30. कुछ ऊष्मागतिक प्रक्रियाओं में ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम का अनुप्रयोग (समदाबी, समतापी, समआयतनिक)
1. नीचे दिया गया ग्राफ एक गैस द्वारा अनुभव किए गए ऊष्मागतिक चक्र को दर्शाता है। प्रक्रिया ABCD पर गैस द्वारा किया गया कार्य है…
ज्ञात :
दाब 1 (P 1 ) = 2 x 10 5 Pa
दाब 2 (P 2 ) = 4 x 10 5 Pa
आयतन 1 (V 1 ) = 1 m 3
आयतन 2 (V 2 ) = 3 m 3
वांछित: प्रक्रिया ABCD पर गैस द्वारा किया गया कार्य (W)।
समाधान:
किसी गैस द्वारा किया गया कार्य ABCD के क्षेत्रफल के बराबर होता है।
W = (P 2 – P 1 )(V 2 – V 1 )
W = (4 x 10 5 – 2 x 10 5 )(3 – 1)
डब्ल्यू = (2 x 10 5 )(2)
W = 4 x 10⁷ जूल
2. प्रक्रिया ABC पर गैस द्वारा किया गया कार्य है…
ज्ञात :
दाब 1 (P 1 ) = 3 x 10 5 Pa
दाब 2 (P 2 ) = 6 x 10 5 Pa
आयतन 1 (V 1 ) = 20 cm 3 = 20 x 10 -6 m 3
आयतन 2 (V 2 ) = 60 cm 3 = 60 x 10 -6 m 3
आवश्यकता है : प्रक्रिया एबीसी पर गैस द्वारा किए गए कार्य की।
समाधान:
गैस द्वारा किया गया कार्य = एबीसी का क्षेत्रफल।
W = ½ (P 2 – P 1 )(V 2 – V 1 )
W = 1/2 (6 x 10 5 – 3 x 10 5 )(60 x 10 -6 – 20 x 10 -6 )
W = 1/2 (3 x 10 5 )(40 x 10 -6 )
W = 1/2 (120 x 10 -1 जूल)
W = 1/2 (12 जूल)
W = 6 जूल
3. नीचे दिए गए चित्र में एक बंद पात्र में गैस के लिए PV आरेख दर्शाया गया है। गैस द्वारा किया गया कार्य किस प्रक्रिया में दर्शाया गया है?
उपाय
प्रक्रिया AB और प्रक्रिया DC समदाबी प्रक्रियाएँ हैं (दबाव स्थिर रहता है) । प्रक्रिया AD और प्रक्रिया BC समकोण प्रक्रियाएँ हैं (आयतन में कोई परिवर्तन नहीं होता ) ।
कार्य तब किया गया जब गैस का विस्तार हुआ (प्रक्रिया डीसी)।
यहां समदाबी प्रक्रिया (स्थिर दाब) से संबंधित 9 समस्याएं और उनके समाधान दिए गए हैं:
समस्या 1:
स्थिर दाब पर 3.0 m³ गैस को संपीड़ित करके 2.0 m³ कर दिया जाता है। यदि प्रारंभिक तापमान 300 K है, तो अंतिम तापमान क्या होगा?
उपाय:
समदाबी प्रक्रिया के समीकरण \(\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2}\) का उपयोग करके, हम अंतिम तापमान ज्ञात कर सकते हैं:
\[
\frac{3.0}{300} = \frac{2.0}{T_2} \implies T_2 = \frac{2.0 \times 300}{3.0} = 200\, \text{K}
\]
समस्या 2:
2 atm के दबाव पर 2 मोल गैस के 1 लीटर से 3 लीटर तक समदाबी से फैलने पर किए गए कार्य की गणना कीजिए।
उपाय:
समदाबी प्रक्रिया में किए गए कार्य के समीकरण का उपयोग करते हुए: (W = P ΔV):
\[
W = 2\, \text{atm} \times (3 – 1)\, \text{लीटर} = 4\, \text{atm}\cdot\text{लीटर}
\]
समस्या 3:
एक आदर्श द्विपरमाण्विक गैस के 4 मोल को स्थिर दाब पर 200 K से 300 K तक गर्म करने पर आंतरिक ऊर्जा में क्या परिवर्तन होता है?
