श्रृंखला और समानांतर में स्प्रिंग - समस्याएं और समाधान

1. एक 160 ग्राम की वस्तु एक स्प्रिंग के एक सिरे से जुड़ी है और स्प्रिंग की लंबाई में 4 सेंटीमीटर का परिवर्तन होता है। नीचे दिए गए चित्र में दर्शाए अनुसार, श्रृंखला और समानांतर क्रम में जुड़ी तीन स्प्रिंगों की लंबाई में कितना परिवर्तन होगा?

ज्ञात :

स्प्रिंग की लंबाई में परिवर्तन (Δx) = 4 सेमी = 0.04 मीटर श्रृंखला और समानांतर में स्प्रिंग - समस्याएं और समाधान 1

द्रव्यमान (मीटर) = 160 ग्राम = 0.16 किलोग्राम

गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण (g) = 10 m/ ^s²

भार (w) = मिलीग्राम = (0.16)(10) = 1.6 न्यूटन

तीन स्प्रिंगों की लंबाई में परिवर्तन (Δx) ज्ञात करना है।

समाधान:

हुक के नियम का समीकरण :

k = w / Δx = 1.6 / 0.04 = 40 N/m

तीनों स्प्रिंगों का स्थिरांक समान है, k = 40 N/m।

समतुल्य स्थिरांक ज्ञात कीजिए:

स्प्रिंग 2 (k ₂ ) और स्प्रिंग 3 (k ₃ ) समानांतर क्रम में जुड़ी हैं। समतुल्य स्थिरांक क्या है?

k ₂₃ = k ₂ + k ₃ = 40 + 40 = 80 N/m

स्प्रिंग 1 (k ₁ ) और स्प्रिंग 23 (k ₂₃ ) श्रृंखला में जुड़े हुए हैं। समतुल्य स्थिरांक :

1/k = 1/k³ ₊ 1/k¹² ₌ 1/40 + 1/80 = 2/80 + 1/80 = 1/80

के = 80/3

तीन स्प्रिंगों की लंबाई में परिवर्तन ज्ञात कीजिए:

Δx = w / k = 1.6 : 80/3 = (1.6)(3/80) = 4.8 / 80 = 0.06 मीटर = 6 सेमी

2. एक ही स्थिरांक वाले तीन स्प्रिंग समानांतर और श्रृंखला क्रम में जुड़े हुए हैं , और एक स्प्रिंग के एक सिरे पर 2 किलोग्राम की वस्तु लगी हुई है, जैसा कि नीचे दिए गए चित्र में दिखाया गया है। स्प्रिंग स्थिरांक k₁ ₌ k₂ ₌ k₃ ₌ 300 N/m है। तीनों स्प्रिंगों की लंबाई में परिवर्तन क्या होगा? गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण g = 10 ms⁻² ^है ।

ज्ञात :

स्प्रिंग स्थिरांक k₁= के₂ = के₃= 300 एनएम^-1

गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण (g) = 10 ^ms⁻²

वस्तु का द्रव्यमान (मीटर) = 2 किलोग्राम

वस्तु का भार (w) = मिलीग्राम = (2)(10) = 20 न्यूटन

वांछित: तीनों स्प्रिंगों की लंबाई में परिवर्तन (Δx)

समाधान:

समतुल्य स्थिरांक ज्ञात कीजिए:

स्प्रिंग 1 (k ₁ ) और स्प्रिंग 2 (k ₂ ) समानांतर क्रम में जुड़े हैं। समतुल्य स्थिरांक :

k ₁₂ = k ₁ + k ₂ = 300 + 300 = 600 N/m

स्प्रिंग 3 (k ₃ ) और स्प्रिंग 12 (k ₁₂ ) श्रृंखला में जुड़े हुए हैं। समतुल्य स्थिरांक :

