Lineáris mozgás grafikája – problémák és megoldások
1. Ábrázolja a távolságot (függőleges) az idő (vízszintes) függvényében az alábbi ábrán látható módon. Egy nyugalmi állapotban lévő tárgyat a szám jelöl…
megoldás:
A 3. szám, egyenes vonallal jelölve.
2. Ábrázolja a mozgás sebességét (függőleges) az időintervallum (vízszintes) függvényében állandó gyorsulás mellett . Mekkora a gyorsulás nagysága a grafikon szerint?
megoldás:
3. Valaki autóval utazott A városból B városba, ahogy az alábbi grafikon is mutatja. A függőleges vonal a sebességet, a vízszintes vonal az időintervallumot jelöli. Mekkora a megtett távolság autóval 30 perc és 60 perc között?
Ismert:
Sebesség (v) = 40 km/h
Időintervallum (t) = 60 – 30 = 30 perc = 0.5 óra
Keresett: Távolság
megoldás:
Távolság = sebesség x időintervallum
Távolság = (40 km/óra)(0.5 óra)
Távolság = 20 km
4. A sebesség (függőleges vonal) és az időintervallum (vízszintes vonal) grafikonja egy autó mozgását mutatja álló helyzetből, majd 8 másodpercig tartó megállásig, ahogy az az alábbi ábrán látható.
Mekkora távolságot tesz meg egy autó 5 másodpercről 8 másodpercre?
megoldás:
1. terület = a CD háromszög területe = ½ (6-5)(40-20) = ½ (1)(20) = 10
2. terület = a DE háromszög területe = ½ (8-6) (20-0) = ½ (2) (20) = 20
3. terület = négyzet területe = (6-5)(20-0) = (1)(20) = 20
Az autóval 5 másodpercről 8 másodpercre megtett távolság = 10 + 20 + 20 = 50 méter.
5. Az utolsó 5 másodperc távolsága az alábbi grafikon szerint ….
megoldás:
1. terület = háromszög területe = ½ (6-5)(40-20) = ½ (1)(20) = 10
2. terület = egy téglalap területe = (9-5)(20-0) = (4)(20) = 80
3. terület = háromszög területe = ½ (10-9)(20-0) = ½ (1)(20) = 10
Az utolsó 5 másodperc távolsága :
10 + 80 + 10 = 100 méter
6. Ábrázolja egy autó nem egyenletes lineáris mozgásának sebességét az időintervallum függvényében.
Ugyanez a gyorsulás akkor is bekövetkezik, amikor…
megoldás:
v t = v o + at
v t – v o = at
a = vt – v0 / t
a = gyorsulás, vt = végsebesség, v0 = kezdeti sebesség, t = időintervallum.
Gyorsulás AB = (25 – 20) / (20 – 0) = 5 / 20 = 1/4 = 0.25 m/ s²
Gyorsulás BC = (45 – 25) / (40 – 20) = 20 / 20 = 1 m/ s²
Gyorsulás CD = (35 – 45) / (50 – 40) = 10 / 10 = 1 m/ s²
Gyorsulás DE = (25 – 35) / (70 – 50) = 10 / 20 = 1/2 = 0.5 m/ s²
Gyorsulás EF = (0 – 25) / (90 – 70) = 25 / 20 = 5/4 = 1.25 m/ s²
7. Mekkora a megtett távolság 10 másodperc alatt?
Ismert:
Kezdősebesség (vo) = 0
Végsebesség (vt ) = 20 m/s
Időintervallum (t) = 4 másodperc
Keresett:
A 10 másodperc alatt megtett távolság
megoldás:
Az állandó gyorsulású mozgás három egyenlete:
v t = v o + at
d = v o t + ½ 2- nél
vt² = v0² + 2ad
v t = végsebesség, v o = kezdeti sebesség, a = gyorsulás, t = időintervallum, d = távolság
Gyorsulás (a):
v t = v o + at
20 = 0 + a (4)
20 = 4 egy
a = 20 / 4
a = 5 m/ s²
10 másodperc alatt megtett távolság:
d = v o t + ½ 2- nél
d = (0)(10) + ½ (5)(10) 2
d = ½ (5)(100)
d = (5)(50)
d = 250 méter
8. Ha egy tárgyat függőlegesen felfelé dobunk a Föld felszíne fölé, akkor melyik a tárgy által tapasztalt gyorsulás grafikonja?