उपाय:
द्विपरमाण्विक गैस के लिए स्थिर दाब पर आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन के समीकरण का उपयोग करते हुए: \( \Delta U = nC_pdT \), जहाँ \( C_p = \frac{7}{2}R \):
\[
ΔU = 4 × 7/2 × 8.314 × (300 – 200) ≈ 6990 जूल
\]
समस्या 4:
एक समदाबी प्रक्रिया के दौरान 400 K तापमान पर 2 मोल एकपरमाण्विक गैस के 5 लीटर से 10 लीटर तक फैलने पर जोड़ी गई ऊष्मा की गणना कीजिए।
उपाय:
समदाबी प्रक्रिया में ऊष्मा स्थानांतरण के समीकरण का उपयोग करते हुए: \( Q = nC_pdT \), जहाँ \( C_p = \frac{5}{2}R \), और \( \frac{V_2}{T_2} = \frac{V_1}{T_1} \):
\[
Q = 2 × 5 × 8.314 × (400 × 10 5 – 400) = 3316 जूल
\]
समस्या 5:
200 K तापमान पर 3 मोल त्रिपरमाण्विक गैस के 1 लीटर से 2 लीटर तक विस्तारित होने पर एन्थैल्पी में परिवर्तन ज्ञात कीजिए।
उपाय:
समदाबी प्रक्रिया के लिए एन्थैल्पी में परिवर्तन के सूत्र का उपयोग करते हुए: \( \Delta H = nC_pdT \), जहाँ \( C_p = \frac{f}{2}R \) और \( f = 6 \):
\[
ΔH = 3 × 6/2 × 8.314 × (200 × 2/1 – 200) = 4989 जूल
\]
समस्या 6:
स्थिर दाब पर 300 K तापमान और 5 लीटर आयतन वाली 2 मोल गैस को 500 K तक गर्म करने पर उसका अंतिम आयतन ज्ञात कीजिए।
उपाय:
समदाबी प्रक्रिया के समीकरण का उपयोग करते हुए:
\[
V1/T1 = V2/T2 = V1/T2 = V1/T2 = 5/500/300 = 8.33 लीटर
\]
समस्या 7:
एक परमाणु गैस द्वारा 2 परमाणु दाब पर 6 लीटर से 3 लीटर तक संपीड़ित करने पर किए गए कार्य का पता लगाएं।
उपाय:
समदाबी प्रक्रिया में किए गए कार्य के समीकरण का उपयोग करते हुए:
\[
W = P ΔV = 2 × (3 – 6) = -6 atm · लीटर
\]
समस्या 8:
एक द्विपरमाण्विक गैस 300 K तापमान पर 3 लीटर से 6 लीटर तक समदाबी प्रसारित होती है। एन्ट्रापी में परिवर्तन ज्ञात कीजिए।
उपाय:
द्विपरमाण्विक गैस के लिए समदाबी प्रक्रिया में एन्ट्रापी में परिवर्तन के समीकरण का उपयोग करते हुए, जहाँ \( C_p = \frac{7}{2}R \):
\[
ΔS = nC_p\ln\frac{T_2}{T_1} + nR\ln\frac{V_2}{V_1} = 2 \times \frac{7}{2} \times 8.314 \times \ln\frac{300 \times \frac{6}{3}}{300} + 2 \times 8.314 \times \ln\frac{6}{3} \approx 34.76\, \text{J/K}
\]
समस्या 9:
500 K तापमान पर 5 मोल त्रिपरमाण्विक गैस के 10 लीटर से 5 लीटर तक समदाबी संपीडन के दौरान ऊष्मा स्थानांतरण की गणना कीजिए।
उपाय:
समदाबी प्रक्रिया में ऊष्मा स्थानांतरण के समीकरण का उपयोग करते हुए, जहाँ \( C_p = \frac{f}{2}R \) और \( f = 6 \):
\[
Q = 5 × 6/2 × 8.314 × (500 × 5/10 – 500) = -12473 जूल
\]
इन समस्याओं से समदाबी प्रक्रिया से संबंधित विभिन्न अवधारणाओं का व्यापक अवलोकन प्राप्त होना चाहिए।
समतापी प्रक्रिया (स्थिर तापमान) से संबंधित 9 समस्याएं और उनके समाधान यहां दिए गए हैं:
समस्या 1:
समस्या: 300 K तापमान पर समतापीय रूप से 1 लीटर से 2 लीटर तक फैलने वाली एक आदर्श गैस के 2 मोल द्वारा किए गए कार्य की गणना कीजिए।
उपाय:
एक आदर्श गैस के लिए समतापी प्रक्रिया में किए गए कार्य के समीकरण का उपयोग करते हुए:
[ W = nRT\ln\frac{V_2}{V_1} \]
\[
W = 2 × 8.314 × 300 × ln 2 × 1 ≈ 3454 जूल
\]
समस्या 2:
समस्या: 400 K तापमान पर 3 मोल गैस को समतापीय रूप से 4 लीटर से 2 लीटर तक संपीड़ित करने पर स्थानांतरित ऊष्मा ज्ञात कीजिए।
उपाय:
समतापी प्रक्रिया में ऊष्मा स्थानांतरण के समीकरण का उपयोग करते हुए: \( Q = W \):
\[
Q = 3 × 8.314 × 400 × ln 2 × 4 × -3462 J
\]
समस्या 3:
300 K तापमान पर 4 मोल गैस के समतापी प्रसार (1 लीटर से 5 लीटर तक) होने पर एन्ट्रापी में परिवर्तन ज्ञात कीजिए।
उपाय:
समतापी प्रक्रिया में एन्ट्रापी परिवर्तन के समीकरण का उपयोग करते हुए:
\[
ΔS = nR\ln\frac{V_2}{V_1} = 4 \times 8.314 \times \ln\frac{5}{1} \approx 46.15\, \text{J/K}
\]
समस्या 4:
200 K तापमान पर 1 मोल आदर्श गैस को समतापीय रूप से 6 लीटर से 3 लीटर तक संपीड़ित करने पर किए गए कार्य की गणना कीजिए।
उपाय:
समतापी प्रक्रिया में किए गए कार्य के समीकरण का उपयोग करते हुए:
\[
W = 1 \times 8.314 \times 200 \times \ln\frac{3}{6} \approx -575\, \text{J}
\]
समस्या 5:
स्थिर तापमान पर 2 लीटर से 6 लीटर तक समतापी प्रसार के दौरान 3 मोल गैस की आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन ज्ञात कीजिए।
उपाय:
एक आदर्श गैस की समतापी प्रक्रिया के लिए, आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन शून्य होता है:
\[
ΔU = 0\, \text{J}
\]
समस्या 6:
250 K तापमान पर 5 मोल गैस को समतापी रूप से 3 लीटर से 6 लीटर तक विस्तारित करने पर ऊष्मा स्थानांतरण की गणना कीजिए।
उपाय:
समतापी प्रक्रिया में ऊष्मा स्थानांतरण के समीकरण का उपयोग करते हुए:
\[
Q = 5 × 8.314 × 250 × ln 6 × 3 ∈ 2879 जूल
\]
समस्या 7:
150 K तापमान पर 4 लीटर से 2 लीटर तक समतापी संपीडन के दौरान 2 मोल गैस द्वारा किया गया कार्य क्या है?
उपाय:
समतापी प्रक्रिया में किए गए कार्य के समीकरण का उपयोग करते हुए:
\[
W = 2 \times 8.314 \times 150 \times \ln\frac{2}{4} \approx -1151\, \text{J}
\]
समस्या 8:
500 K तापमान पर 3 मोल गैस को समतापीय रूप से 5 लीटर से 1 लीटर तक संपीड़ित करने पर एन्ट्रॉपी में परिवर्तन ज्ञात कीजिए।
उपाय:
समतापी प्रक्रिया में एन्ट्रापी परिवर्तन के समीकरण का उपयोग करते हुए:
\[
ΔS = 3 × 8.314 × ln 1/5 ≈ -34.77 जूल/किलोग्राम
\]
समस्या 9:
100 K तापमान पर समतापीय रूप से 2 लीटर से 8 लीटर तक विस्तारित होने वाली एक आदर्श गैस के 4 मोल द्वारा किए गए कार्य का निर्धारण कीजिए।
उपाय:
समतापी प्रक्रिया में किए गए कार्य के समीकरण का उपयोग करते हुए:
\[
W = 4 × 8.314 × 100 × ln 8 × 2 ≈ 2304 जूल
\]
इन समस्याओं में समतापी प्रक्रिया से संबंधित विभिन्न अवधारणाओं को शामिल किया गया है, जैसे कि किया गया कार्य, ऊष्मा स्थानांतरण और एन्ट्रापी में परिवर्तन।
यहां समआयतनिक प्रक्रिया (स्थिर आयतन) से संबंधित 9 समस्याएं और उनके समाधान दिए गए हैं:
समस्या 1:
स्थिर आयतन पर तापमान 200 K से 400 K तक बढ़ने पर एकपरमाण्विक आदर्श गैस के 3 मोलों की आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन की गणना कीजिए।
उपाय:
स्थिर आयतन पर आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन के समीकरण का उपयोग करते हुए: \( \Delta U = nC_v\Delta T \), जहाँ \( C_v = \frac{3}{2}R \):
\[
ΔU = 3 × 3/2 × 8.314 × (400 – 200) ≈ 3741 जूल
\]
समस्या 2:
