यांत्रिक ऊर्जा – समस्याएं और समाधान

यांत्रिक ऊर्जा – समस्याएं और समाधान

कार्य-यांत्रिक ऊर्जा सिद्धांत

1. ब्लॉक और फर्श के बीच गतिज घर्षण गुणांक (μ _k ) 0.5 है। किसी वस्तु(ओं) का विस्थापन क्या है? गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण 10 m/s² ^है ।

ज्ञात :

गतिज घर्षण गुणांक (μ _k ) = 0.5

ब्लॉक का द्रव्यमान (मीटर) = 4 किलोग्राम

गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण (g) 10 m/s² है ^।

ब्लॉक का भार (w) = मिलीग्राम = (4)(10) = 40 न्यूटन

यदि ब्लॉक क्षैतिज तल पर स्थित है तो अभिलंब बल (N) = भार (w) = 40 न्यूटन।

यदि ब्लॉक क्षैतिज तल पर स्थित है तो अभिलंब बल (N) = भार (w) = 40 न्यूटन।

प्रारंभिक वेग (v ₁ ) = 5 मीटर/सेकंड

अंतिम वेग (v ₂ ) = 0 मीटर/सेकंड

वांछित: वस्तु (d) का विस्थापन?

समाधान:

कार्य-यांत्रिक ऊर्जा सिद्धांत के अनुसार, किसी संरक्षी बल द्वारा किया गया कार्य (W) वस्तु की यांत्रिक ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है। यांत्रिक ऊर्जा में परिवर्तन = अंतिम यांत्रिक ऊर्जा – प्रारंभिक यांत्रिक ऊर्जा।

गतिज घर्षण बल गैर-संरक्षी बलों में से एक है और ब्लॉक पर कार्य करने वाला एकमात्र गैर-संरक्षी बल है।

W = ΔME

f _k d = ME ₂ – ME ₁

गतिज घर्षण बल द्वारा किया गया कार्य:

W = f _k d = (μ _k )(N)(d) = (0.5)(40)(d) = 20 d

यांत्रिक ऊर्जा में परिवर्तन:

Δएमई = एमई ₂ - एमई ₁ = (केई + पीई) ₂ - (केई + पीई) ₁

वस्तु क्षैतिज तल पर गति करती है और ऊँचाई में कोई परिवर्तन नहीं होता (Δh = 0), इसलिए गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा में भी कोई परिवर्तन नहीं होता (ΔPE = PE ₂ – PE _{1 = 0)। अतः} यांत्रिक ऊर्जा में परिवर्तन केवल गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के कारण होता है ।

ΔME = KE ₂ - KE ₁ = ½ mv ₂ ² - ½ mv ₁ ² = ½ m (v ₂ ² - v ₁ ² )

Δ एम ई = ½ (4)(0 ² – 5 ² ) = (2)(25) = 50

ब्लॉक का विस्थापन:

W = ΔME

20 s = 50

s = 50 / 20

s = 2.5 मीटर

यांत्रिक ऊर्जा के संरक्षण का सिद्धांत

2. वस्तु A और वस्तु B का द्रव्यमान समान है। वस्तु A h मीटर की ऊँचाई से और वस्तु B 2h मीटर की ऊँचाई से मुक्त रूप से गिरती है। यदि वस्तु A v मीटर/सेकंड की गति से जमीन पर गिरती है, तो वस्तु B की जमीन पर गिरने पर उसकी गतिज ऊर्जा क्या होगी?

समाधान:

2h की ऊंचाई से मुक्त रूप से गिरने पर वस्तु B का अंतिम वेग क्या होगा?

v ² = 2 g (2h) = 4 gh

वस्तु B की गतिज ऊर्जा:

TO _B = ½ mv ² = ½ m (4 gh) = 2 mgh —– समीकरण 1

वस्तु B की प्रारंभिक यांत्रिक ऊर्जा = गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा = mg h.

वस्तु B की अंतिम यांत्रिक ऊर्जा = गतिज ऊर्जा = ½ ^mv² ।

यांत्रिक ऊर्जा के संरक्षण का सिद्धांत:

mgh = ½ mv ²

क्योंकि mgh = ½ mv ^{2 है} , इसलिए हम समीकरण 1 में mgh को ½ mv ² से बदल सकते हैं ।

वस्तु B की गतिज ऊर्जा = 2 mgh = 2(½ mv² ⁾ = ^mv²

3. एक वस्तु 20 मीटर की ऊंचाई से मुक्त रूप से गिर रही है। गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण 10 मीटर/सेकंड है। जमीन से 15 मीटर ऊपर वस्तु का वेग क्या होगा?