Megoldás
Amikor egy tárgy függőlegesen felfelé mozog, a tárgy által tapasztalt gyorsulás a gravitációs gyorsulás. A gravitációs gyorsulás nagysága 9.8 m/s² , a gravitációs gyorsulás iránya pedig a Föld középpontja felé mutat.
Az állandó gyorsulást egy, a t tengellyel párhuzamos és az a tengelyre merőleges egyenes jellemzi.
A helyes válasz D.
9. Az alábbi grafikon alapján határozd meg a tárgy által 20 másodperc alatt megtett távolságot.
A. 600 m
B. 500 m
Kb. 200 m
D. 100 m
Megoldás
0 – 10 másodperc alatt megtett távolság = négyzet területe + háromszög területe
A négyzet területe = (20-0)(10-0) = (20)(10) = 200 méter
A háromszög területe = (1/2)(10-0)(40-20) = (1/2)(10)(20) = (5)(20) = 100 méter
0 – 10 másodperc alatt megtett távolság = 200 méter + 100 méter = 300 méter
10-20 másodperc alatt megtett távolság = a háromszög területe
A háromszög területe = (1/2)(20-10)(40-0) = (1/2)(10)(40) = (5)(40) = 200 méter
0 – 20 másodperc alatt megtett távolság:
300 méter + 200 méter = 500 méter
A helyes válasz a B.
10. Három tárgy mozgása, melyeket az alábbi grafikon illusztrál.
Határozza meg a helyes állítást mindhárom tárgy mozgására!
megoldás:
Az 1. objektum grafikonja = Gyorsulás (a) és időintervallum (t) grafikonja
A grafikon alapján a tárgy állandó gyorsulással mozog. Az állandó gyorsulást a gyorsulás tengelyére merőleges egyenes jelzi (a).
A 2. tárgy grafikonja = A sebesség (v) és az időintervallum (a) grafikonja
A grafikon alapján a tárgy állandó sebességgel mozog. Az állandó sebességet a sebességtengelyre (v) merőleges egyenes jelzi.
A 3. tárgy grafikonja = Az elmozdulás (x) és az idő (a) grafikonja
A grafikon alapján elmozdulási állandó vagy nyugalmi állapotban lévő tárgy.
A helyes válasz A.
11. Az x tengely mentén mozgó tárgy helyzetét a következő grafikon mutatja.
A grafikon azt mutatja, hogy a tárgy állandó sebességgel mozog a következő időintervallumokban:…
A. 5-15 másodperc és 25-35 másodperc
B. 0-5 másodperc és 35-40 másodperc
C. 15-25 másodperc
D. 0-5 másodperc, 15-25 másodperc és 35-40 másodperc
megoldás:
5-15 másodperc és 25-35 másodperc = A tárgy elmozdulása mindig állandó, vagy a tárgy nyugalmi állapotban van.
0-5 másodperc, 15-25 másodperc és 35-40 másodperc = a tárgy állandó sebességgel mozog.
A helyes válasz D.
12. A következő grafikon két, ugyanabból a kiindulópontból egyenes vonalban mozgó tárgy időfüggvényének sebességét mutatja. t másodperces mozgás után mindkét tárgy ugyanakkora helyzetváltozást mutat. Határozza meg a tárgy időintervallumát és elmozdulását .
A. 5 másodperc és 50 méter
B. 5 másodperc és 100 méter
C. 10 másodperc és 50 méter
D. 10 másodperc és 100 méter
megoldás:
1. grafikon = állandó gyorsulás
Időintervallum = 10 másodperc
Távolság = háromszög területe = ½ (v)(t) = ½ (10-0)(20-0) = ½ (10)(20) = (5)(20) = 100 méter
2. grafikon = állandó sebesség
Időintervallum = 10 másodperc
Távolság = négyzet területe = (v)(t) = (10⁻⁴)(10⁻⁴) = (10⁻)(10⁻) = 100 méter
A helyes válasz D.
13. Az alábbi grafikon alapján az az időintervallum, amikor a tárgy állandó gyorsulással mozog, és az az időintervallum, amikor a tárgy a legnagyobb gyorsulást tapasztalja: ….
