आर्किमिडीज का नियम

आर्किमिडीज के नियम की सामग्री

क्या आपने कभी कोई जहाज़ देखा है? अगर आपने उसे अपनी आँखों से नहीं देखा है, तो उम्मीद है कि आपने उसे टीवी या इंटरनेट पर ज़रूर देखा होगा। भारी वज़न वाला जहाज़ डूबता नहीं है, जबकि एक छोटा, हल्का पत्थर डूब सकता है। ऐसा क्यों होता है? इसका जवाब काफ़ी सरल है, अगर आप उत्प्लावन बल और आर्किमिडीज़ के सिद्धांत को समझते हैं।

रोजमर्रा की जिंदगी में हम देखते हैं कि किसी द्रव में रखी वस्तु, जैसे कि पत्थर, का वजन द्रव में न होने की तुलना में कम होता है। हो सकता है कि जमीन की सतह से पत्थर उठाना मुश्किल हो, लेकिन वही पत्थर तालाब की तलहटी से आसानी से उठ जाता है। इसका कारण उत्प्लावन बल है। उत्प्लावन बल विभिन्न गहराइयों पर द्रव के दाब में अंतर के कारण होता है। गहराई बढ़ने के साथ द्रव का दाब भी बढ़ता है; द्रव जितना गहरा होगा, दाब उतना ही अधिक होगा। जब किसी वस्तु को द्रव में रखा जाता है, तो वस्तु के ऊपर और नीचे के द्रव के दाब में अंतर होता है। वस्तु के तल पर स्थित द्रव का दाब वस्तु के तल पर स्थित द्रव के दाब से अधिक होता है।

उछाल

चित्र में, एक वस्तु पानी में तैरती हुई दिखाई दे रही है। वस्तु के नीचे के द्रव का दाब वस्तु के ऊपर के द्रव के दाब से अधिक है। इसका कारण यह है कि वस्तु के नीचे के द्रव की गहराई वस्तु के ऊपर के द्रव की गहराई से अधिक है (h₂ > एच₁).

F₂ ₌ वस्तु के तल पर द्रव द्वारा लगाया गया बल, F₁ ₌ वस्तु के तल पर द्रव द्वारा लगाया गया बल, A = वस्तु का पृष्ठीय क्षेत्रफल

_{F 2} और F ₁ के बीच का अंतर किसी वस्तु पर द्रव द्वारा लगाया गया कुल बल है, जिसे हम उत्प्लावन बल कहते हैं। उत्प्लावन बल का परिमाण है:

उत्प्लावन बल F = F ₂ − F ₁

एफ उत्प्लावक = (ρ gh ₂ A ) - (ρ gh ₁ A)

F फ्लोट = ρ g A ( h ₂ − h ₁ )

F उत्प्लावन बल = ρ g A h

उत्प्लावन बल F = ρ g V

टिप्पणी:

ρ = द्रव घनत्व

g = गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण

V = द्रव में वस्तु का आयतन

इसलिए, ऊपर दिए गए उत्प्लावन बल (F उत्प्लावन बल) के परिमाण को दर्शाने वाले समीकरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

F फ्लोट = ρ _F g V → m = ρ V

उत्प्लावन बल F = m _F g

उत्प्लावन बल = w _F

m _F g = w _F = उस द्रव का भार जिसका आयतन डूबी हुई वस्तु के आयतन के बराबर है।

उत्प्लावन बल का उदाहरण

आर्किमिडीज का सिद्धांत

उपरोक्त समीकरण के आधार पर, हम कह सकते हैं कि उत्प्लावन बल विस्थापित द्रव के भार के बराबर होता है, और विस्थापित द्रव का आयतन द्रव में डूबी हुई वस्तु के आयतन के बराबर होता है।

यदि किसी वस्तु को किसी द्रव में डुबोया जाए और वह तैरने लगे, और वस्तु का केवल कुछ भाग ही द्रव में डूबा रहे, तो विस्थापित द्रव का आयतन द्रव में डूबे हुए भाग के आयतन के बराबर होता है। वस्तु का आकार या आकृति चाहे जो भी हो, यह नियम सभी पर लागू होता है। यह आर्किमिडीज (287-212 ईसा पूर्व) का सिद्धांत है, जिसे अब आर्किमिडीज का सिद्धांत कहा जाता है।

आर्किमिडीज का सिद्धांत कहता है कि:

जब कोई वस्तु किसी द्रव में पूरी तरह या आंशिक रूप से डूबी होती है, तो द्रव वस्तु पर ऊपर की ओर एक बल (उत्प्लावन बल) लगाता है, जहां ऊपर की ओर लगने वाले बल (उत्प्लावन बल) का परिमाण विस्थापित द्रव के वजन के बराबर होता है।

