Dæmispurningar um raðir og raðir
Raðir og raðir eru grundvallarhugtök í stærðfræði, sem oft er að finna frá grunnskóla og upp í háskóla. Röð er safn talna sem eru raðaðar eftir ákveðinni reglu, en röð er summa liða þeirrar raðar. Í þessari grein munum við ræða nokkur dæmi um dæmi og ræða raðir og raðir.
Dæmi 1: Reikniröð
Spurning:
Gefin er reiknirit með fyrsta liðinn (a) = 3 og mismuninn (d) = 5. Ákvarðið:
1. Tíundi liðurinn í raðinni.
2. Summa fyrstu 20 liða raðarinnar.
Umræða:
1. 10. kjörtímabil
Formúlan fyrir n-ta liðinn í reikniröð er:
\[
U_n = a + (n-1)d
\]
Fyrir 10. önn (U_10):
\[
U_{10} = 3 + (10-1) ≥ 5 = 3 + 45 = 48
\]
2. Summa fyrstu 20 liðanna
Formúlan fyrir summu fyrstu n liðanna (S_n) í reikniröð er:
\[
S_n = \frac{n}{2} (2a + (n-1)d)
\]
Fyrir summu fyrstu 20 liðanna (S_20):
\[
S_{20} = \frac{20}{2} (2 \cdot 3 + (20-1) \cdot 5) = 10 (6 + 95) = 10 \cdot 101 = 1010
\]
Dæmi 2: Rúmfræðileg röð
Spurning:
Gefin er rúmfræðileg runa með fyrsta liðinn (a) = 4 og hlutfallið (r) = 2. Ákvarðið:
1. Tíundi liðurinn í raðinni.
2. Summa fyrstu 8 liða raðarinnar.
Umræða:
1. 6. kjörtímabil
Formúlan fyrir n-ta lið rúmfræðilegrar runu er:
\[
U_n = a ⋅ r^{(n-1)}
\]
Fyrir 6. önn (U_6):
\[
U_{6} = 4 ⋅2^{(6-1)} = 4 ⋅2^5 = 4 ⋅32 = 128
\]
2. Summa fyrstu 8 liðanna
Formúlan fyrir summu fyrstu n liðanna (S_n) í rúmfræðilegri röð er:
\[
S_n = a \frac{r^n – 1}{r – 1}
\]
Fyrir summu fyrstu 8 liðanna (S_8):
\[
S_{8} = 4 \frac{2^8 – 1}{2 – 1} = 4 \frac{256 – 1}{1} = 4 \cdot 255 = 1020
\]
Dæmi 3: Samleit rúmfræðileg óendanleg röð
Spurning:
Gefin er rúmfræðileg röð með fyrsta liðinn (a) = 1 og hlutfallið (r) = 1/2. Ákvarðið summu óendanlegu röðarinnar.
Umræða:
Formúlan fyrir summu óendanlegrar raðar (S_∞) af samleitinni rúmfræðilegri röð er:
\[
S_{\infty} = \frac{a}{1 – r}
\]
Svo fyrir þessa seríu:
\[
S_{\infty} = \frac{1}{1 – \frac{1}{2}} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2
\]
Dæmi 4: Raðir og raðir ferningstalna
Spurning:
Gefin er runa af ferningstölum þar sem fyrsta liðurinn (U_1) = 1, annað liðurinn (U_2) = 4 og þriðja liðurinn (U_3) = 9. Ákvarðið fimmta liðinn í rununni. Er þessi runa reiknuð eða rúmfræðileg runa? Útskýrið.
Umræða:
1. 5. kjörtímabil
Mynstur raðar ferningstalna er:
\[
U_n = n^2
\]
Fyrir 5. önn (U_5):
\[
U_{5} = 5^2 = 25
\]
2. Tegund línu
Til að athuga hvort þessi runa sé reiknileg eða rúmfræðileg, athugaðu mismuninn á milli liðanna (sameiginlega mismuninn) og hlutfallið á milli liðanna:
– Munurinn á hugtökum (d):
\[
U_2 – U_1 = 4 – 1 = 3 \\
U_3 – U_2 = 9 – 4 = 5
\]
Þar sem mismunurinn er ekki fasti er þessi runa ekki reiknileg.
– Hlutfall milli ættbálka (r):
\[
\frac{U_2}{U_1} = \frac{4}{1} = 4 \\
\frac{U_3}{U_2} = \frac{9}{4} = 2.25
\]
Þar sem hlutfallið milli liða er ekki fasti er þessi runa ekki rúmfræðileg.
Þessi runa af ferningtölum er því hvorki reiknifræðileg né rúmfræðileg runa, heldur sérstök runa sem fylgir mynstri ferningtalna.
Dæmi 5: Óendanleg reikniritaröð
Spurning:
Er hægt að reikna út summu óendanlegrar reikniritaröð? Ef svo er, gefðu dæmi. Ef ekki, útskýrðu hvers vegna.
Umræða:
Ólíkt rúmfræðilegum röðum hafa óendanlegar reikniritaraðir yfirleitt enga endanlega summu. Þetta er vegna þess að hver liður eykst eða minnkar línulega, þannig að summan heldur áfram að vaxa endalaust.
Til dæmis, skoðum óendanlega reikniritaröð með fyrsta lið 1 og sameiginlegan mismun 1:
\[
1 + 2 + 3 + 4 + µg
\]
Ef við reynum að leggja þær saman verður ljóst að röðin mun ekki stefna að föstu gildi heldur nálgast óendanleikann. Þess vegna er summa óendanlegrar reikniritaröðar almennt óendanleg og ekki hægt að reikna hana út eins og samleitin rúmfræðileg röð.
-
Í þessari grein höfum við fjallað um nokkur dæmi um raðir og raðir. Við höfum farið yfir reiknifræðilegar og rúmfræðilegar raðir, séð hvernig á að reikna út n-ta liðinn og summu fyrstu liða þeirra og svarað spurningum um óendanlegar raðir. Með því að skilja þessi grunnhugtök og dæmi vonum við að þú munir finna fyrir meira öryggi þegar þú nálgast raðir og raðir í stærðfræði.
