यांत्रिक ऊर्जा का संरक्षण – समस्याएं और समाधान

यांत्रिक ऊर्जा का संरक्षण – समस्याएं और समाधान

1. एक m-किलोग्राम का ब्लॉक एक चिकने झुके हुए तल के शीर्ष से छोड़ा जाता है , जैसा कि नीचे दिए गए चित्र में दिखाया गया है। बिंदु M पर ब्लॉक की गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा और गतिज ऊर्जा की तुलना करें…

उपाय

बिंदु M पर गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा:

PE _M = mg (1/3h) = 1/3 mgh

बिंदु M पर गतिज ऊर्जा:

केई _एम = ईपी = मिलीग्राम (2/3 घंटे) = 2/3 मिलीग्राम

ईपी _एम : ईके _एम

1/3 मिलीग्राम : 2/3 मिलीग्राम

3/1 : 3/2

1: 2

2. नीचे दिए गए चित्र में दर्शाए अनुसार, एक आइस स्कीयर ऊंचाई A से फिसल रहा है। यदि प्रारंभिक वेग = 0 और गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण 10 ms⁻² है ^, तो बिंदु B पर स्कीयर का वेग क्या होगा?

ज्ञात :

प्रारंभिक वेग (v _o ) = 0

गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण (g) = 10 m/ ^s²

ऊंचाई में परिवर्तन = 50 मीटर – 10 मीटर = 40 मीटर

बिंदु B पर स्कीयर का वेग ज्ञात करना है।

समाधान:

यांत्रिक ऊर्जा के संरक्षण का सिद्धांत यह बताता है कि प्रारंभिक यांत्रिक ऊर्जा = अंतिम यांत्रिक ऊर्जा।

प्रारंभिक यांत्रिक ऊर्जा = बिंदु B पर स्थितिज ऊर्जा (ऊंचाई = 40 मीटर)

अंतिम यांत्रिक ऊर्जा = बिंदु B पर गतिज ऊर्जा

अंतिम यांत्रिक ऊर्जा = प्रारंभिक यांत्रिक ऊर्जा

½ mv _t ² = mgh

½ v _t ² = gh

½ v _t ² = (10)(50-10)

½ v _t ² = (10)(40)

½ v _t ² = 400

v _t ² = (2)(400) = 800

v _t = √800 = √(2)(400) = 20√2 m/s

3. कोई वस्तु बिंदु A से बिना प्रारंभिक वेग के फिसलना शुरू करती है। यदि घर्षण बल नहीं है, तो सबसे निचले बिंदु पर वस्तु का वेग क्या होगा?

ज्ञात :

वस्तु का द्रव्यमान = मीटर

प्रारंभिक वेग (v _o ) = 0

ऊँचाई (h) = 20 मीटर

गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण (g) = 10 m/ ^s²

वांछित : अंतिम वेग (v _t )

समाधान:

प्रारंभिक यांत्रिक ऊर्जा (ME ₁ ) = बिंदु A पर गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा (PE _A ) = mgh = (m)(10)(20) = 200 मीटर

अंतिम यांत्रिक ऊर्जा (ME ₂ ) = गतिज ऊर्जा (KE) = ½ mv _t ²

सबसे निचले बिंदु पर वस्तु का वेग (v _t ) क्या है?

यांत्रिक ऊर्जा के संरक्षण का सिद्धांत यह बताता है कि प्रारंभिक यांत्रिक ऊर्जा = अंतिम यांत्रिक ऊर्जा।

ईएम1 = _ईएम2

200 मीटर = ½ mv _t ²

200 = ½ v _t ²

400 = v _t ²

v _t = 20 m/s

4. एक 2 किलोग्राम की गेंद बिंदु A से मुक्त रूप से गिरती है, जैसा कि नीचे दिए गए चित्र में दिखाया गया है (g = 10 ms⁻² ⁾ । बिंदु B पर पहुँचने के बाद, गतिज ऊर्जा, स्थितिज ऊर्जा की दोगुनी होती है। पृथ्वी की सतह से बिंदु B की ऊँचाई क्या है?