आर्किमिडीज की कहानी

287 से 212 ईसा पूर्व के बीच जीवित रहे आर्किमिडीज को राजा हिरोन द्वितीय ने यह पता लगाने का काम सौंपा था कि क्या राजा के लिए बनाया गया मुकुट शुद्ध सोने का था। आर्किमिडीज शुरू में इस बात को लेकर असमंजस में थे कि मुकुट शुद्ध सोने का बना है या उसमें अन्य धातुएँ भी मिली हुई हैं। समस्या यह थी कि मुकुट का आकार अनियमित था और यह निर्धारित करने के लिए उसे नष्ट नहीं किया जा सकता था कि वह शुद्ध सोने का है या नहीं।

किसी राजा के मुकुट के शुद्ध सोने का होने का निर्धारण करने के लिए, पहले मुकुट का विशिष्ट गुरुत्व ज्ञात किया जाता है और फिर उसकी तुलना सोने के विशिष्ट गुरुत्व से की जाती है। यदि मुकुट शुद्ध सोने का है, तो मुकुट का विशिष्ट गुरुत्व सोने के विशिष्ट गुरुत्व के बराबर होगा।

किसी वस्तु का विशिष्ट गुरुत्व, हवा में वस्तु के भार और वस्तु के समान आयतन वाले पानी के भार का अनुपात होता है। गणितीय रूप से इसे इस प्रकार लिखा जाता है:

किसी वस्तु के आयतन के बराबर आयतन वाले पानी का भार कैसे ज्ञात करें?

आर्किमिडीज के अनुसार, वस्तु के आयतन के बराबर आयतन वाले पानी का भार, वस्तु के डूबने पर लगने वाले उत्प्लावन बल के परिमाण के बराबर होता है (जब वस्तु पूरी तरह से पानी में डूब जाती है)। यह वस्तु के पानी में तौलने पर घटे हुए भार के बराबर होता है। अतः:

मुकुट का विशिष्ट गुरुत्व ज्ञात करने के लिए, सबसे पहले मुकुट का वजन हवा में किया जाता है (हवा में मुकुट का वजन)। फिर, मुकुट को पानी में डाला जाता है और फिर से वजन करके खोए हुए मुकुट का वजन प्राप्त किया जाता है। अतः:

मुकुट का विशिष्ट गुरुत्व ज्ञात होने के बाद, इसकी तुलना सोने के विशिष्ट गुरुत्व से की जाती है। सोने का विशिष्ट गुरुत्व 19,3 होता है। यदि मुकुट का विशिष्ट गुरुत्व सोने के विशिष्ट गुरुत्व के बराबर है, तो मुकुट शुद्ध सोने का बना है। हालांकि, यदि मुकुट शुद्ध सोने का नहीं बना है, तो मुकुट का विशिष्ट गुरुत्व सोने के विशिष्ट गुरुत्व के बराबर नहीं होगा।

जहाज क्यों नहीं डूबते?

यदि किसी वस्तु का घनत्व जल के घनत्व से कम है, तो वह वस्तु तैरेगी। इसके विपरीत, यदि किसी वस्तु का घनत्व जल के घनत्व से अधिक है, तो वह वस्तु डूब जाएगी। अधिकांश जहाज लोहे और इस्पात से बने होते हैं। लोहे और इस्पात का घनत्व 7,8 x 10³ ^{किलोग्राम} /मीटर³ है ^{, जबकि} जल का घनत्व 1,00 x 10³ ^{किलोग्राम} /मीटर³ है ^। ऐसा प्रतीत होता है कि लोहे और इस्पात का घनत्व जल के घनत्व से अधिक है। इस स्थिति में, लोहे और इस्पात का विशिष्ट गुरुत्व 7,8 होगा। लोहे और इस्पात से बने जहाजों को डूब जाना चाहिए। लेकिन जहाज क्यों नहीं डूबते? क्योंकि जहाज का कुल घनत्व जल या समुद्री जल के घनत्व से कम होता है।

आर्किमिडीज के नियम पर आधारित उदाहरण प्रश्न

उदाहरण प्रश्न 1:

एक 40 किलोग्राम का पत्थर एक तालाब के तल में पड़ा है। यदि पत्थर का आयतन = 0,2 घन मीटर है ^{, तो} पत्थर को उठाने के लिए आवश्यक न्यूनतम बल क्या होगा ?

