegar jöfnur með tveimur breytum sem við getum leyst:
1. \(a + 4d = 20 \)
2. \(a + 11d = 48 \)
Úr jöfnu 1 getum við táknað \(a\) sem \(d\):
\[ a = 20 – 4d \]
Nú setjum við \(a\) inn í jöfnu 2:
\[ 20 – 4d + 11d = 48 \]
\[ 20 + 7d = 48 \]
\[ 7d = 28 \]
\[d = 4 \]
Nú setjum við gildið á \(d\) inn í jöfnuna \(a = 20 – 4d\):
\[ a = 20 – 4 ⋅ 4 \]
\[a = 20 – 16 \]
\[ a = 4 \]
Þannig að fyrsti liður raðarinnar er 4 og sameiginlegi mismunurinn er 4.
Dæmi um spurningu 4
Spurning: Hversu marga liði þarf til að reikniritaröð með fyrsta liðinn _(a = 2_) og sameiginlegan mismun _(d = 5_) fái summu upp á 200?
Umræða:
Í þessu tilfelli þurfum við að finna summu fyrstu n liðanna (\(S_n\)) sem er jöfn 200. Notið formúluna fyrir summu fyrstu n liðanna:
\[S_n = \frac{n}{2} (2a + (n-1)d) = 200 \]
Settu gildin fyrir \(a\) og \(d\) inn í reitinn:
\[ \frac{n}{2} (2 ⋅2 + (n-1) ⋅5) = 200 \]
\[ \frac{n}{2} (4 + 5n – 5) = 200 \]
\[ \frac{n}{2} (5n – 1) = 200 \]
\[ n (5n – 1) = 400 \]
Þetta er annars stigs jafna. Til að leysa hana breytum við formi hennar:
\[ 5n^2 – n – 400 = 0 \]
Notaðu annars stigs formúluna \(ax^2 + bx + c = 0\):
\[ n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a} \]
Í þessu tilfelli (a = 5), (b = -1) og (c = -400):
[n = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 – 4 \cdot 5 \cdot (-400)}}{2 \cdot 5} \]
\[ n = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8000}}{10} \]
\[ n = \frac{1 \pm \sqrt{8001}}{10} \]
Gildi \(\sqrt{8001}\) er nálægt 89.42, þá:
\[ n = \frac{1 \pm 89.42}{10} \]
Við tökum jákvæð gildi:
\[ n = \frac{1 + 89.42}{10} \]
\[ n \u.þ.b. \frac{90.42}{10} \]
\[ n \u.þ.b. 9.042 \]
Þannig að fjöldi liða sem þarf er 9 liðir (ef námundað er).
Niðurstaða
Reikniraðir eru mikilvægt efni í stærðfræði. Ítarlegur skilningur á fyrsta liðnum, sameiginlegum mismun, n-ta liðnum og summu fyrstu n liðanna er ómetanlegur til að leysa fjölbreytt vandamál. Með því að nota dæmin og umræðurnar hér að ofan er vonast til að lesendur öðlist betri skilning á grunnhugtökum reikniraða.
