कणों की गतिशीलता – समस्याएं और समाधान

कणों की गतिशीलता – समस्याएं और समाधान

1. 6 किलोग्राम द्रव्यमान वाली वस्तु A और 4 किलोग्राम द्रव्यमान वाली वस्तु B एक डोरी से जुड़ी हुई हैं और उन पर 60 N का बल F लग रहा है, जैसा कि नीचे दिए गए चित्र में दिखाया गया है। फर्श और दोनों वस्तुओं के बीच गतिज घर्षण गुणांक 0.5 है (tan θ = ¾)। गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण 10 m/s² है ^। तनाव बल का परिमाण क्या है?

ज्ञात :

वस्तु A का द्रव्यमान (मील में)_A) = 6 किलो

वस्तु B का द्रव्यमान (m _B ) = 4 kg

बल (F) = 60 न्यूटन

वस्तु और फर्श के बीच गतिज घर्षण गुणांक (μ _k ) = 0.5

गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण (g) = 10 m/s²²

तन θ = 3/4

वांछित : तनाव बल (T)

समाधान:

बल F का क्षैतिज घटक:

F _x = F cos θ

F _x = (60)(4/5) = (4)(12) = 48 N

बल F का ऊर्ध्वाधर घटक:

F _y = F sin θ

F _y = (60)(3/5) = (3)(12) = 36 N

वस्तु A पर लगने वाला अभिलंब बल :

N _A = w _A = m _A g = (6)(10) = 60 N

वस्तु B पर लगने वाला अभिलंब बल:

N _B + F _y – w _B = 0

एन _बी + एफ _वाई = डब्ल्यू _बी

N _B = w _B – F _y = m _B g – F _y = (4)(10) – 36 = 40 – 36 = 4 N

वस्तु A और फर्श के बीच गतिज घर्षण बल:

एफ _केए = μ _के एन _ए = (0.5)(60) = 30 एन

वस्तु B और फर्श के बीच गतिज घर्षण बल:

एफ _केबी = μ _के एन _बी = (0.5)(4) = 2 एन

दोनों वस्तुओं का त्वरण ज्ञात कीजिए:

ΣF = ma

एफ _एक्स - टी + टी - एफ _केबी - एफ _केए = (एम _ए + एम _बी ) ए

एफ _एक्स - एफ _केबी - एफ _केए = (एम _ए + एम _बी ) ए

48 – 2 – 30 = (6 + 4) a

16 = 10 ए

ए = 16/10

a = 1.6 m/s ²

तनाव बल की गणना करें:

वस्तु ए :

ΣF = ma

T _A – f _kA = m _A a

टी _ए – 30 = (6)(1.6)

टी _ए – 30 = 9.6

T _A = 9.6 + 30 = 39.6 N

वस्तु बी :

ΣF = ma

F _x – f _kB – T _B = m _B a

48 – 2 – टी _बी = (4)(1.6)

46 – टीबी ₌ 6.4

46 – 6.4 = _टीबी

टीबी ₌ 39.6 एन

2. यदि दोनों ब्लॉकों और फर्श के बीच गतिज घर्षण गुणांक 0.2 है, तो दोनों वस्तुओं का त्वरण क्या होगा? (cos 37 ^° = 0,8, sin 37 ^° = 0,6)

ज्ञात :

वस्तु A का द्रव्यमान (मील में)_A) = 4 किलो

वस्तु B का द्रव्यमान (m _B ) = 2 kg

बल (F) = 30 न्यूटन

वस्तु और फर्श के बीच गतिज घर्षण गुणांक (μ _k ) = 0.2

गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण (g) = 10 m/s²²

cos 37 ^o = 0.8

sin 37 ^o = 0.6

दोनों वस्तुओं का त्वरण ज्ञात करना है।

समाधान:

बल F का क्षैतिज घटक:

F _x = F cos θ

F _x = (30)(0.8) = 24 N

बल F का ऊर्ध्वाधर घटक:

F _y = F sin θ

F _y = (30)(0.6) = 18 N

वस्तु A पर लगने वाला अभिलंब बल:

N _A = w _A = m _A g = (4)(10) = 40 N

वस्तु B पर लगने वाला अभिलंब बल:

N _B + F _y – w _B = 0

एन _बी + एफ _वाई = डब्ल्यू _बी

N _B = w _B – F _y = m _B g – F _y = (2)(10) – 18 = 20 – 18 = 2 N

वस्तु A और फर्श के बीच गतिज घर्षण बल:

एफ _केए = μ _के एन _ए = (0.2)(40) = 8 एन

वस्तु B और फर्श के बीच गतिज घर्षण बल:

एफ _केबी = μ _के एन _बी = (0.2)(2) = 0.4 एन

दोनों वस्तुओं का त्वरण:

ΣF = ma

एफ _एक्स - एफ _केबी - एफ _केए = (एम _ए + एम _बी ) ए

24 – 0.4 – 8 = (4 + 2) a

15.6 = 6 ए

ए = 15.6 / 6

a = 2.6 m/s ²

3. नीचे दिए गए चित्र में दर्शाए अनुसार, दो वस्तुएँ एक डोरी से एक पुली के ऊपर जुड़ी हुई हैं। वस्तु A का द्रव्यमान = mA _, वस्तु B का द्रव्यमान = mB _और ब्लॉक B का त्वरण a है। गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण g है। ब्लॉक B पर लगने वाला तनाव बल क्या है?