1/k = 1/k³ ₊ 1/k¹² ₌ 1/300 + 1/600 = 2/600 + 1/600 = 3/600

k = 600/3 = 200 N/m

तीनों स्प्रिंगों की लंबाई में परिवर्तन ज्ञात कीजिए:

Δx = w / k = 20/200 = 2/20 = 1/10 = 0.1 मीटर

3. तीन स्प्रिंग नीचे दिए गए चित्र में दर्शाए अनुसार श्रृंखला और समांतर क्रम में जुड़े हुए हैं। यदि स्प्रिंग स्थिरांक k = 50 Nm⁻¹ है ^और एक स्प्रिंग के एक सिरे पर 400 ग्राम द्रव्यमान जुड़ा हुआ है, तो तीनों स्प्रिंगों की लंबाई में परिवर्तन क्या होगा?

ज्ञात :

स्प्रिंग स्थिरांक 1 (k₁) = k = 50 एनएम^-1

स्प्रिंग स्थिरांक 2 (k ₂ ) = k = 50 Nm ^-1

स्प्रिंग स्थिरांक 3 (k ₃ ) = 2k = 2 (50 Nm ^-1 ) = 100 Nm ^-1

वस्तु का द्रव्यमान (मीटर) = 400 ग्राम = 0.4 किलोग्राम

गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण (g) = 10 m/ ^s²

वस्तु का भार (w) = मिलीग्राम = (0.4)(10) = 4 न्यूटन

लंबाई में परिवर्तन (Δx) ज्ञात करना है।

समाधान:

समतुल्य स्थिरांक ज्ञात कीजिए:

k ₁₂ = k ₁ + k ₂ = 50 + 50 = 100 N/m

1/k = 1/k³ ₊ 1/k¹² ₌ 1/100 + 1/100 = 2/100

k = 100/2 = 50 N/m

तीनों स्प्रिंगों की लंबाई में परिवर्तन ज्ञात कीजिए:

Δx = w / k = 4 / 50 = = 0.08 मीटर = 8 सेमी

श्रृंखला में स्प्रिंगों को संयोजित करने से समग्र स्प्रिंग स्थिरांक पर क्या प्रभाव पड़ता है?
- उत्तर: जब स्प्रिंगों को श्रृंखला में जोड़ा जाता है, तो कुल स्प्रिंग स्थिरांक कम हो जाता है। समतुल्य स्प्रिंग स्थिरांक का व्युत्क्रम व्यक्तिगत स्प्रिंग स्थिरांकों के व्युत्क्रमों का योग होता है: 1/k $=1/ k ^{1} + 1 / k ^{2}$ .
समानांतर क्रम में स्प्रिंगों को जोड़ने पर समग्र स्प्रिंग स्थिरांक में क्या परिवर्तन होता है?
- उत्तर: समानांतर क्रम में स्प्रिंगों को संयोजित करने से प्राप्त होने वाला कुल स्प्रिंग स्थिरांक, व्यक्तिगत स्प्रिंग स्थिरांकों का योग होता है: k $= k_{1} + k_{2}$ .
यदि दो समान स्प्रिंगों को श्रृंखला में व्यवस्थित किया जाए, तो उनका संयुक्त स्प्रिंग स्थिरांक, एक व्यक्तिगत स्प्रिंग के स्प्रिंग स्थिरांक से किस प्रकार भिन्न होगा?
- उत्तर: संयुक्त स्प्रिंग स्थिरांक, अलग-अलग स्प्रिंगों में से किसी एक के स्प्रिंग स्थिरांक का आधा होगा।
जब श्रृंखला में जुड़े स्प्रिंगों पर बल लगाया जाता है तो उनके विस्तार या संपीड़न पर क्या प्रभाव पड़ता है?
- उत्तर: श्रृंखला में लगे स्प्रिंगों के मामले में, एक ही बल प्रत्येक स्प्रिंग को फैलाने या संकुचित करने का कारण बनता है, लेकिन कुल फैलाव (या संकुचन) व्यक्तिगत स्प्रिंगों के फैलाव (या संकुचन) का योग होता है।
यदि समानांतर क्रम में स्थित स्प्रिंगों पर कोई बल लगाया जाता है, तो वह बल किस प्रकार वितरित होगा?
- उत्तर: समांतर क्रम में लगी स्प्रिंगों के लिए, बल स्प्रिंग स्थिरांक के आधार पर स्प्रिंगों के बीच वितरित होता है। उच्च स्प्रिंग स्थिरांक वाली स्प्रिंगें कम स्प्रिंग स्थिरांक वाली स्प्रिंगों की तुलना में बल का अधिक भाग वहन करती हैं।
श्रृंखला में लगी स्प्रिंगों को एक लंबी स्प्रिंग के रूप में क्यों माना जा सकता है?
- उत्तर: श्रृंखला में जुड़े स्प्रिंगों का संयुक्त प्रभाव एक लंबे स्प्रिंग को खींचने के बराबर होता है। अलग-अलग स्प्रिंगों का खिंचाव या संकुचन उसी तरह जुड़ता है जैसे एक लंबे स्प्रिंग में होता है।
समान बल लगने पर, श्रृंखला में जुड़े स्प्रिंगों में संग्रहित संभावित ऊर्जा की तुलना समानांतर में जुड़े स्प्रिंगों में संग्रहित संभावित ऊर्जा से कैसे की जाती है?
- उत्तर: समान बल लगने पर समानांतर क्रम में लगी स्प्रिंगों की तुलना में श्रृंखला क्रम में लगी स्प्रिंगें अधिक संभावित ऊर्जा संग्रहित करती हैं क्योंकि उनमें संयुक्त रूप से अधिक विस्तार या संपीड़न होता है।
यदि समानांतर विन्यास में मौजूद स्प्रिंगों में से एक टूट जाए या अप्रभावी हो जाए, तो सिस्टम के समग्र व्यवहार पर क्या प्रभाव पड़ेगा?
- उत्तर: यदि समानांतर विन्यास में एक स्प्रिंग टूट जाती है, तो शेष स्प्रिंग काम करती रहेंगी। हालांकि, सिस्टम का कुल स्प्रिंग स्थिरांक कम हो जाएगा, और सिस्टम पहले की तरह पर्याप्त प्रत्यानयन बल नहीं लगा पाएगा।
समान बल लगने पर समानांतर क्रम में लगी स्प्रिंगों की तुलना में श्रृंखला क्रम में लगी स्प्रिंगें अधिक विरूपण के प्रति अधिक संवेदनशील क्यों होती हैं?
- उत्तर: श्रृंखला में जुड़े स्प्रिंगों में, प्रत्येक स्प्रिंग पर समान बल लगता है, जिससे प्रत्येक स्प्रिंग फैलती या सिकुड़ती है। कुल विरूपण व्यक्तिगत विरूपणों का योग होता है। समानांतर क्रम में, बल स्प्रिंगों के बीच वितरित हो जाता है, इसलिए प्रत्येक स्प्रिंग पर लगने वाला प्रभावी बल कम हो जाता है, जिसके परिणामस्वरूप व्यक्तिगत विरूपण भी कम होते हैं।
व्यवहारिक अनुप्रयोगों में, इंजीनियर स्प्रिंग को श्रृंखला में उपयोग करने के बजाय समानांतर में उपयोग करना क्यों पसंद कर सकते हैं?

उत्तर: इंजीनियर अधिक स्प्रिंग स्थिरांक प्राप्त करने के लिए समानांतर क्रम में स्प्रिंग का उपयोग कर सकते हैं, जिससे सिस्टम अधिक कठोर हो जाता है। यह व्यवस्था अतिरिक्त सुरक्षा भी प्रदान करती है; यदि एक स्प्रिंग खराब हो जाती है, तो सिस्टम काम करता रहता है, हालांकि कुल स्प्रिंग स्थिरांक कम हो जाता है।