समाधान:

अंतिम यांत्रिक ऊर्जा = प्रारंभिक यांत्रिक ऊर्जा

बिंदु 2 पर गतिज ऊर्जा = 5 मीटर की दूरी तक गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन।

4. एक ब्लॉक को चिकने झुके हुए तल के शीर्ष से छोड़ा जाता है। जमीन पर गिरने पर ब्लॉक का वेग क्या होगा?

समाधान:

प्रारंभिक यांत्रिक ऊर्जा = गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा = mgh = m (10)(5) = 50 मीटर

अंतिम यांत्रिक ऊर्जा = गतिज ऊर्जा = 1/2 ^mv²

यांत्रिक ऊर्जा के संरक्षण का सिद्धांत यह बताता है कि प्रारंभिक यांत्रिक ऊर्जा = अंतिम यांत्रिक ऊर्जा।

ME _o = ME _t

50 मीटर = 1/2 मीटरवी ²

50 = 1/2 बनाम ²

2 (50) = v ²

100 = v ²

v = 10 मीटर/सेकंड

5.

नीचे दिए गए चित्र में दिखाए अनुसार, m किलोग्राम द्रव्यमान का एक ब्लॉक जमीन से h मीटर की ऊंचाई से छोड़ा जाता है। बिंदु M पर स्थितिज ऊर्जा और गतिज ऊर्जा (KE) का अनुपात ज्ञात कीजिए।

समाधान:

बिंदु M पर गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा:

पीई _एम = मिलीग्राम (0.3 घंटा)

बिंदु m पर गतिज ऊर्जा = h-0.3h तक गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन = 0.7 h

केई _एम = पीई = मिलीग्राम (0.7 घंटे)

बिंदु M पर गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा और गतिज ऊर्जा का अनुपात:

पीई _एम : केई _एम

मिलीग्राम (0.3 घंटे) : मिलीग्राम (0.7 घंटे)

0.3: 0.7

3: 7

6. यदि बिंदु _Q पर स्थितिज ऊर्जा Q और गतिज ऊर्जा Q क्रमशः 10 m/s² हैं (g = 2 m/s² ₎ ^, तो PE _Q : KE _Q =…

समाधान:

बिंदु Q पर गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा:

PE _Q = mgh = (m)(10)(1.8) = 18 मीटर

बिंदु Q पर गतिज ऊर्जा = 5-1.8 = 3.2 मीटर की दूरी तक गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन

TO _Q = PE = mgh = m (10)(3.2) = 32 m

बिंदु Q पर गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा और गतिज ऊर्जा का अनुपात:

पीई _क्यू : केई _क्यू

18 मीटर : 32 मीटर

18: 32

9: 16

1. यांत्रिक ऊर्जा क्या है? उत्तरकिसी प्रणाली में यांत्रिक ऊर्जा, स्थितिज ऊर्जा और गतिज ऊर्जा का योग होती है। यह किसी वस्तु की गति और स्थिति से संबंधित कुल ऊर्जा को दर्शाती है।
2. गतिज ऊर्जा, स्थितिज ऊर्जा से किस प्रकार भिन्न है? उत्तरगतिज ऊर्जा गति की ऊर्जा है, जबकि स्थितिज ऊर्जा किसी वस्तु की स्थिति या विन्यास के कारण संचित ऊर्जा है। उदाहरण के लिए, चलती हुई कार में गतिज ऊर्जा होती है, जबकि खिंची हुई स्प्रिंग या गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में ऊंचाई पर स्थित किसी वस्तु में स्थितिज ऊर्जा होती है।
3. क्या यांत्रिक ऊर्जा हमेशा संरक्षित रहती है? उत्तरएक आदर्श, बंद प्रणाली में, जहाँ कोई बाह्य बल नहीं होते, यांत्रिक ऊर्जा संरक्षित रहती है। हालाँकि, वास्तविक परिस्थितियों में, घर्षण या अन्य गैर-संरक्षित बलों के कारण ऊष्मीय या ध्वनि ऊर्जा जैसे अन्य प्रकार की ऊर्जा भी उत्पन्न हो सकती है, जिससे कुल यांत्रिक ऊर्जा में कमी आ सकती है।
4. यांत्रिक ऊर्जा का संरक्षण समस्याओं को हल करने में कैसे सहायक होता है? उत्तरजब किसी प्रणाली में यांत्रिक ऊर्जा संरक्षित रहती है (घर्षण जैसे अपसंरक्षी बल मौजूद नहीं होते), तो आरंभ में कुल ऊर्जा अंत में कुल ऊर्जा के बराबर होती है। यह सिद्धांत हमें समय के विभिन्न बिंदुओं पर स्थितिज और गतिज ऊर्जाओं के बीच संबंध स्थापित करने में सहायक होता है, जिससे समस्या-समाधान प्रक्रिया सरल हो जाती है।
5. जब किसी गेंद को ऊपर की ओर फेंका जाता है और नीचे गिरने से पहले वह क्षण भर के लिए रुक जाती है, तो उसकी यांत्रिक ऊर्जा का क्या होता है? उत्तरजैसे-जैसे गेंद ऊपर उठती है, उसकी गतिज ऊर्जा घटती जाती है जबकि उसकी स्थितिज ऊर्जा बढ़ती जाती है। शिखर पर, उसकी सारी यांत्रिक ऊर्जा स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है। नीचे उतरते समय, यह प्रक्रिया उलट जाती है। वायु प्रतिरोध के बिना एक आदर्श स्थिति में, गेंद की कुल यांत्रिक ऊर्जा अपनी पूरी यात्रा के दौरान स्थिर रहती है।
6. क्या किसी वस्तु में एक ही समय में गतिज और स्थितिज ऊर्जा दोनों हो सकती हैं? उत्तरजी हां, किसी वस्तु में एक साथ ऊर्जा के दोनों रूप मौजूद हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, झूले के मध्य बिंदु पर स्थित एक पेंडुलम में उसकी गति के कारण गतिज ऊर्जा और उसके निम्नतम बिंदु से ऊपर की ऊंचाई के कारण स्थितिज ऊर्जा होती है।
7. रोलर कोस्टर किस प्रकार यांत्रिक ऊर्जा के संरक्षण को प्रदर्शित करता है? उत्तरएक रोलर कोस्टर अपनी उच्चतम स्थिति पर स्थितिज ऊर्जा से शुरू होता है। जैसे-जैसे यह नीचे उतरता है, यह स्थितिज ऊर्जा गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है, जिससे कोस्टर की गति बढ़ जाती है। जैसे-जैसे यह फिर से ऊपर चढ़ता है, गतिज ऊर्जा कम हो जाती है जबकि स्थितिज ऊर्जा बढ़ जाती है। घर्षण और वायु प्रतिरोध को अनदेखा करते हुए, कुल यांत्रिक ऊर्जा लगभग स्थिर रहती है।
8. वास्तविक दुनिया की प्रणालियों में यांत्रिक ऊर्जा की हानि किन कारकों के कारण हो सकती है? उत्तरघर्षण, वायु प्रतिरोध और ध्वनि उत्पादन कुछ ऐसे कारक हैं जो वास्तविक दुनिया की प्रणालियों में ऊर्जा हानि का कारण बन सकते हैं। ऊर्जा नष्ट नहीं होती (ऊर्जा संरक्षण के नियम के कारण) बल्कि ऊष्मा या ध्वनि जैसे अन्य रूपों में परिवर्तित हो जाती है।
9. कार्य और यांत्रिक ऊर्जा के बीच क्या संबंध है? उत्तरबाह्य बलों द्वारा किसी प्रणाली पर किया गया कार्य उस प्रणाली की यांत्रिक ऊर्जा में परिवर्तन ला सकता है। गणितीय रूप से, कार्य यांत्रिक ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।

10. यदि गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा किसी संदर्भ बिंदु के सापेक्ष है, तो हम इसमें होने वाले परिवर्तनों को लगातार कैसे माप सकते हैं? उत्तर : यद्यपि गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा का निरपेक्ष मान संदर्भ बिंदु के चुनाव पर निर्भर करता है, लेकिन स्थितिज ऊर्जा में होने वाले परिवर्तन (जैसे किसी वस्तु को ऊपर या नीचे उठाने पर) संदर्भ बिंदु पर निर्भर नहीं करते। इसलिए, हम अक्सर निरपेक्ष मानों के बजाय स्थितिज ऊर्जा में होने वाले परिवर्तनों पर ध्यान केंद्रित करते हैं।