Hookeov zakon i elastičnost – problemi i rješenja

Promjena u duljini

1. Štap ima duljinu L, a vuče ga sila F. Izduženje je ∆L. Kolika je veličina sile ako je promjena duljine 4∆L?

Poznato:

Sila 1 (F1 ₎ = F

Promjena duljine 1 (∆L ₁ ) = ∆L

Promjena duljine 2 (∆L ₂ ) = 4 ∆L

Traži se: Sila 2 (F ₂ )

rješenje:

Jednadžba Hookeovog zakona

k = F / ΔL

k = konstanta elastičnosti, F = sila F, ΔL = promjena duljine

k1 = _k2

F1 / _∆L1 = _F2 / _∆L2

F / ΔL = F² _/ 4ΔL

F/1 = F2 _/ 4

F = F² _/ 4

F2 = _4F

2. Hookeov zakon i elastičnost – problemi i rješenja 1 Tri opruge su spojene serijski-paralelno, kao što je prikazano na slici ispod. Opruga 1 ima konstantnih 200 N/m, opruga 2 ima konstantnih 200 N/m i opruga 3 ima konstantnih 200 N/m. Masa objekta je 100 grama i ubrzanje zbog gravitacije je 10 m/s²Kolika je promjena duljine o ekvivalent Proljeće.

Poznato:

Masa objekta (m) = 100 grama = 0.1 kg

k1 = k2 ₌ k3 ₌₂₀₀ N/m

w = mg = (0.1 kg)(10 m/s² ⁾ = 1 kg m/s² ⁼ 1 Newton

Traži se: promjena duljine ekvivalentne opruge.

rješenje:

Hookeov zakon i elastičnost – problemi i rješenja 2 Odredite ekvivalent konstanta opruge:

Opruga 2 (k2 ₎ i opruga 3 (k3 ₎ su spojene paralelno. Ekvivalentna konstanta opruge:

kp ₌ k2 + k3 _{= 200 +}₂₀₀ = 400 Nm ⁻¹

Opruga 1 (k1 ₎ i opruga p (kP ₎ spojene su serijski. Ekvivalentna konstanta opruge:

1/k _s = 1/k _p + 1/k ₁ = 1/400 + 1/200 = 1/400 + 2/400 = 3/400

k _s = 400/3 Nm ⁻¹

Ekvivalentna konstanta opruge je 400/3 Nm ^-1

Odredite promjenu duljine ekvivalentne opruge :

Jednadžba Hookeovog zakona:

∆x = F / k = w / k

Promjena duljine ekvivalentne opruge :

∆x = w / k

∆x = 1 : 400/3 = 1 x 3/400 = 3/400 = 0.0075 m = 0.75 cm

Konstanta proljeća

3. Kolika je konstanta opruge prema podacima u donjoj tablici.

Hookeov zakon i elastičnost – problemi i rješenja 3

rješenje:

Jednadžba Hookeovog zakona:

k = F / Δx

Konstanta opruge:

k = 0.98 / 0.0008 = 1.96 / 0.0016 = 2.94 / 0.0024 = 3.92 / 0.0032 = 1.225 N/m

4. Tri opruge su spojene serijski-paralelno kao što je prikazano na slici ispod. Konstante opruge k1 ₌ k2 ₌ 3 Nm ⁻¹ i k3 ₌ 6 Nm ⁻¹ . Koja je konstanta ekvivalenta opruge?

Poznato: Hookeov zakon i elastičnost – problemi i rješenja 4

Konstanta opruge 1 (k1 ₎ = konstanta opruge 2 (k2 ₎ = 3 Nm ⁻¹

Konstanta opruge 3 (k3 ₎ = 6 Nm ⁻¹

Traži se: konstanta ekvivalentne opruge (k)

rješenje:

Opruga 1 (k1 ₎ i opruga 2 (k2 ₎ su spojene paralelno. Konstanta ekvivalentne opruge:

kp ₌ k1 + k2 _{= 3 +}₃ = 6 Nm ⁻¹

Opruga p (kP ₎ i opruga 3 (k3 ₎ su spojene serijski. Konstanta ekvivalentne opruge:

1/k _s = 1/k _p + 1/k ₃ = 1/6 + 1/3 = 1/6 + 2/6 = 3/6

k _s = 6/2 = 3 Nm ⁻¹

Konstanta ekvivalenta opruge = 3 Nm ⁻¹.