ज्ञात :

गेंद का द्रव्यमान (मीटर) = 2 किलोग्राम

गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण (g) = 10 ^ms⁻²

बिंदु A की ऊँचाई (h _A ) = 90 मीटर

बिंदु B की ऊँचाई (h _B ) ज्ञात करना है।

समाधान:

बिंदु B पर पहुँचने पर, बिंदु B पर गेंद की गतिज ऊर्जा, बिंदु B पर उसकी गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा की 2 गुना होती है।

EK = 2 EP

½ mv ² = 2 mgh _B

½ v ² = 2 gh _B

v ² = 2(2)(10) h _B

v ² = 40 घंटे _B

बिंदु A से मुक्त पतन के बाद जब गेंद बिंदु B पर पहुँचती है तो उसका वेग (v) क्या होगा?

v ² = 2 gh = 2(10)(90–h _B ) = 20(90–h _B )

उपरोक्त समीकरण में v ^{2 को} इस समीकरण में v ^{2 से प्रतिस्थापित करें।}

v ² = 40 घंटे _B

20(90–h _B ) = 40 h _B

1800–20 घंटे _बी = 40 घंटे _बी

1800 = 40 घंटे _बी + 20 घंटे _बी

1800 = 60 घंटे _बी

h _B = 1800 / 60

h _B = 30 मीटर

5. एक 1 किलोग्राम की गेंद को छोड़ा जाता है और वह बिंदु A से बिंदु C तक फिसलती है, जैसा कि नीचे दिए गए चित्र में दिखाया गया है। यदि गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण = 10 ms⁻² है ^, तो बिंदु C पर पहुँचने पर गेंद की गतिज ऊर्जा क्या होगी?

ज्ञात :

गेंद का द्रव्यमान (मीटर) = 1 किलोग्राम

गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण (g) = 10 m/ ^s²

ऊंचाई में परिवर्तन (h) = 0.75 मीटर

प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा (PE _o ) = mgh = (1)(10)(0.75) = 7.5 जूल

प्रारंभिक गतिज ऊर्जा (KE _o ) = ½ mv _o ² = ½ m (0) ² = 0

अंतिम गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा (PE _t ) = mgh = mg (0) = 0

बिंदु C पर गेंद की गतिज ऊर्जा ज्ञात कीजिए।

समाधान:

प्रारंभिक यांत्रिक ऊर्जा (ME _o ) = अंतिम यांत्रिक ऊर्जा (ME _t )

प्रारंभिक गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा (PE _o ) + प्रारंभिक गतिज ऊर्जा (KE _o ) = अंतिम गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा (PE _t ) + अंतिम गतिज ऊर्जा (KE _t )

7.5 जूल + 0 = 0 + KE _t

7.5 जूल = गतिज ऊर्जा _t

बिंदु C पर गेंद की गतिज ऊर्जा = 7.5 जूल।

6. नीचे दिए गए चित्र में दर्शाए अनुसार, 2 किलोग्राम की एक गेंद को बिंदु A से छोड़ा जाता है। समतल समतल चिकना है। यदि गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण 10 ms⁻² है ^, तो बिंदु B पर गेंद की गतिज ऊर्जा क्या होगी?

ज्ञात :

गेंद का द्रव्यमान (मीटर) = 2 किलोग्राम

गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण (g) = 10 m/ ^s²

ऊंचाई में परिवर्तन (h) = 120 सेमी = 1.2 मीटर

प्रारंभिक गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा (PE _o ) = mgh = (2)(10)(1.2) = 24 जूल

प्रारंभिक गतिज ऊर्जा (KE _o ) = ½ mv _o ² = ½ m (0) ² = 0

अंतिम गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा (PE _t ) = mgh = mg (0) = 0

बिंदु B पर गेंद की गतिज ऊर्जा ज्ञात कीजिए।

समाधान:

बिंदु A पर यांत्रिक ऊर्जा (प्रारंभिक यांत्रिक ऊर्जा) = बिंदु B पर यांत्रिक ऊर्जा (अंतिम यांत्रिक ऊर्जा)

प्रारंभिक यांत्रिक ऊर्जा (ME _o ) = अंतिम यांत्रिक ऊर्जा (ME _t )

प्रारंभिक गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा (PE _o ) + प्रारंभिक गतिज ऊर्जा (KE _o ) = अंतिम गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा (PE _t ) + अंतिम गतिज ऊर्जा (KE _t )

24 जूल + 0 = 0 + KE _t

24 जूल = गतिज ऊर्जा _t

बिंदु C पर गेंद की गतिज ऊर्जा (KE) = 24 जूल।

7. किसी वस्तु की यांत्रिक ऊर्जा स्थिर है, गतिज ऊर्जा अधिक है और गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा कम है। वस्तु...