A. 0 és t között1, és t között1 és t2
B. T1 és t2 , valamint t2 és t3 között
C. T2 és t3 , valamint t1 és t2 között
D. 0 és t1 között , valamint t2 és t3 között
megoldás:
Ha a grafikon egyenes, akkor a sebesség állandó, ha perjel, akkor a gyorsulás állandó. Ha az egyenes dől, a gyorsulás növekszik.
0 – t1 = állandó gyorsulás
t1 – t2 = állandó sebesség
t2 – t3 = állandó gyorsulás
A helyes válasz a B.
1. Kérdés: Mit jelent egy pozíció-idő grafikon meredeksége? Válasz: Egy pozíció-idő grafikon meredeksége a tárgy sebességét jelöli. A meredekebb lejtés nagyobb sebességet jelez, míg a lapos (vízszintes) vonal azt jelzi, hogy a tárgy nyugalmi állapotban van.
2. Kérdés: Egy sebesség-idő grafikonon hogyan határozható meg egy tárgy elmozdulása? Válasz: Egy tárgy elmozdulását a görbe alatti terület (vagy a görbe és az x tengely közötti terület) kiszámításával lehet meghatározni a sebesség-idő grafikonon.
3. Kérdés: Hogyan lehet megkülönböztetni az egyenletes és az nem egyenletes mozgást egy helyfüggvény-idő grafikonon? Válasz: Egy helyfüggvény-idő grafikonon az egyenletes mozgást egyenes vonal (állandó meredekség) ábrázolja, míg az nem egyenletes mozgást görbe vonal, ami azt jelzi, hogy a sebesség idővel változik.
4. Kérdés: Mit jelez a vízszintes vonal a sebesség-idő grafikonon? Válasz: A sebesség-idő grafikonon a vízszintes vonal azt jelzi, hogy a tárgy állandó sebességgel mozog, azaz nem gyorsul és nem lassul.
5. Kérdés: Mit jelent a sebesség/idő grafikon az időtengely alatt (negatív sebesség)? Válasz: Ha a sebesség/idő grafikon az időtengely alatt van, az azt jelzi, hogy a tárgy a referenciairánnyal (amit gyakran pozitívnak vesszük) ellentétes irányban mozog.
6. Kérdés: Hogyan ábrázoljuk a gyorsulást a sebesség vs. idő grafikonon? Válasz: A sebesség vs. idő grafikonon a gyorsulást a grafikon meredeksége ábrázolja. A pozitív meredekség pozitív gyorsulást, a negatív meredekség negatív gyorsulást (vagy lassulást), a vízszintes vonal pedig a gyorsulás hiányát jelzi.
7. Kérdés: Mit sugall egy parabolagörbe egy helyzet-idő grafikonon? Válasz: Egy parabolagörbe egy helyzet-idő grafikonon azt sugallja, hogy a tárgy állandó gyorsulás alatt van. A görbe alakja kvadratikus, ami összhangban van az kinematikai egyenlettel.
8. Kérdés: Egy pozíció-idő grafikonon hogyan állapítható meg, hogy egy objektum előre vagy hátra mozog-e a kiindulópontjához képest? Válasz: Ha a görbe vagy vonal a pozíció-idő grafikonon emelkedik (felfelé mozog), az azt jelzi, hogy az objektum előre (vagy pozitív irányban) mozog. Ha a görbe vagy vonal csökken (lefelé mozog), az azt mutatja, hogy az objektum hátra (vagy negatív irányban) mozog a kiindulópontjához képest.
9. Kérdés: Hogyan néz ki egy szabadon eső tárgy a sebesség-idő grafikonon? Válasz: Egy szabadon eső tárgy esetében (a légellenállást figyelmen kívül hagyva) a sebesség-idő grafikon egy pozitív meredekségű egyenes lenne (ha nyugalmi helyzetből indulunk ki) az állandó gravitációs gyorsulás miatt. A meredekség a gyorsulás értékét jelölné, ami a Földön körülbelül
10. Kérdés: Ha egy tárgy nyugalmi állapotban van, hogyan nézne ki a gyorsulása az idő függvényében? Válasz: Egy nyugalmi állapotban lévő tárgy gyorsulása az idő függvényében egy vízszintes vonal lenne az időtengelyen, ami azt jelzi, hogy a gyorsulás a teljes időtartam alatt nulla.