5. Opruga duljine L, povučena težinom w. Prema podacima u donjoj tablici, koja je konstanta ekvivalentne opruge:

Hookeov zakon i elastičnost – problemi i rješenja 5

rješenje:

k = F / Δx

Konstanta opruge:

k = 10 / 0.02 = 20 / 0.04 = 30 / 0.06 = 40 / 0.08 = 500 N/m

6. Prema podacima u donjoj tablici, koja je konstanta ekvivalentne opruge:

Hookeov zakon i elastičnost – problemi i rješenja 6

rješenje:

k = F / Δx = w / Δx = mg / Δx

k = konstanta elastičnosti, w = težina, m = masa, g = ubrzanje sile teže, Δx = promjena duljine

Konstanta opruge:

k = 2 / 0.05 = 4 / 0.1 = 6 / 0.15 = 8 / 0.20 = 10 / 0.25 = 40 N/m

7. Ako je k ₁ = 4k, koja je konstanta ekvivalentne opruge.

rješenje: Hookeov zakon i elastičnost – problemi i rješenja 7

Dvije opruge su spojene paralelno. Konstanta ekvivalentne opruge:

kp ₌ k + k = 2k

Dvije opruge su spojene serijski. Konstanta ekvivalentne opruge

1/k _s = 1/k _p + 1/k ₁ = 1 / 2k + 1 / 4k = 2 / 4k + 1 / 4k = 3 / 4k

k ₌ 4k/3

8. Prema podacima u donjoj tablici, koja je konstanta ekvivalentne opruge:

Hookeov zakon i elastičnost – problemi i rješenja 8

rješenje:

Jednadžba Hookeovog zakona:

k = F / ΔL

Konstanta opruge:

k = 2 / 0.0050 = 3 / 0.0075 = 4 / 0.01 = 400 Nm ^-1

9. Najmanja konstanta je…

Hookeov zakon i elastičnost – problemi i rješenja 9

Riješenje

Jednadžba Hookeovog zakona:

k = F / Δx

k = konstanta elastičnosti, F = sila, Δx = promjena duljine

Konstanta elastičnosti:

k _A = F / Δx = 1 / 0.05 = 20 N/m

kB = F / Δx = 2 / 0.025 = 80 N/ _m

kC = F / Δx = 1 / 0.025 = 40 N/ _m

kD = F / Δx = 2 / 0.05 = 40 N/ _m

k _E = F / Δx = 2 / 0.25 = 8 N/m

10. Koja je najveća konstanta prema podacima u donjoj tablici?

Hookeov zakon i elastičnost – problemi i rješenja 10

rješenje:

Jednadžba Hookeovog zakona:

k = F / Δx

kA = 7 / 0.035 = 200 _Nm^-1

kB = 8 / 0.025 = 320 _Nm^-1

kC = 6 / 0.020 = 300 _Nm^-1

kD = 9 / 0.045 = 200 _Nm^-1

k _E = 10 / 0.033 = 303 Nm ^-1

Najveća konstanta je 320 Nm ^-1.

11. Grafikon ispod prikazuje vezu između promjene sile (ΔF) i povećanja duljine (Δx). Koji je graf koji prikazuje najmanju konstantu elastičnosti?

Hookeov zakon i elastičnost – problemi i rješenja 11

Riješenje

Jednadžba Hookeovog zakona:

k = F / Δx

Δx = promjena duljine, F = sila, k = konstanta elastičnosti

Konstanta elastičnosti:

kA = F / Δx = 1 / 8 = _0.125

k _B = F / Δx = 8 / 3 = 2.7

kC = F / Δx = 6 / 6 = ₁

kD = F / Δx = 3 / 5 = _0.6

k _E = F / Δx = 2 / 4 = 0.5

12. Koji graf h ima najveće elastične konstante?

Hookeov zakon i elastičnost – problemi i rješenja 12

rješenje:

Konstanta elastičnosti :

kA ₌ F / Δx = 50 / 10 = 5

k _B = F / Δx = 50 / 0.1 = 500

kC = F / Δx = 5 / 0.1 = ₅₀

kD = F / Δx = 500 / 0.1 = ₅₀₀₀

k _E = F / Δx = 500 / 10 = 50

Potencijalna energija opruge:

13. Grafikon ispod prikazuje odnos između sile i promjene duljine opruge. Kolika je potencijalna energija opruge, prema grafu ispod?