समाधान:

क्षैतिज सतह चिकनी है, इसलिए कोई घर्षण नहीं है। इस प्रणाली को त्वरित करने वाला एकमात्र बल ब्लॉक B का भार है।

सिस्टम का त्वरण:

तनाव बल (T):

समीकरण 1 में m _{A को} समीकरण 2 में m _{A से प्रतिस्थापित करें।}

1. कणों के संदर्भ में स्थैतिकी और गतिकी में क्या अंतर है?
   • उत्तर: स्थिरांक (स्टैटिक्स) संतुलन में कणों पर लगने वाले बलों का अध्ययन करता है, जहां सभी बल संतुलित होते हैं और कोई त्वरण नहीं होता है। दूसरी ओर, गतिकी (डायनामिक्स) उन बलों और परिणामस्वरूप कणों की गति का अध्ययन करती है जब बल असंतुलित होते हैं, जिससे त्वरण उत्पन्न होता है।
2. कण की गति पर न्यूटन का द्वितीय नियम कैसे लागू होता है?
   • उत्तर: न्यूटन का द्वितीय नियम कहता है कि किसी कण पर लगने वाला बल उस कण के द्रव्यमान और उसके त्वरण के गुणनफल के बराबर होता है। $F=ma$यह नियम बताता है कि किसी कण पर लगने वाला बल उसकी गति को किस प्रकार प्रभावित करेगा, यह उसके द्रव्यमान और बल द्वारा उत्पन्न त्वरण पर निर्भर करता है।
3. रेखीय संवेग के संरक्षण का सिद्धांत क्या है, और यह कणों पर कैसे लागू होता है?
   • उत्तर: रेखीय संवेग के संरक्षण का सिद्धांत यह बताता है कि यदि कणों के एक बंद तंत्र पर कोई बाह्य बल कार्य नहीं कर रहा हो, तो उसका कुल रेखीय संवेग स्थिर रहता है। इसका अर्थ यह है कि तंत्र के भीतर कणों के बीच परस्पर क्रिया से पहले और बाद में कुल संवेग समान रहेगा।
4. किसी कण पर किए गए कार्य की अवधारणा, उस पर लगाए गए बल और कण के विस्थापन से किस प्रकार संबंधित है?
   • उत्तर: किसी कण पर किया गया कार्य उस कण पर लगाए गए बल, कण के विस्थापन और बल तथा विस्थापन सदिशों के बीच के कोण के कोसाइन का गुणनफल होता है: $W=Fdगाड़ी\theta$.
5. कण के संदर्भ में गतिज ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा में क्या अंतर है?
   • उत्तर: गतिज ऊर्जा किसी कण की गति के कारण उसकी ऊर्जा होती है और इसे 1/2 द्वारा दर्शाया जाता है। ​mv², जहां $m$ द्रव्यमान है और $v$ यहां σ वेग है। स्थितिज ऊर्जा किसी कण में बल क्षेत्र (जैसे गुरुत्वाकर्षण या विद्युत क्षेत्र) में उसकी स्थिति के कारण संचित ऊर्जा है। स्थितिज ऊर्जा का विशिष्ट सूत्र कण पर लगने वाले बल पर निर्भर करता है।
6. किसी कण पर लगने वाला आवेग उसके संवेग में परिवर्तन से किस प्रकार संबंधित है?
   • उत्तर: किसी कण पर लगने वाला आवेग उस कण पर लगाए गए बल और बल लगने की समयावधि का गुणनफल होता है। यह कण के संवेग में परिवर्तन के बराबर होता है। $I=F\Delta t=\Delta p$.
7. "मुक्त कण" से क्या तात्पर्य है, और यह कैसे व्यवहार करता है?
   • उत्तर: एक मुक्त कण वह होता है जिस पर कोई बल नहीं लगता। न्यूटन के प्रथम नियम के अनुसार, एक मुक्त कण या तो स्थिर अवस्था में रहने पर स्थिर ही रहेगा या गतिमान अवस्था में रहने पर स्थिर वेग से गति करेगा।
8. कणों की गति में घर्षण की क्या भूमिका होती है?
   • उत्तर: घर्षण एक ऐसा बल है जो संपर्क में आने वाली सतहों के बीच सापेक्ष गति का विरोध करता है। कण गतिकी के संदर्भ में, घर्षण बल की दिशा और परिमाण के आधार पर, घर्षण किसी कण की गति को धीमा कर सकता है या रोक भी सकता है।
9. किसी कण के प्रक्षेप पथ पर केंद्रीय बल का क्या प्रभाव पड़ता है?
   • उत्तर: केंद्रीय बल वह बल है जो कण को ​​केंद्र नामक एक निश्चित बिंदु से जोड़ने वाली रेखा के अनुदिश कार्य करता है। ऐसे बल गुरुत्वाकर्षण और विद्युत अंतःक्रियाओं में सामान्य होते हैं और कण को ​​केंद्र के सापेक्ष एक विशिष्ट कोणीय संवेग बनाए रखते हुए गतिमान पथ पर चलने के लिए प्रेरित करते हैं, जिसके परिणामस्वरूप अक्सर दीर्घवृत्ताकार या वृत्ताकार कक्षाएँ बनती हैं।
10. कणों के एक समूह पर लगने वाले कुल बाह्य बल और समूह के कुल रेखीय संवेग में परिवर्तन की दर के बीच क्या संबंध है?

• उत्तर: कणों के एक समूह पर लागू न्यूटन के द्वितीय नियम के अनुसार, समूह पर लगने वाला कुल बाह्य बल समूह के कुल रेखीय संवेग में परिवर्तन की दर के बराबर होता है। Fext​=dP/dt​, जहां $\mathbf{P}$ यह कुल रेखीय संवेग है।