विचार-विमर्श

ह ज्ञात है कि:

पत्थर का द्रव्यमान (मी) = 40 किलोग्राम

पत्थर का आयतन (V) = 0,02 ^m³

पानी का घनत्व = 1000 किलोग्राम/ ^{मीटर³}

गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण (g) = 10 m/ ^s²

पूछा गया: न्यूनतम F

उत्तर :

उत्प्लावन बल = w F

F उत्प्लावन बल = m F g → m = pV

F उत्प्लावन बल = ρ F g V

उत्प्लावन बल F = (1000 kg/m³ ⁾ (10 m/s² ⁾ (0,02 ^m³ )

उत्प्लावन बल F = 200 kg m/ ^s²

उत्प्लावन बल F = 200 N

पत्थर का वजन (w) = मिलीग्राम

पत्थर का वजन = (40 कि.ग्रा.)(10 मीटर/ ^{सेकंड²} )

पत्थर का भार = 400 किलोग्राम मीटर/ ^{सेकंड²}

पत्थर का वजन = 400 N

किसी चट्टान को उठाने के लिए आवश्यक न्यूनतम बल:

पत्थर का वजन – उत्प्लावन बल = 400 न्यूटन – 200 न्यूटन = 200 न्यूटन।

उदाहरण प्रश्न 2:

किसी वस्तु का वायु में भार = 5000 kg m/s² ^और जल में भार = 4000 kg m/s² है ^। यदि वस्तु का घनत्व = 2000 kg/ ^m³ है, तो वस्तु का द्रव्यमान और आयतन क्या होगा? g = 10 m/ ^s²

विचार-विमर्श

गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण (g) = 10 m/ ^s²

वस्तु का घनत्व = 2000 किलोग्राम/मेल्टिंग ^मीटर

पानी का घनत्व = 1000 किलोग्राम/ ^{मीटर³}

हवा में वस्तु का भार = 5000 kg m/ ^s²

पानी में वस्तु का भार = 4000 किलोग्राम मीटर/ ^{सेकंड²}

उत्प्लावन बल (F buoyant) = हवा में वस्तु का भार – पानी में वस्तु का भार

उत्प्लावन बल = 5000 kg m/s² ^– 4000 kg m/ ^s²

उत्प्लावन बल F = 1000 kg m/ ^s²

उत्प्लावन बल = विस्थापित जल का भार

उत्प्लावन बल = (जल का द्रव्यमान)(ग्राम)

उत्प्लावन बल = (विस्थापित जल का आयतन)(जल का घनत्व)(ग्राम)

विस्थापित जल का आयतन = जल में डूबी वस्तु का आयतन 😉

अतः वस्तु का आयतन = 0,1 ^m³

वस्तु का द्रव्यमान = ?

ρ = एम / वी

m = ρ V

मी = (2000 किग्रा / मी ³ )(0,1 मी ³ )

मीटर = 200 किलोग्राम

वस्तु का द्रव्यमान = 200 किलोग्राम

उदाहरण प्रश्न 3:

यदि किसी गुब्बारे को 500 किलोग्राम का भार उठाना हो तो कितनी मात्रा में हीलियम की आवश्यकता होगी?

विचार-विमर्श

हीलियम का घनत्व = 0,1786 किलोग्राम/मेल्टिंग ^मीटर

वायु का घनत्व = 1,293 किलोग्राम/ ^{मीटर³}

उत्प्लावन बल = विस्थापित वायु का भार = भार का भार + हीलियम का भार

उत्प्लावन बल = भार का भार + हीलियम का भार

उत्प्लावन बल = (भार का द्रव्यमान)(ग्राम) + (हीलियम का द्रव्यमान)(ग्राम)

उत्प्लावन बल = (भार का द्रव्यमान + हीलियम का द्रव्यमान) ग्राम —- समीकरण 1

उत्प्लावन बल = विस्थापित वायु का भार

उत्प्लावन बल = (विस्थापित वायु का द्रव्यमान)(g) —- समीकरण 2

हम समीकरण 1 और समीकरण 2 को मिलाते हैं:

(भार का द्रव्यमान + हीलियम का द्रव्यमान)(ग्राम) = (विस्थापित वायु का द्रव्यमान)(ग्राम)

भार का द्रव्यमान + हीलियम का द्रव्यमान = विस्थापित वायु का द्रव्यमान

500 kg + (ρ हीलियम)(V हीलियम) = (ρ वायु)( V वायु)

500 kg = (ρ air)(V air) – (ρ helium)( V helium)

विस्थापित वायु का आयतन (V air) = गुब्बारे में भरी हीलियम की मात्रा (V helium)

500 किग्रा = (ρ वायु - ρ हीलियम)(V)

पृथ्वी की सतह पर किसी भार को उठाने के लिए आवश्यक हीलियम की न्यूनतम मात्रा यही है। गुब्बारे को अधिक ऊंचाई तक तैरने देने के लिए हीलियम की मात्रा बढ़ानी पड़ती है। ऐसा इसलिए है क्योंकि ऊंचाई बढ़ने के साथ हवा का घनत्व कम हो जाता है।