Torricellijev teorem – problemi i rješenja

Torricellijev teorem – problemi i rješenja

1. Cijev visine 100 cm napunjena je vodom. Otvor Q nalazi se 10 cm iznad tla. Kolika je horizontalna udaljenost (x)?

Poznato:

Udaljenost između rupe i površine vode (h) = 100 cm – 10 cm = 90 cm = 0.9 m

Ubrzanje zbog gravitacije (g) = 10 m/ ^s²

Traži se: Udaljenost od x

rješenje:

Brzina protoka vode u rupi

v = brzina , g = ubrzanje uslijed gravitacije , h = udaljenost između rupe i površine vode

Brzina protoka vode u rupi:

Vrijeme u zraku

Gibanje vode iz rupe prema tlu je gibanje projektilaGibanje projektila može se razumjeti odvojenom analizom horizontalne i vertikalne komponente gibanja. Gibanje x odvija se konstantnom brzinom, a gibanje y odvija se konstantnim ubrzanjem gravitacije.

U ovom problemu, vertikalno gibanje se analizira kao gibanje slobodnog pada.

Izračunajte vrijeme u zraku koristeći jednadžbu slobodnog pada.

Poznato:

Visina rupe (y) = 10 cm = 0.1 m

Ubrzanje zbog gravitacije (g) = 10 m/ ^s²

Traži se: Vremenski interval (t)

rješenje:

y = 1/2 gt ^{​​​​2}

0.1 = 1/2 (10) ^t²

0.1 = 5 t ²

t² = ^0.1 / 5

t² = ²

t = √0.02 sekunde

Horizontalna udaljenost (x):

Poznato:

Početna brzina (v _o = v _ox ) = 3√2 m/s

Vrijeme u zraku (t) = √0.02 sekunde

Traži se: Horizontalna udaljenost (x)

rješenje:

v = x / t

x = vt = (3√2)(√0.02) = (3)(1.41)(0.14) = 0.59 = 0.6 metara

2. Spremnik s vodom visine 1 metar. U točki P nalazi se rupa. Kolika je brzina protoka vode u rupi? Ubrzanje zbog gravitacije je 10 m/ ^s².

Poznato:

Udaljenost između rupe i površine vode (h) = 100 cm – 80 cm = 20 cm = 0.2 m

Ubrzanje zbog gravitacije (g) = 10 m/ ^s²

Traži se: Brzina protoka vode na rupi (v)

rješenje:

Brzina protoka vode u rupi:

3. Velikie-kada sadrži vodu i nalazi se slavina kao što je prikazano na slici ispod. Ako je g = 10 ms^-2, tada je brzina vode iz slavine…

Poznato:

Visina (v) = 85 cm – 40 cm = 45 cm = 0.45 metara

Ubrzanje zbog gravitacije (g) = 10 m/ ^s²

Traži se: Brzina vode (v)

rješenje:

T orricellijev teorem kaže da je brzina vode kroz otvor udaljen h od površine vode jednaka brzini slobodnog pada vode s visine h.

Brzina vode izračunava se pomoću formule za slobodno gibanje pada a v _t ² = 2 gh

v _t ² = 2 gh = 2(10)(0.45) = 9

v _t = √9 = 3 m/s

4. Kada je napunjena vodom, a na zidu se nalazi rupa (vidi sliku dolje ). Brzina vode koja izlazi iz rupe je… (g = 10 ms ^-2 )

Poznato:

Visina (v) = 1.5 m – 0.25 m = 1.25 metara

Ubrzanje zbog gravitacije (g) = 10 m/ ^s²

Traži se: Brzina vode (v)

rješenje:

v _t ² = 2 gh = 2(10)(1.25) = 25

v _t = √25 = 5 m/s

5. Spremnik sadrži vodu visoku do 1 metra (g = 10 ms ^-2 ) i na stijenci ima rupu za curenje (vidi sliku ispod ). Brzina vode koja izlazi iz rupe je...

Poznato:

Visina (v) = 1 m – 0.20 m = 0.8 metara

Ubrzanje zbog gravitacije (g) = 10 m/ ^s²

Traži se: Brzina vode (v)

rješenje:

v _t ² = 2 gh = 2(10)(0.8) = 16

v _t = √16 = 4 m/s

1. Što opisuje Torricellijev teorem?
   • Odgovor: Torricellijev teorem povezuje brzinu fluida koji izlazi iz otvora s visinom stupca fluida iznad otvora, pretpostavljajući stalan, neviskozan (bez viskoznosti) i nestlačiv tok.
2. Kako se Torricellijev teorem matematički izražava?
   • Odgovor: Teorem se izražava kao v=√2gh​, Gdje $v$ je brzina istjecanja, $g$ je ubrzanje zbog gravitacije, a $h$ je visina stupca fluida iznad otvora.
3. Pod kojim je pretpostavkama izveden Torricellijev teorem?
   • Odgovor: Teorem pretpostavlja da je fluid nestlačiv i neviskozan, da je tok stalan i da se fluidu ne dodaje niti oduzima dodatna energija.
4. Ako posuda ima dva otvora na različitim dubinama, kako će se usporediti brzine tekućina koje izlaze iz otvora?
   • Odgovor: Tekućina koja izlazi iz rupe bliže dnu imat će veću brzinu od tekućine iz više rupe. To je zato što je tlak (a time i potencijalna energija) veći na većim dubinama.
5. Zašto brzina istjecanja ne ovisi o obliku ili površini presjeka spremnika?
   • Odgovor: Torricellijev teorem uzima u obzir samo potencijalnu energiju zbog visine stupca fluida iznad otvora. Oblik posude ne mijenja tu visinu, pa brzina istjecanja ostaje ista.
6. Po čemu se stvarna brzina fluida koji istječe iz otvora razlikuje od predviđanja Torricellijevog teorema u stvarnim situacijama?
   • Odgovor: U stvarnim situacijama, čimbenici poput viskoznosti fluida, turbulencije i oblika otvora mogu utjecati na stvarnu brzinu, često je čineći manjom od one koju predviđa Torricellijev teorem.
7. Kakav je odnos između Torricellijevog teorema i zakona o očuvanju energije?
   • Odgovor: Torricellijev teorem izveden je iz zakona o očuvanju mehaničke energije. On izjednačava potencijalnu energiju na površini fluida s kinetičkom energijom na otvoru.
8. Ako se otvor nalazi na samom vrhu posude napunjene tekućinom, kako Torricellijev teorem opisuje brzinu istjecanja?
   • Odgovor: Visina $h$ iznad otvora bila bi nula, pa bi prema Torricellijevom teoremu brzina istjecanja bila nula.
9. Kako prisutnost atmosferskog tlaka utječe na predviđanja Torricellijevog teorema?
   • Odgovor: Torricellijev teorem pretpostavlja da je spremnik otvoren prema atmosferi i stoga atmosferski tlak djeluje jednako po cijeloj površini fluida. Taj se tlak poništava kada se uzme u obzir razlika tlaka po visini fluida, tako da teorem ostaje valjan.
10. Što se događa s brzinom istjecanja kako se količina tekućine u posudi smanjuje?

• Odgovor: Kako se razina tekućine smanjuje, visina $h$ iznad otvora se smanjuje. Prema Torricellijevom teoremu, brzina istjecanja bi se smanjivala kako v=√2gh​.

Ova pitanja i odgovori istražuju temelje, implikacije i primjenu Torricellijevog teorema u dinamici fluida.