ए. विराम अवस्था में

बी. ऊपर की ओर बढ़ना

सी. नीचे की ओर बढ़ें

डी. ऊपर की ओर त्वरित

समाधान:

गतिज ऊर्जा बढ़ रही है, जिसका अर्थ है वस्तु का वेग बढ़ रहा है, और गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा घट रही है, जिसका अर्थ है मिट्टी की सतह से वस्तु की ऊंचाई कम हो रही है। ऐसा तब होता है जब वस्तु एक निश्चित ऊंचाई से जमीन की ओर गिरती है।

गति और गतिज ऊर्जा के बीच संबंध को गतिज ऊर्जा के सूत्र द्वारा दर्शाया जाता है:

गतिज ऊर्जा = ½ mv ²

सूत्र का विवरण: KE = गतिज ऊर्जा, m = द्रव्यमान, v = गति

ऊंचाई और गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा के बीच संबंध को गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा के सूत्र द्वारा दर्शाया जाता है:

पीई = एमजीएच

सूत्र का विवरण: स्थितिज ऊर्जा = गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा, m = द्रव्यमान, g = गुरुत्वाकर्षण त्वरण, h = ऊँचाई

सही जवाब सी है।

1. यांत्रिक ऊर्जा क्या है?
   • उत्तर: यांत्रिक ऊर्जा किसी वस्तु की गतिज ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा का योग होती है। गतिज ऊर्जा वस्तु की गति से संबंधित होती है, जबकि स्थितिज ऊर्जा उसकी स्थिति या विन्यास से संबंधित होती है।
2. यांत्रिक ऊर्जा के संरक्षण का सिद्धांत क्या बताता है?
   • उत्तर: इस सिद्धांत के अनुसार, किसी पृथक प्रणाली में, जहाँ केवल संरक्षी बल ही कार्य कर रहे हों, कुल यांत्रिक ऊर्जा स्थिर रहती है। इसका अर्थ है कि गतिज और स्थितिज ऊर्जा का योग समय के साथ नहीं बदलता।
3. संरक्षी और गैर-संरक्षी बल यांत्रिक ऊर्जा के संरक्षण को कैसे प्रभावित करते हैं?
   • उत्तर: संरक्षी बल, जैसे गुरुत्वाकर्षण, किसी प्रणाली की कुल यांत्रिक ऊर्जा को नहीं बदलते। वे स्थितिज ऊर्जा को गतिज ऊर्जा में या इसके विपरीत परिवर्तित कर सकते हैं, लेकिन कुल योग स्थिर रहता है। अपसंरक्षी बल, जैसे घर्षण, यांत्रिक ऊर्जा को क्षय कर सकते हैं, आमतौर पर इसे ऊष्मीय ऊर्जा में परिवर्तित कर देते हैं।
4. घर्षण से जुड़े वास्तविक परिदृश्यों में यांत्रिक ऊर्जा संरक्षित क्यों नहीं रहती है?
   • उत्तर: घर्षण एक गैर-संरक्षी बल है। जब वस्तुएँ एक-दूसरे की ओर गति करती हैं, तो घर्षण प्रणाली की कुछ यांत्रिक ऊर्जा को ऊष्मीय ऊर्जा में परिवर्तित कर देता है, जिससे प्रणाली की कुल यांत्रिक ऊर्जा में कमी आती है।
5. झूलते हुए पेंडुलम में यांत्रिक ऊर्जा के संरक्षण को कैसे प्रदर्शित किया जाता है?
   • उत्तर: वायु प्रतिरोध (एक गैर-संरक्षी बल) की अनुपस्थिति में, जब पेंडुलम ऊपर की ओर झूलता है, तो उसकी गतिज ऊर्जा गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है। झूले के उच्चतम बिंदु पर, उसकी स्थितिज ऊर्जा अधिकतम और गतिज ऊर्जा न्यूनतम होती है। जब वह वापस नीचे की ओर झूलता है, तो यह स्थितिज ऊर्जा पुनः गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है। ऊर्जा के रूपों के परस्पर परिवर्तन होने के बावजूद, कुल यांत्रिक ऊर्जा स्थिर रहती है।