स्थिर आयतन पर तापमान 300 K से 200 K तक कम होने पर द्विपरमाण्विक गैस के 2 मोलों के लिए ऊष्मा स्थानांतरण ज्ञात कीजिए।
उपाय:
स्थिर आयतन पर ऊष्मा स्थानांतरण के समीकरण का उपयोग करते हुए: \( Q = \Delta U = nC_v\Delta T \), जहाँ \( C_v = \frac{5}{2}R \):
\[
Q = 2 \times \frac{5}{2} \times 8.314 \times (200 – 300) \approx -4157\, \text{J}
\]
समस्या 3:
स्थिर आयतन पर तापमान 100 K से 300 K तक बढ़ने पर त्रिपरमाण्विक गैस के 4 मोलों के लिए एन्ट्रॉपी में परिवर्तन की गणना कीजिए।
उपाय:
स्थिर आयतन पर एन्ट्रापी में परिवर्तन के समीकरण का उपयोग करते हुए, जहाँ \( C_v = \frac{f}{2}R \) और \( f = 6 \):
\[
ΔS = nC_v\ln\frac{T_2}{T_1} = 4 \times \frac{6}{2} \times 8.314 \times \ln\frac{300}{100} \approx 115.36\, \text{J/K}
\]
समस्या 4:
समआयतनिक प्रक्रिया के दौरान गैस द्वारा किया गया कार्य क्या है?
उपाय:
क्योंकि समआयतनिक प्रक्रिया के दौरान आयतन स्थिर रहता है, इसलिए कोई कार्य नहीं किया जाता है:
\[
W = 0\, \text{J}
\]
समस्या 5:
एकपरमाण्विक आदर्श गैस के 5 मोलों के लिए ऊष्मा स्थानांतरण ज्ञात कीजिए जब इसे स्थिर आयतन पर 500 K से 300 K तक ठंडा किया जाता है।
उपाय:
स्थिर आयतन पर ऊष्मा स्थानांतरण के समीकरण का उपयोग करते हुए, जहाँ \( C_v = \frac{3}{2}R \):
\[
Q = 5 \times \frac{3}{2} \times 8.314 \times (300 – 500) \approx -6232\, \text{J}
\]
समस्या 6:
स्थिर आयतन पर तापमान 150 K से 250 K तक बढ़ने पर 1 मोल द्विपरमाण्विक गैस की आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन की गणना कीजिए।
उपाय:
स्थिर आयतन पर आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन के समीकरण का उपयोग करते हुए, जहाँ \( C_v = \frac{5}{2}R \):
\[
ΔU = 1 × 5/2 × 8.314 × (250 – 150) ≈ 2079 जूल
\]
समस्या 7:
स्थिर आयतन पर तापमान 600 K से 300 K तक घटने पर एकपरमाण्विक गैस के 3 मोलों के लिए एन्ट्रॉपी में परिवर्तन ज्ञात कीजिए।
उपाय:
स्थिर आयतन पर एन्ट्रापी में परिवर्तन के समीकरण का उपयोग करते हुए, जहाँ \( C_v = \frac{3}{2}R \):
\[
ΔS = 3 × 3/2 × 8.314 × ln 300/600 ≈ -34.59 जूल/किलोग्राम
\]
समस्या 8:
स्थिर आयतन पर तापमान 200 K से 400 K तक बढ़ने पर त्रिपरमाण्विक गैस के 2 मोलों के लिए ऊष्मा स्थानांतरण क्या होगा?
उपाय:
स्थिर आयतन पर ऊष्मा स्थानांतरण के समीकरण का उपयोग करते हुए, जहाँ \( C_v = \frac{6}{2}R \):
\[
Q = 2 \times \frac{6}{2} \times 8.314 \times (400 – 200) \approx 4986\, \text{J}
\]
समस्या 9:
एक आदर्श गैस के 4 मोलों की आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन की गणना कीजिए जब इसे स्थिर आयतन पर 250 K से 350 K तक गर्म किया जाता है।
उपाय:
स्थिर आयतन पर आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन के समीकरण का उपयोग करते हुए, जहाँ \( C_v = \frac{3}{2}R \):
\[
ΔU = 4 × 3/2 × 8.314 × (350 – 250) ≈ 4986 जूल
\]
ये समस्याएं विभिन्न प्रकार की गैसों के लिए समआयतनिक प्रक्रिया के विभिन्न पहलुओं, जैसे कि ऊष्मा स्थानांतरण, आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन और एन्ट्रापी को कवर करती हैं।
