Dæmispurningar um reiknirit
Reikniraðir eru grundvallarhugtak í stærðfræði sem kemur oft fyrir í ýmsum prófum og raunverulegum forritum. Reikniraðir eru talnaraðir þar sem mismunurinn á milli tveggja liða í röð er fastur. Í þessari grein munum við skoða hugtakið reikniraðir nánar með nokkrum dæmidæmum ásamt ítarlegum útskýringum.
Skilgreiningar og merkingar
Áður en við förum í dæmin er mikilvægt að skilja þá táknun sem oft er notuð í reikniröðum. Ef \(a\) er fyrsti liðurinn og \(d\) er sameiginlegi mismunurinn (fasti mismunurinn), þá má rita reikniröðina sem:
[a, a+d, a+2d, a+3d, ..., a+(n-1)d]
N-ta liðinn (Un) í þessari röð má orða sem:
\[U_n = a + (n-1)d \]
Eftirfarandi eru nokkur dæmi um spurningar og umræður um þær til að auðvelda skilning á reikniröðum.
Dæmi um spurningu 1
Spurning:
Gefin er reiknirit með fyrsta liðinn _(a = 5)_ og sameiginlegan mismun _(d = 3)_. Ákvarðið tíunda liðinn í röðinni.
Umræða:
Með því að nota almennu formúluna fyrir n-ta liðinn, þ.e. \( U_n = a + (n-1)d \):
\[ U_{10} = 5 + (10-1) ≥ 3 \]
\[U_{10} = 5 + 9 \cdot 3 \]
\[U_{10} = 5 + 27 \]
\[ U_{10} = 32 \]
Þannig að tólfti liðurinn í raðinni er 32.
Dæmi um spurningu 2
Spurning:
Gefin er reiknirit þar sem fimmti liðurinn er 20 og áttundi liðurinn 35. Ákvarðið fyrsta liðinn \(a\) og sameiginlega mismuninn \(d\) raðarinnar.
Umræða:
Af spurningunni vitum við:
\[U_5 = a + 4d = 20 \]
\[U_8 = a + 7d = 35 \]
Dragðu frá báðar jöfnurnar til að útrýma \(a\):
\[ (a + 7d) – (a + 4d) = 35 – 20 \]
\[ 3d = 15 \]
\[d = 5 \]
Nú setjum við inn \(d = 5\) til að finna \(a\):
\[a + 4 ⋅ 5 = 20 \]
\[a + 20 = 20 \]
\[ a = 0 \]
Þannig að fyrsti liðurinn í raðinni er 0 og mismunurinn er 5.
Dæmi um spurningu 3
Spurning:
Hver er summa fyrstu 20 liða í reikniröð þar sem fyrsti liðurinn er _(a = 2)_ og sameiginlegi mismunurinn _(d = 4)_?
Umræða:
Summu fyrstu n liða í reikniritaröð er hægt að reikna út með formúlunni:
[S_n = \frac{n}{2} \left( 2a + (n-1)d \right) \]
Fyrir þessa línu:
[S_{20} = \frac{20}{2} \left(2 ⋅2 + (20-1) \cdot 4 \right)]
\[ S_{20} = 10 \vinstri( 4 + 76 \hægri) \]
\[S_{20} = 10 ⋅ 80 \]
\[ S_{20} = 800 \]
Þannig að summa fyrstu 20 liða raðarinnar er 800.
Dæmi um spurningu 4
Spurning:
Þriðji liðurinn í reikniritaröð er 15 og sjöundi liðurinn er 27. Finndu 12. liðinn í raðinni.
Umræða:
Fyrst þurfum við að finna gildin \(a\) og \(d\). Af spurningunni vitum við:
\[U_3 = a + 2d = 15 \]
\[U_7 = a + 6d = 27 \]
Dragðu frá báðar jöfnurnar til að útrýma \(a\):
\[ (a + 6d) – (a + 2d) = 27 – 15 \]
\[ 4d = 12 \]
\[d = 3 \]
Nú setjum við inn \(d = 3\) til að finna \(a\):
\[a + 2 ⋅ 3 = 15 \]
\[a + 6 = 15 \]
\[ a = 9 \]
Notið formúluna fyrir n-ta liðinn til að finna 12. liðinn:
\[ U_{12} = a + 11d \]
\[U_{12} = 9 + 11 \cdot 3 \]
\[U_{12} = 9 + 33 \]
\[ U_{12} = 42 \]
Þannig að tólfti liðurinn í raðinni er 42.
Dæmi um spurningu 5
Spurning:
Reikniröð með fyrsta liðinn \(a\) og sameiginlegan mismun \(d\) hefur summu fyrstu 10 liðanna, þ.e. 55. Ef \(d = 1\), ákvarðaðu fyrsta liðinn \(a\).
Umræða:
Gefið \(d = 1\) og \(S_{10} = 55\). Notið formúluna fyrir summu fyrstu liðanna:
[S_n = \frac{n}{2} (2a + (n-1)d)]
Fyrir n = 10:
[S_{10} = \frac{10}{2} (2a + 9 ⋅1) = 55]
\[ 5 (2a + 9) = 55 \]
\[2a + 9 = 11 \]
\[2a = 2 \]
\[ a = 1 \]
Þannig að fyrsti liðurinn í raðinni er 1.
Niðurstaða
Reikniraðir eru grundvallarhugtak í stærðfræði sem er afar gagnlegt á ýmsum sviðum. Í þessari grein höfum við fjallað um nokkur dæmi um reikniraðir og lausnir þeirra. Góð skilningur á formúlum og grunneiginleikum reikniraða mun vera mjög gagnlegur við lausn ýmissa vandamála sem tengjast þessu efni.
Með því að æfa dæmi eins og þau sem eru hér að ofan er vonast til að þú verðir færari og hraðari í að leysa vandamál sem fela í sér reiknirit.