6. बाह्य बलों की अनुपस्थिति में भी उछलती हुई गेंद अंततः क्यों रुक जाती है?
   • उत्तर: जब कोई गेंद उछलती है, तो उसकी सारी गतिज ऊर्जा वापस स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तित नहीं होती। कुछ ऊर्जा नष्ट हो जाती है, अक्सर ध्वनि के रूप में या गेंद के विरूपण के रूप में, और विशेष रूप से गेंद के पदार्थ के भीतर घर्षण के कारण। ये गैर-संरक्षी बलों के रूप में कार्य करते हैं, जो प्रत्येक उछाल के साथ गेंद की यांत्रिक ऊर्जा को कम करते हैं जब तक कि वह स्थिर न हो जाए।
7. रोलर कोस्टर में सबसे अधिक और सबसे कम यांत्रिक ऊर्जा कहाँ होती है?
   • उत्तर: यदि हम वायु प्रतिरोध और घर्षण को अनदेखा कर दें, तो रोलर कोस्टर की कुल यांत्रिक ऊर्जा स्थिर रहती है। हालांकि, उच्चतम बिंदु पर, स्थितिज ऊर्जा अधिकतम होती है जबकि गतिज ऊर्जा न्यूनतम होती है। जैसे-जैसे यह नीचे उतरता है, स्थितिज ऊर्जा गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है, इसलिए निम्नतम बिंदु पर, गतिज ऊर्जा अधिकतम होती है और स्थितिज ऊर्जा न्यूनतम होती है।
8. ग्रहों की कक्षाओं को समझने में यांत्रिक ऊर्जा का संरक्षण किस प्रकार सहायक होता है?
   • उत्तर: सूर्य जैसे तारे की परिक्रमा करने वाले ग्रहों में गतिज ऊर्जा (उनकी गति के कारण) और गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा (सूर्य के सापेक्ष उनकी स्थिति के कारण) दोनों होती हैं। जैसे-जैसे कोई ग्रह सूर्य के निकट आता है, उसकी गति बढ़ जाती है, जिससे उसकी गतिज ऊर्जा बढ़ जाती है जबकि गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा घट जाती है, और इसके विपरीत भी होता है। यदि अन्य बल (जैसे कि अन्य ग्रहों से लगने वाले बल) नगण्य हों, तो ग्रह की कुल यांत्रिक ऊर्जा समय के साथ स्थिर रहती है।
9. स्थिर कक्षा में मौजूद उपग्रह पृथ्वी में क्यों नहीं गिरता?
   • उत्तर: यद्यपि उपग्रह गुरुत्वाकर्षण के कारण पृथ्वी की ओर खिंचा चला जाता है, फिर भी उसकी आगे की गतिज ऊर्जा उसे अपनी कक्षा में गतिमान रखती है। इस गतिज ऊर्जा और गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा का संतुलन उपग्रह को स्थिर यांत्रिक ऊर्जा के साथ एक स्थिर कक्षा में बनाए रखता है।
10. यदि कोई स्कीयर घर्षण रहित पहाड़ी की चोटी से विराम अवस्था से शुरू करती है और फिर नीचे की ओर स्की करती है, तो पहाड़ी के नीचे उसकी गति की तुलना उस स्थिति से कैसे होगी जब वह पहाड़ी के बीच से शुरू करती है?

• उत्तर: घर्षण रहित ढलान पर स्कीयर की कुल यांत्रिक ऊर्जा संरक्षित रहती है। यदि वह बिल्कुल ऊपर से शुरू करती है, तो उसके पास बीच से शुरू करने की तुलना में अधिक स्थितिज ऊर्जा होगी। नीचे उतरते समय यह स्थितिज ऊर्जा पूरी तरह से गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाएगी। इसलिए, ऊपर से शुरू करने पर वह नीचे पहुँचने पर बीच से शुरू करने की तुलना में अधिक तेज़ होगी।