Poznato: Hookeov zakon i elastičnost – problemi i rješenja 13

F = 40 N

x = 0.08 metara

Traži se : Potencijalna energija proljeća

rješenje:

Konstanta opruge:

k = F / Δx = 40 / 0.08 = 500 N/m

Potencijalna energija opruge:

PE = 1/2 kx ² = 1/2 (500)(0.08) = (250)(0.08) = 20 džula

14. Blok mase 2 kg pričvršćen je za oprugu. Ako je povećanje duljine opruge 5 cm, a ubrzanje zbog gravitacije 10 m/s² ^, kolika je potencijalna energija opruge?

Poznato: Hookeov zakon i elastičnost – problemi i rješenja 14

Povećanje duljine (Δx) = 5 cm = 0.05 metara

Ubrzanje zbog gravitacije (g) = 10 m/ ^s²

Masa bloka (m) = 2 kg

Težina bloka (w) = mg = (2)(10) = 20 Newtona

Traži se: potencijalna energija proljeća

rješenje:

Konstanta elastičnosti:

k = w / Δx = 20 / 0.05 = 400 N/m

Potencijalna energija opruge:

PE = ½ k Δx ² = ½ (400)(0.05) ² = (200)(0.0025)

PE = 0.5 Džula

15. Promjena duljine opruge iznosi 5 cm kada se povuče silom od 20 N. Kolika je potencijalna energija opruge kada se promjena duljine opruge poveća na 10 cm?

Poznato:

Promjena duljine (Δx) = 5 cm = 0.05 metara

Sila (F) = 20 Newtona

Traži se : Potencijalna energija proljeća

rješenje:

Konstanta proljeća:

k = F / Δx = 20 / 0.05 = 400 N/m

Potencijalna energija opruge kada je Δx = 10 cm = 0.1 m:

PE = ½ k Δx ² = ½ (400)(0.1) ² = (200)(0.01)

PE = 2 Džula

Težina objekta

16. Četiri opruge kod kojih je konstanta svake opruge 800 N/m, spojene serijski-paralelno, kao što je prikazano na slici. Na oprugu je pričvršćen blok. Promjena duljine svih opruga iznosi 5 cm. Kolika je težina blokova?

Poznato: Hookeov zakon i elastičnost – problemi i rješenja 15

k1 = k2 ₌ k3 ₌ k4 ₌₈₀₀ Nm ⁻¹

Δx = 5 cm = 0.05 m

Traži se: težina bloka (w)

rješenje:

Odredite konstantu ekvivalentne opruge

Hookeov zakon i elastičnost – problemi i rješenja 16 Proljeće 1 (k₁), opruga 2 (k₂) i opruga 3 (k₃) su spojeni paralelno. Konstanta ekvivalentne opruge:

kp ₌ k1 ₊ k2 + k3 ₌ 800 + 800 + 800 = 2400 Nm ₋¹

Opruga p (kP ₎ i opruga 4 (k4 ₎ su spojene serijski. Konstanta ekvivalentne opruge:

1/k _s = 1/k _p + 1/k ₄ = 1/2400 + 1/800 = 1/2400 + 3/2400 = 4/2400

k _s = 2400/4 = 600 Nm ⁻¹

Konstanta ekvivalentne opruge je 600 Nm ^-1

Odredite težinu predmeta:

Jednadžba Hookeovog zakona:

F = k Δx ili w = k Δx

Težina objekta:

w = (600 Nm ^-1 )(0.05 m) = 30 Newtona

17. Četiri opruge su spojene serijski-paralelno. Konstanta svake opruge je 1600 N/m. Na kraju opruge je pričvršćen blok, kao što je prikazano na slici. Povećanje duljine svih opruga je 5 cm. Kolika je težina blokova?

Poznato: Hookeov zakon i elastičnost – problemi i rješenja 17

k1 = k2 ₌ k3 ₌ k4 ₌₁₆₀₀ Nm ⁻¹

Δx = 5 cm = 0.05 m

Traži se: težina bloka

rješenje:

Odredite konstantu ekvivalentne opruge

Hookeov zakon i elastičnost – problemi i rješenja 18 Proljeće 1 (k₁), opruga 2 (k₂) i opruga 3 (k₃) su spojeni paralelno. Konstanta ekvivalentne opruge:

kP = k1 ₊ k2 ₊ k3 ₌ 1600 + 1600 + 1600 = 4800 Nm ₋¹

Opruga p (kP ₎ i opruga 4 (k4 ₎ su spojene serijski. Konstanta ekvivalentne opruge:

1/k _s = 1/k _p + 1/k ₄ = 1/4800 + 1/1600 = 1/4800 + 3/4800 = 4/4800

k _s = 4800/4 = 1200 Nm ⁻¹

Konstanta ekvivalentne opruge je 1200 Nm ^-1

Odredite težinu predmeta:

Jednadžba Hookeovog zakona:

F = k Δx ili w = k Δx

Težina objekta:

w = (1200 Nm ^-1 )(0.05 m) = 60 Newtona

Što je Hookeov zakon?
- Odgovor: Hookeov zakon opisuje odnos između sile primijenjene na elastični objekt i rezultirajuće deformacije (obično izduženja ili kompresije). Točnije, navodi da je sila potrebna za kompresiju ili istezanje opruge izravno proporcionalna udaljenosti na koju je istegnuta ili stisnuta, pod uvjetom da se ne prekorači granica elastičnosti.
Što znači kada kažemo da je materijal dosegao svoju granicu elastičnosti?
- Odgovor: Kada materijal dostigne svoju granicu elastičnosti, to znači da se više neće vratiti u svoj izvorni oblik ili veličinu nakon što se ukloni sila deformacije. Iznad ove točke, materijal se ponaša plastično i može se trajno deformirati.
Kakav je odnos konstante opruge (k) i krutosti opruge?
- Odgovor: Konstanta opruge (k) je mjera krutosti opruge. Veća vrijednost k označava tvrđu oprugu, što znači da je potrebna veća sila za njezinu deformaciju u određenoj mjeri, dok manja vrijednost k označava podatniju ili mekšu oprugu.
Koje su jedinice za konstantu opruge u SI sustavu?
- Odgovor: U SI sustavu, jedinice za konstantu opruge (k) su Newtoni po metru (N/m).
Zašto se ponašanje opisano Hookeovim zakonom smatra linearnim?
- Odgovor: Ponašanje se smatra linearnim jer je odnos između primijenjene sile (F) i pomaka (x) ravna crta, s odnosom danim kao $F = k x$ , gdje je k konstanta za zadani materijal ili oprugu.
Je li Hookeov zakon primjenjiv samo na opruge?
- Odgovor: Ne, Hookeov zakon primjenjiv je na bilo koji elastični materijal koji se linearno deformira s primijenjenom silom, do svoje granice elastičnosti. Dok su opruge čest primjer, drugi materijali poput gumenih traka, metala pod malim deformacijama i nekih bioloških tkiva također mogu pokazivati ponašanje opisano Hookeovim zakonom.
Što se događa ako se materijal rastegne preko svoje granice elastičnosti, ali ne dovoljno da se slomi?
- Odgovor: Ako se materijal rastegne preko svoje granice elastičnosti, ali ne do točke pucanja, doživjet će plastičnu deformaciju. To znači da se materijal, kada se sila ukloni, neće u potpunosti vratiti u svoj izvorni oblik, a ostat će i neka trajna deformacija.
Kakve veze imaju pojmovi naprezanja i naprezanja s Hookeovim zakonom?
- Odgovor: Naprezanje je sila primijenjena po jedinici površine, a deformacija je relativna deformacija materijala. Hookeov zakon u smislu naprezanja i deformacije kaže da je naprezanje izravno proporcionalno deformaciji, pri čemu je konstanta proporcionalnosti Youngov modul materijala. Ovo je drugi način izražavanja linearnog odnosa između sile i deformacije, ali za rasute materijale, a ne samo za opruge.
Što je Youngov modul i kako je povezan s elastičnošću?
- Odgovor: Youngov modul, obično predstavljen slovom $E$ , je mjera krutosti materijala u smislu napetosti ili kompresije. Opisuje sposobnost materijala da se odupre deformaciji pod djelovanjem primijenjene sile. Veći Youngov modul označava krući materijal i definiran je kao omjer naprezanja i deformacije.
Mogu li se svi materijali opisati Hookeovim zakonom?

Odgovor: Ne, ne ponašaju se svi materijali prema Hookeovom zakonu. Mnogi materijali, posebno oni koji su nelinearni, viskoelastični ili plastični, ne pokazuju linearni odnos između naprezanja i deformacije. Hookeov zakon je idealizirani opis i najtočniji je za male deformacije elastičnih materijala.